高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.3 复数的几何意义习题 苏教版选修2-2

第三章 数系的扩充与复数的引入 3.3 复数的几何意义习题 苏教版选修2-2明目标、知重点1.了解复数的几何意义，会用复平面上的点表示复数.2.了解复数的加减运算的几何意义.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法1复数的几何意义任何一个复数zabi和复平面内Z(a，b)一一对应，和以原点为起点，以Z(a，b)为终点的向量一一对应2复数的模设zabi，则|z|.3复平面中两点的距离两个复数差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离情境导学我们知道实数的几何意义，实数与数轴上的点一一对应，实数可用数轴上的点来表示，那么复数的几何意义是什么呢？探究点一复数与复平面内的点思考1实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？答任何一个复数zabi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集可以建立一一对应小结建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数思考2判断下列命题的真假：在复平面内，对应于实数的点都在实轴上；在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上；在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数；在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数；在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限答根据实轴的定义，x轴叫实轴，实轴上的点都表示实数，反过来，实数对应的点都在实轴上，如实轴上的点(2,0)表示实数2，因此是真命题；根据虚轴的定义，y轴叫虚轴，显然所有纯虚数对应的点都在虚轴上，如纯虚数5i对应点(0,5)，但虚轴上的点却不都是纯虚数，这是因为原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z00i0表示的是实数，故除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，所以是真命题，是假命题；对于非纯虚数zabi，由于a0，所以它对应的点Z(a，b)不会落在虚轴上，但当b0时，z所对应的点在实轴上，故是假命题例 1在复平面内，若复数z(m2m2)(m23m2)i对应的点(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在直线yx上，分别求实数m的取值范围解复数z(m2m2)(m23m2)i的实部为m2m2，虚部为m23m2.(1)由题意得m2m20.解得m2或m1.(2)由题意得，1m0，得m5，所以当m5时，复数z对应的点在x轴上方(2)由(m25m6)(m22m15)40，得m1或m，所以当m1或m时，复数z对应的点在直线xy40上探究点二复数与向量思考1复数与复平面内的向量怎样建立对应关系？答当向量的起点在原点时，该向量可由终点唯一确定，从而可与该终点对应的复数建立一一对应关系思考2怎样定义复数z的模？它有什么意义？答复数zabi(a，bR)的模就是向量(a，b)的模，记作|z|或|abi|.|z|abi|可以表示点Z(a，b)到原点的距离例 2已知复数z3ai，且|z|4，求实数a的取值范围解方法一z3ai(aR)，|z|，由已知得32a242，a27，a(，)方法二利用复数的几何意义，由|z|4知，z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z3ai知z对应的点在直线x3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合由图可知：a，|z1|z2|.探究点三复数加减法的几何意义思考1复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？答如图，设，分别与复数abi，cdi对应，则有(a，b)，(c，d)，由向量加法的几何意义(ac，bd)，所以与复数(ac)(bd)i对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行思考2怎样作出与复数z1z2对应的向量？答z1z2可以看作z1(z2)因为复数的加法可以按照向量的加法来进行所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1z2对应的向量(如图)图中对应复数z1，对应复数z2，则对应复数z1z2.例3如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C分别表示0,32i，24i.求：(1)表示的复数；(2)对角线表示的复数；(3)对角线表示的复数解(1)因为，所以表示的复数为32i.(2)因为，所以对角线表示的复数为(32i)(24i)52i.(3)因为对角线，所以对角线表示的复数为(32i)(24i)16i.反思与感悟复数的加减法可以转化为向量的加减法，体现了数形结合思想在复数中的运用跟踪训练 3已知|z1|z2|z1z2|1，求|z1z2|.解方法一设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，|z1|z2|z1z2|1，a2b2c2d21，(ac)2(bd)21.由得2ac2bd1，|z1z2|.方法二设O为坐标原点，z1、z2、z1z2对应的复数分别为A、B、C.|z1|z2|z1z2|1，OAB是边长为1的正三角形，四边形OACB是一个内角为60，边长为1的菱形，且|z1z2|是菱形的较长的对角线OC的长，|z1z2|OC|.方法三|z1z2|2|z1z2|22(|z1|2|z2|2)|z1z2|22(|z1|2|z2|2)|z1z2|22(1212)123.|z1z2|.1在复平面内表示复数z(m3)2i的点在直线yx上，则实数m的值为_答案9解析z(m3)2i表示的点在直线yx上，m32，解之得m9.2已知复数(2k23k2)(k2k)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数k的取值范围是_答案(1,2)解析复数对应的点在第二象限，即k的取值范围为(1,2)3若复数z11，z22i分别对应复平面上的点P、Q，则向量对应的复数是_答案3i解析P(1,0)，Q(2,1)，(3,1)，对应的复数为3i.4若|z2|z2|，则|z1|的最小值是_答案1解析由|z2|z2|，知z对应点的轨迹是到(2,0)与到(2,0)距离相等的点，即虚轴|z1|表示z对应的点与(1,0)的距离|z1|min1.呈重点、现规律1复数的几何意义有两种：复数和复平面内的点一一对应，复数和复平面内以原点为起点的向量一一对应2研究复数的问题可利用复数问题实数化思想转化为复数的实虚部的问题，也可以结合图形利用几何关系考虑.一、基础过关1复数zi3对应的点在复平面第_象限答案四解析zi3i，z对应点Z(，1)在第四象限2当0m1时，z(m1)(m1)i对应的点位于第_象限答案四解析0m0，1m10，故对应的点在第四象限内3在复平面内，复数65i，23i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是_答案24i解析A(6,5)，B(2,3)，C为AB的中点，C(2,4)，点C对应的复数为24i.4复数|z2i|1代表的曲线为_答案以(2,1)为圆心，1为半径的圆5已知复数zai在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|2，则复数z_.答案1i解析因为z在复平面内对应的点位于第二象限，所以a0，由|z|2知，2，解得a1，故a1，所以z1i.6若复数(6k2)(k24)i(kR)所对应的点在第三象限，则k的取值范围是_答案2k或k2解析z位于第三象限，2k或k2.7(1)已知向量与实轴正向的夹角为45，向量对应的复数z的模为1，求z.(2)若z|z|2，求复数z.解(1)设zabi(a，bR)与x轴正向的夹角为45，|z|1，或，或.zi或zi.(2)z|z|2，z2|z|R，当z0时，|z|z，z1，当z0时，无解，z1.二、能力提升8已知|z1|，|z2|，|z1z2|2，则|z1z2|_.答案解析|z1z2|2，即|2.228.28323.|z1z2|22223322.|z1z2|.9复数1cos isin (2)的模为_答案2cos 解析|1cos isin |2|cos |，2，cos 0，|1cos isin |2cos .10已知复数z(x1)(2x1)i的模小于，则实数x的取值范围是_答案解析根据模的定义得，5x26x80，(5x4)(x2)0，x2.11.实数m为何值时，复数z(m28m15)(m23m28)i在复平面内的对应点：(1)位于第四象限；(2)位于x轴负半轴上；(3)在上半平面(含实轴)解(1)要使点位于第四象限，须，7m3.(2)要使点位于x轴负半轴上，须，m4.(3)要使点位于上半平面(含实轴)，须m23m280，解得m4或m7.12.已知复数z对应的向量为(O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120且复数z的模为2，求复数z.解根据题意可画图形如图所示：设点Z的坐标为(a，b)，|z|2，xOZ120，a1，b，即点Z的坐标为(1，)，z1i.三、探究与拓展13试研究方程x25|x|60在复数集上解的个数解设xabi(a，bR)，则原方程可化为a2b2562abi0或或即x2或x3或xi.故方程在复数集上的解共有6个