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习题课复数明目标、知重点1.巩固复数的概念和几何意义2理解并能进行复数的四则运算并认识复数加减法的几何意义 1复数的四则运算，若两个复数z1a1b1i，z2a2b2i(a1，b1，a2，b2R)(1)加法：z1z2(a1a2)(b1b2)i；(2)减法：z1z2(a1a2)(b1b2)i； (3)乘法：z1z2(a1a2b1b2)(a1b2a2b1)i；(4)除法：i(z20)；(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；(6)特殊复数的运算：in(n为正整数)的周期性运算；(1i)22i；若i，则31,120.2共轭复数与复数的模(1)若zabi，则abi，z为实数，z为纯虚数(b0)(2)复数zabi的模，|z|，且z|z|2a2b2.3复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z1、z2对应的向量、不共线，则复数z1z2是以、为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数(2)复数减法的几何意义复数z1z2是连接向量、的终点，并指向Z1的向量所对应的复数题型一复数的四则运算例1(1)计算：2 012；(2)已知z1i，求的模解(1)原式1 006i(i)1 00601i.(2)1i，的模为.反思与感悟复数的除法运算是复数运算中的难点，如果遇到(abi)(cdi)的形式，首先应该写成分式的形式，然后再分母实数化跟踪训练1(1)已知2i，则复数z等于()A13i B13iC3i D3i答案B解析方法一2i，(1i)(2i)23i113i，z13i.方法二设zabi(a，bR)，abi，2i，z13i.(2)i为虚数单位，则2 011等于()Ai B1 Ci D1答案A解析因为i，所以2 011i2 011i45023i3i，故选A.题型二复数的几何意义例2已知点集Dz|z1i|1，zC，试求|z|的最小值和最大值解点集D的图象为以点C(1，)为圆心，1为半径的圆，圆上任一点P对应的复数为z，则|z|.由图知，当OP过圆心C(1，)时，与圆交于点A、B，则|z|的最小值是|OA|OC|11211，即|z|min1；|z|的最大值是|OB|OC|1213，即|z|max3.反思与感悟复数和复平面内的点，以原点为起点的向量一一对应；复数加减法符合向量运算的平行四边形法则和三角形法则：|z1z2|表示复数z1，z2对应的两点Z1，Z2之间的距离跟踪训练2已知复数z1，z2满足|z1|3，|z2|5，|z1z2|，求|z1z2|的值解如图所示，设z1，z2对应点分别为A，B，以，为邻边作OACB，则对应的复数为z1z2.这里|3，|5，|.cos AOB.cos OBC.又|3，|z1z2|.题型三两个复数相等例3设复数z和它的共轭复数满足4z23i，求复数z.解设zabi(a，bR)因为4z23i，所以2z(2z2)3i.2z22(abi)2(abi)4a，整体代入上式，得2z4a3i.所以z.根据复数相等的充要条件，得解得所以z.反思与感悟两个复数相等是解决复数问题的重要工具“复数相等”可以得到两个实数等式，为应用方程思想提供了条件，常用于确定系数，解复数方程等问题跟踪训练3关于x的方程x2(32i)x3ai0有非零实根，求实数a的值及方程的实数根解设方程的实数根为b(b0)，代入方程x2(32i)x3ai0，化为b23b(2b3a)i0.所以已知b0，解得b3，a2.故实数a的值及方程的实数根分别为2和3.1若zC，且|z22i|1，则|z22i|的最小值是()A2 B3 C4 D5答案B2已知复数z1，则1zz2z2 014为()A1i B1iCi D1答案C3已知z112i，z2m(m1)i，且两复数的乘积z1z2的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为_答案解析z1z2(12i)m(m1)im2(m1)2m(m1)i(2m)(3m1)i，所以2m3m1，即m，且能使2m3m10，满足题意4设复数z满足关系：z|2i，那么z等于()Ai B.i Ci D.i答案B解析设zabi(a，bR)，由已知abi2i由复数相等可得，故zi.5设复数z1i，且1i，求实数a，b的值解因为z1i，所以z2azb(a2)iab，z2z1i，所以(a2)(ab)i.又1i.所以解得呈重点、现规律1复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数化；2复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现；3利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题一、基础过关1复数的虚部是()A.i B.Ci D答案B解析i.故选B.2复数的共轭复数是()Ai B.iCi Di答案C3若(m25m4)(m22m)i0，则实数m的值为()A1 B0或2 C2 D0答案D解析由，得m0.4设a，bR且b0，若复数(abi)3是实数，则()Ab23a2 Ba23b2Cb29a2 Da29b2答案A解析若(abi)3(a33ab2)(3a2bb3)i是实数，则3a2bb30.由b0，得b23a2.故选A.5设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为()A2 B2C D.答案A解析设bi(bR且b0)，则1aibi(2i)b2bi，所以b1，a2.故选A.6复平面内点A、B、C对应的复数分别为i、1、42i，由ABCD按逆时针顺序作平行四边形ABCD，则|等于()A5 B. C. D.答案B解析设D点对应复数为z，1iz(42i)，z33i，对应的复数为23i，|.7已知aR，则z(a22a4)(a22a2)i所对应的点在第几象限？复数z对应的点的轨迹是什么？解由a22a4(a1)233，(a22a2)(a1)211，复数z的实部为正数，虚部为负数，因此，复数z的对应点在第四象限设zxyi(x、yR)，则消去a22a得：yx2(x3)复数z的对应点的轨迹是一条射线，方程为yx2(x3)二、能力提升8在复平面内，复数(2i)2对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案D解析(2i)244ii234i，对应点坐标(3，4)，位于第四象限9设i是虚数单位.是复数z的共轭复数若zi22z，则z等于()A1i B1i C1i D1i答案A解析设zabi，a，bR代入zi22z，整理得：(a2b2)i22a2bi则解得因此z1i.10已知复数z，其中i是虚数单位，则|z|_.答案11已知复数z(i是虚数单位)，则|z|_.答案解析|z|.12设复数z，若z2azb1i，求实数a，b的值解z1i.因为z2azb1i，所以(1i)2a(1i)b1i.所以(ab)(a2)i1i.所以解得a3，b4.即实数a，b的值分别是3,4.13在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2i.(1)如果点A关于实轴的对称点为B，求向量对应的复数；(2)如果(1)中点B关于虚轴的对称点为C，求点C对应的复数解(1)设所求向量对应的复数为z1abi(a，bR)，则点B的坐标为(a，b)已知A(2,1)，由对称性可知a2，b1.所以对应的复数为z12i.(2)设所求点C对应的复数为z2cdi(c，dR)，则C(c，d)由(1)，得B(2，1)由对称性可知，c2，d1.故点C对应的复数为z22i.三、探究与拓展14是否存在复数z，使其满足z2i3ai？如果存在，求实数a的取值范围；如果不存在，请说明理由解设zxyi(x，yR)，则原条件等式可化为x2y22i(xyi)3ai.由复数相等的充要条件，得消去x，得y22y30.所以当4416a20，即4a4时，复数z存在故存在满足条件的复数z，且实数a的取值范围为4a4.- 8 -
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