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第1讲三角函数的图象与性质1(2016四川改编)为了得到函数ysin的图象，只需把函数ysin 2x的图象上所有的点向_平行移动_个单位长度答案右解析由题意可知，ysinsin，则只需把ysin 2x的图象向右平移个单位2(2016课标全国甲改编)若将函数y2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为_答案x(kZ)解析由题意将函数y2sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数的解析式为y2sin，由2xk，kZ，得函数的对称轴为x(kZ)3(2016课标全国乙改编)已知函数f(x)sin(x)，x为f(x)的零点，x为yf(x)图象的对称轴，且f(x)在上单调，则的最大值为_答案9解析因为x为f(x)的零点，x为f(x)的图象的对称轴，所以kT，即T，所以4k1(kN)，又因为f(x)在上单调，所以，即12，由此得的最大值为9.4(2016江苏)定义在区间0,3上的函数ysin 2x的图象与ycos x的图象的交点个数是_答案7解析在区间0,3上分别作出ysin 2x和ycos x的简图如下：由图象可得两图象有7个交点1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点.热点一三角函数的概念、诱导公式及同角关系式1三角函数：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sin y，cos x，tan .各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦2同角关系：sin2cos21，tan .3诱导公式：在，kZ的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”例1(1)角终边经过点(sin 20，cos 20)，则角的最小正角是_(2)已知是第三象限角，且sin 2cos ，则sin cos _.答案(1)110(2)解析(1)由题意知，角是第二象限角，xsin 20cos 70cos 110，ycos 20sin 70sin 110，所以110.(2)由sin 2cos 及sin2cos21得，(2cos )2cos215cos2cos 0cos 或cos ，因为是第三象限角，所以cos ，从而sin ，sin cos .思维升华(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等跟踪演练1(1)已知锐角的终边上一点P(1sin 50，cos 50)，则_.(2)如图，以Ox为始边作角 (0)，终边与单位圆相交于点P，已知点P的坐标为，则_.答案(1)20(2)解析(1)由任意角的三角函数的定义可得x1sin 50，ycos 50，tan tan 20.由为锐角，得20.(2)由三角函数定义，得cos ，sin ，原式2cos222.热点二三角函数的图象及应用函数yAsin(x)的图象(1)“五点法”作图：设zx，令z0，2，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得(2)图象变换： ysin xysin(x)ysin(x)yAsin(x)例2(1)函数f(x)sin(2x)(|0，0，0)的图象如图所示，则f()的值为_答案(1)(2)1解析(1)把函数ysin(2x)的图象向左平移个单位长度得到函数ysin(2x)的图象因为函数ysin(2x)为奇函数，所以k，kZ.因为|，所以的最小值是.所以函数f(x)sin(2x)当x0，时，2x，所以当x0时，函数f(x)取得最小值.(2)根据图象可知，A2，所以周期T，由2，又函数过点(，2)，所以有sin(2)1，而00，0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向跟踪演练2(1)已知函数f(x)sin x(x0，)和函数g(x)tan x的图象交于A，B，C三点，则ABC的面积为_(2)(2015陕西)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y3sink，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为_答案(1)(2)8解析(1)由题意得sin xtan xsin x0或cos x，因为x0，所以x0，x，x，三点为(0,0)，(，0)，(，)，因此ABC的面积为.(2)由题干图易得ymink32，则k5.ymaxk38.热点三三角函数的性质1三角函数的单调区间：ysin x的单调递增区间是2k，2k(kZ)，单调递减区间是2k，2k(kZ)；ycos x的单调递增区间是2k，2k(kZ)，单调递减区间是2k，2k(kZ)；ytan x的递增区间是(k，k)(kZ)2yAsin(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kZ)求得yAcos(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k(kZ)时为偶函数；对称轴方程可由xk(kZ)求得yAtan(x)，当k(kZ)时为奇函数例3已知函数f(x)2sin(x)cos(x)sin 2xa的最大值为1.(1)求函数f(x)的单调递增区间；(2)将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，若方程g(x)m在x0，上有解，求实数m的取值范围解(1)f(x)sin(2x)sin 2xacos 2xsin 2xa2sin(2x)a，2a1，a1.由2k2x2k，kZ，解得kxk，kZ.函数f(x)的单调递增区间是k，k，kZ.(2)将f(x)的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，即g(x)f(x)2sin2(x)12sin(2x)1.x0，2x，当2x时，sin(2x)，g(x)取得最大值1；当2x时，sin(2x)1，g(x)取得最小值3.实数m的取值范围为3m1.思维升华函数yAsin(x)的性质及应用的求解思路第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成yAsin(x)B的形式；第二步：把“x”视为一个整体，借助复合函数性质求yAsin(x)B的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题跟踪演练3设函数f(x)2cos2xsin 2xa(aR)(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)当x0，时，f(x)的最大值为2，求a的值，并求出yf(x)(xR)的对称轴方程解(1)f(x)2cos2xsin 2xa1cos 2xsin 2xasin(2x)1a，则f(x)的最小正周期T，且当2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)时，f(x)单调递增所以k，k(kZ)为f(x)的单调递增区间(2)当x0，时2x，当2x，即x时，sin(2x)1.所以f(x)max1a2a1.由2xk(kZ)，得x(kZ)，故yf(x)的对称轴方程为x(kZ)1已知函数f(x)sin(xR，0)图象的相邻两条对称轴之间的距离为.为了得到函数g(x)cos x的图象，只要将yf(x)的图象向_平移_个单位长度押题依据本题结合函数图象的性质确定函数解析式，然后考查图象的平移，很有代表性，考生应熟练掌握图象平移规则，防止出错答案左(答案不唯一)解析先求出周期确定，求出两个函数解析式，然后结合平移法则求解由于函数f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为，则其最小正周期T，所以2，即f(x)sin，g(x)cos 2x.把g(x)cos 2x变形得g(x)sinsin2(x)，所以要得到函数g(x)的图象，只要将f(x)的图象向左平移个单位长度2如图，函数f(x)Asin(x)(其中A0，0，|)与坐标轴的三个交点P、Q、R满足P(2,0)，PQR，M为QR的中点，PM2，则A的值为_押题依据由三角函数的图象求解析式是高考的热点，本题结合平面几何知识求A，考查了数形结合思想答案解析由题意设Q(a,0)，R(0，a)(a0)则M(，)，由两点间距离公式得，PM 2，解得a18，a24(舍去)，由此得，826，即T12，故，由P(2,0)得，代入f(x)Asin(x)得，f(x)Asin(x)，从而f(0)Asin()8，得A.3已知函数f(x)2asin xcos x2cos2x (a0，0)的最大值为2，x1，x2是集合MxR|f(x)0中的任意两个元素，且|x1x2|的最小值为6.(1)求函数f(x)的解析式及其图象的对称轴方程；(2)将函数yf(x)的图象向右平移2个单位后得到函数yg(x)的图象，当x(1,2时，求函数h(x)f(x)g(x)的值域押题依据三角函数解答题的第(1)问的常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程(或对称中心)等，这些都可以由三角函数解析式直接得到，因此此类命题的基本方式是利用三角恒等变换得到函数的解析式第(2)问的常见形式是求解函数的值域(或最值)，特别是指定区间上的值域(或最值)，是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式解(1)f(x)2asin xcos x2cos2xasin 2xcos 2x.由题意知f(x)的最小正周期为12，则12，得.由f(x)的最大值为2，得2，又a0，所以a1.于是所求函数的解析式为f(x)sin xcos x2sin，令xk(kZ)，解得x16k(kZ)，即函数f(x)图象的对称轴方程为x16k(kZ)(2)由题意可得g(x)2sin(x2)2sin x，所以h(x)f(x)g(x)4sinsin x2sin2x2sin xcos x1cos xsin x12sin.当x(1,2时，x(，所以sin(1,1，即12sin(1,3，于是函数h(x)的值域为(1,3A组专题通关1若0sin ，且2，0，则的取值范围是_答案解析根据题意并结合正弦线可知，满足(kZ)，2，0，的取值范围是.2函数f(x)cos的图象向左平移个单位长度后得到的图象对应的函数为_答案ycos解析函数f(x)cos的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式为ycos3(x)cos(3x)3函数y2sin()(0x9)的最大值与最小值之差为_答案2解析因为0x9，所以，因此当时，函数y2sin()取得最大值，即ymax212.当时，函数y2sin()取得最小值，即ymin2sin()，因此y2sin()(0x9)的最大值与最小值之差为2.4已知角的终边经过点A(，a)，若点A在抛物线yx2的准线上，则sin _.答案解析由条件，得抛物线的准线方程为y1，因为点A(，a)在抛物线yx2的准线上，所以a1，所以点A(，1)，所以sin .5.函数f(x)Asin x(A0，0)的部分图象如图所示，则f(1)f(2)f(3)f(2 015)的值为_答案0解析由图可得，A2，T8，8，f(x)2sin x，f(1)，f(2)2，f(3)，f(4)0，f(5)，f(6)2，f(7)，f(8)0，而2 01582517，f(1)f(2)f(2 015)0.6已知sin cos ，(，0)，则tan _.答案解析由sin cos 得(sin cos )2，所以sin cos ，因为(，0)，所以sin 0，由得所以tan .7已知函数f(x)3sin(x)(0)和g(x)3cos(2x)的图象的对称中心完全相同，若x0，则f(x)的取值范围是_答案，3解析由两个三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故2，所以f(x)3sin(2x)，那么当x0，时，2x，所以sin(2x)1，故f(x)，38如图，已知A，B分别是函数f(x)sin x(0)在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且AOB，则该函数的周期是_答案4解析由题意可设A(，)，B(，)，又AOB，所以()0T4.9已知函数f(x)cos.(1)若f()，其中，求sin的值；(2)设g(x)f(x)f，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值解(1)因为f()cos，且00，函数f(x)2asin2ab，当x时，5f(x)1.(1)求常数a，b的值；(2)设g(x)f且lg g(x)0，求g(x)的单调区间解(1)x，2x.sin，2asin2a，af(x)b,3ab，又5f(x)1，b5,3ab1，因此a2，b5.(2)由(1)得，f(x)4sin1，g(x)f4sin14sin1，又由lg g(x)0，得g(x)1，4sin11，sin，2k2x2k，kZ，其中当2k2x2k，kZ时，g(x)单调递增，即kxk，kZ，g(x)的单调增区间为，kZ.又当2k2x2k，kZ时，g(x)单调递减，即kxk，kZ，g(x)的单调减区间为，kZ.B组能力提高11已知函数f(x)2sin，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g(x)的图象关于函数g(x)，给出以下四个命题，其中正确的是_在上是增函数；其图象关于直线x对称；函数g(x)是奇函数；当x时，函数g(x)的值域是2,1答案解析因为f(x)2sin，把函数f(x)的图象沿x轴向左平移个单位，得g(x)f2sin2(x)2sin(2x)2cos 2x.画出g(x)的部分图象，如图所示由图可知，函数g(x)在上是减函数，错误；其图象的一个对称中心为(，0)，错误；函数g(x)为偶函数，错误；又g2cos1，g2cos1，g2cos2，所以当x时，函数g(x)的值域是2,1，正确12.已知函数f(x)Asin(x) (00)的部分图象如图所示，点A，B是最高点，点C是最低点，若ABC是直角三角形，则f()_.答案解析由已知得ABC是等腰直角三角形，且ACB90，所以ABf(x)maxf(x)min1(1)2，即AB4，而TAB4，解得.所以f(x)sin，所以f()sin.14已知函数f(x)Asin(x)(A0，0)，g(x)tan x，它们的最小正周期之积为22，f(x)的最大值为2g()(1)求f(x)的单调递增区间；(2)设h(x)f2(x)2cos2x，当xa，)时，h(x)有最小值为3，求a的值解(1)由题意，得22，所以1.又A2g()2tan 2tan 2，所以f(x)2sin(x)令2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)，故f(x)的单调递增区间为2k，2k(kZ)(2)因为h(x)f2(x)2cos2x4sin2(x)2cos2x3(sin xcos x)22cos2x33sin 2x(cos 2x1)32sin(2x)，又h(x)有最小值为3，所以有32sin(2x)3，即sin(2x).因为xa，)，所以2x2a，)，所以2a，即a.
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