《无限长单位脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计》.ppt

本章主要内容数字滤波器的基本概念；模拟滤波器的设计；用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器；双线性变换法设计IIR数字低通滤波器；,第五章无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计,1、什么是滤波器(Filter)滤波：把一个信号处理成另一个信号的过程；滤波器：是一种具有频率选择的网络（系统），输入信号的某些频率分量可以无衰减（或衰减很小）通过，有些频率分量被阻止（衰减很大）通过。2、滤波器的分类模拟滤波器（AnalogFilter，AF）；数字滤波器（DigitalFilter，DF）；,5.1数字滤波器的基本概念,一、滤波器的基本概念,3、什么是数字滤波器输入和输出均是数字信号，该滤波器的单位脉冲响应也是数字序列。通过一定运算关系(数值运算)，改变输入数字信号所含频率成份的相对比例或滤除某些频率成份的器件。,4、数字滤波器的特点(相对模拟滤波器)精度高、稳定性好、实现灵活、不要求阻抗匹配、严格的线性相位和多维滤波、滤波自适应。,5、数字滤波器处理模拟信号通过A/DC和D/AC，使用数字滤波器对模拟信号的处理。,线性时不变系统输入和输出的关系,二、数字滤波原理,FT的时域卷积定理,1、一般分类经典滤波器：输入信号中的有用的频率成分和希望滤除的频率成分占用不同的频带，通过选频滤波器达到滤波的目的。现代滤波器：信号和干扰的频带相互重叠，要利用信号的统计分布规律，从干扰中最佳提取信号，如：维纳滤波器、卡尔曼滤波器和自适应滤波器等。,三、数字滤波器的分类,2、从滤波器的功能（按频率特性）来分类分为低通、高通、带通、带阻、全通滤波器,理想滤波器的幅度特性,特点：(1)h(n)是非因果且无限长，不可能实现，只能尽可能逼近；(2)H(ejw)以2为周期，低通的中心频带处于2的整数倍处，高通的中心频带处于的奇数倍附近。,DF中，一般考察其半个周期=0，的频域特性；,3、从滤波器的单位脉冲响应的长短分类,N阶IIR滤波器系统函数,N-1阶FIR滤波器系统函数,无限脉冲响应(IIR)数字滤波器,有限脉冲响应(FIR)数字滤波器：,这里介绍的数字滤波器属于选频滤波器1、数字滤波器的传输函数H(ejw),j(ej),四、数字滤波器的技术要求,|H(ejw)|：系统的幅频特性，表示信号通过该滤波器后各频率成分衰减情况。,(ej)：系统的相频特性：反映信号通过滤波器后各频率成分的延时情况。,注意：一般选频滤波器的技术要求由幅度特性给出，对相位特性不作要求；,2、数字滤波器的幅频特性|H(ejw)|的指标,指标说明：p：通带截止频率，通带频率范围：0p；S：阻带截止频率，阻带频率范围：s；C：3dB截止频率；过渡带（ps）：单调下降P：通带最大衰减；S：阻带最小衰减1：通带内幅度响应误差范围；2：阻带内幅度响应误差范围；,用dB数表示,衰减指标p和s的定义,如将|H(ej0)|归一化为1，上两式则表示成,当幅度衰减到2/2时，所对应频率c，此时P3dB，称c为3dB通带截止频率。,用衰减表示的低通滤波器的技术指标,五、数字滤波器设计概述,1、数字滤波器的设计过程按任务要求，确定滤波器的性能指标；用一个因果稳定的离散线性时不变系统的系统函数去逼近这个性能要求。用一个有限精度的算法来实现这个系统函数。实际的技术实现：计算机软件、专用数字滤波器硬件或软硬件相结合的方法实现。,2、数字滤波器的频率响应特性数字滤波器频率响应特性的三个参量：(1)幅度平方响应：滤波器的衰减特性,(2)相位响应,因为h(n)是实序列,(ej),j(ej),滤波器为线性相位响应时，通带内群时延特性为常数,3、IIR数字滤波器的设计方法（1）零极点位置累试法滤波器的特性可由其系统函数的零极点确定，幅频特性在单位圆内极点处出现峰值，在零点处出现谷值。所谓累试，通过多次改变零极点的位置或增加新的零极点来达到要求。只适用于设计简单低阶（一、二阶）的滤波器。（2）用模拟滤波器的理论来设计IIR数字滤波器先设计一个合适的模拟滤波器，然后将其变换成满足预定指标的数字滤波器。（3）计算机辅助设计法最优化的设计方法，先确定一种最佳准则，直接在频域或时域中进行设计。,理论和设计方法成熟，有若干典型的模拟滤波器可以选择。如：巴特沃斯(Butterworth)滤波器、切比雪夫(Chebyshev)滤波器、椭圆(Kllipse)滤波器、贝塞尔(Bessel)滤波器等，这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员使用。,5.2模拟滤波器的设计,各种理想模拟滤波器的幅度特性,低通滤波器技术指标可由幅度特性或幅度平方特性给出；,一、模拟低通滤波器的技术指标及逼近方法,p和s分别称为通带截止频率和阻带截止频率，单位rad/s;c称为3dB截止频率p是通带(0p)中的最大衰减系数，s是阻带s的最小衰减系数;图中幅度1表示用频率为0时的幅度作为基准幅度来进行归一化；,p和s一般用dB表示，对于单调下降的幅度特性，可表示成：,|Ha(j0)|2,|Ha(j0)|2,=0处幅度归一化为1，即|Ha(j0)|=1,c称为3dB截止频率,c=,给出模拟滤波器的技术指标；,二、用模拟滤波器逼近方法设计数字IIR滤波器步骤,设计传输函数Ha(s)：使其幅度平方函数满足给定指标ap和as,|Ha(j)|2=Ha(j)Ha*(j)=Ha(s)Ha(-s)|S=j,确定Ha(s)：系统Ha(s)应是稳定的系统，因此，极点应位于S左半平面内。,N：滤波器的阶数；：滤波器的参数；p：滤波器通带截止频率；,三、巴特沃思低通滤波器,1、巴特沃思低通滤波器的幅度平方函数的分析,衰减特性：,|Ha(j0)|=1,采用归一化基准频率,巴特沃思滤波器的幅度平方函数,c，幅度迅速下降，N越大，幅度下降越快，过渡带越窄,当=0时，,当=c时，,所示c是3dB截止频率,1,2、由幅度平方函数|Ha(j)|2确定系统函数Ha(s),此式表明幅度平方函数有2N个极点，极点sk用下式表示：,其中，k=0,1,(2N-1),2N个极点等间隔分布在半径为c的圆上，间隔是/Nrad，左半平面N个点构成Ha(s)传输函数，右半平面N个点构成Ha(-s)传输函数。,Ha(s)表示为：,由于各滤波器的幅频特性不同，为使设计统一，将所有的频率归一化。采用对3dB截止频率c归一化，归一化后的Ha(s)表示为：,知道滤波器的阶数N，可得归一化的传输函数，去归一化p=j=s/c,可得到实际的传输函数Ha(s),令s/c=j/c，=/c，称为归一化频率，令p=j，p称为归一化复变量，归一化巴特沃斯的传输函数为：,归一化极点，k=0,1,N-1,3、根据给出的技术指标P、S、p、S，求滤波器阶数N,用上式求出的N可能有小数部分，应取大于等于N的最小整数。,根据求极点公式：,4、总结巴特沃思滤波器的设计步骤,（1）根据给出的技术指标P、S、p、S，确定滤波器阶数N,（2）求归一化极点pk，确定归一化传输函数Ha(p),或：根据阶数N，查P206表5.2.1得到极点和归一化传输函数,，k=0,1,N-1。再带入：,阻带指标有富裕度,通带指标有富裕度,（3）求3dB截止频率c,将p=s/c，代入Ha(p)中得：Ha(s)=Ha(p)|p=s/c,(4)将Ha(p)去归一化，得到实际的滤波器传输函数Ha(s),表示两极点P1、PN-2,例：设计一个巴特沃思低通滤波器，在时衰减不大于1dB，在时衰减不小于10dB。,解：(1)求阶数：,取N2,（2）求归一化的系统函数,k=0,1,p0,p1,也可查表5.2.1直接得出Ha(p),（3）确定3dB截止频率c,(4)确定滤波器的系统函数,滤波器的频率响应,利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器设计思想,5.3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器,设计技术成熟有相当简便的公式和图表,要求DF特性模仿AF的特性,实际上是个映射问题,(1)数字滤波器的频率响应模仿模拟滤波器的频响，s平面的虚轴映射z平面的单位圆，相应的频率之间成线性关系。(2)因果稳定的模拟滤波器转换成数字滤波器，仍是因果稳定的。,对转换关系的两点要求：,时间特性上的模仿,频率响应上的模仿,Ha(s)LT-1Ha(s)ha(t)时域采样h(n)ZTh(n)H(z),所以说脉冲响应不变法是一种时域上的变换方法,一、变换原理,1、基本思想,使h(n)模仿ha(t)，让h(n)正好等于ha(t)的采样值,过程：,2、S平面和Z平面之间的映射关系（复习）,（1）采样信号的拉氏变换与序列的z变换之间的映射关系,ha(t)的采样信号表示为:,对进行拉氏变换，得到,结论：采样信号的拉氏变换是原模拟信号的拉氏变换在S平面沿虚轴以s=2/T为周期进行的周期延拓；,将s=j代入上式，得：,(2)模拟信号的拉氏变换与采样信号的拉氏变换之间的关系,说明：采用脉冲响应不变法将AF变换为数字DF时Ha(s)沿虚轴以s=2/T为周期进行周期延拓;再经过Z=eST的映射关系映射到Z平面上，从而得到H(z),(3)模拟信号的拉氏变换与序列的Z变换之间的映射关系,设：S=j，z=rejw,频率域的坐标变换是线性的，满足转换关系的第1个要求。,r=eT,3、分析,因果稳定模仿频响,=T,问题：转换是否满足对转换关系提出的2点要求？,z=eST,0时，S平面的右半平面映射到Z平面的单位圆外(r=|z|1)结论：若Ha(s)是因果稳定的，则转换后的H(z)也是因果稳定的。,r=eT,因果稳定的分析,当不变，角频率变化2/T整数倍，映射值不变，S平面上每一条宽度为2/T的水平横带都重迭地映射到Z平面的整个全平面上每条水平横带的左半部分映射到Z平面单位圆内；水平横带右半部分映射到Z平面的单位圆外；j虚轴上每2/T段都对应着单位圆一周,由于z=esT是周期函数,4、混叠失真,频率混叠,否则，设计出来的DF在w=附近产生频率混叠。使设计出来的DF不能很好地重现AF的频响，满足不了设计要求。,数字滤波器的频响与模拟滤波器的频响的关系,当AF的频响是限带的，且带限于折叠频率以内时，即:,DF不产生混叠失真,结论：脉冲响应不变法只适合设计带限滤波器，如：低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。,1、设模拟滤波器Ha(s)只有单阶极点，且分母多项式的阶次高于分子多项式的阶次，将Ha(s)用部分分式表示：,si为Ha(s)的单阶极点,二、变换方法,等间隔采样，采样间隔为T,z变换,结论:S平面的单极点s=sk映射到Z平面的极点z=esiT。Ha(s)部分分式的系数与H(z)部分分式的系数相同。不保证整个平面与平面都存在其极点那样的代数对应关系。若所有sk在s左半平面，则所有zk在单位圆内。因此，AF稳定，则DF稳定。,为使数字滤波器的增益不受采样间隔的影响，故作以下修正,（1）确定数字滤波器的一组通、阻带截止频率，通带内容许的最大衰减为，阻带内容许的最小衰减为。（2）采用变换公式把数字滤波器的这组频率指标转换成相应的模拟滤波器的一组频率指标，而、不变。（3）根据模拟滤波器的技术要求，设计其系统函数。（4）由求数字滤波器的系统函数。（5）利用校核所设计的数字滤波器是否满足技术指标要求。,三、设计步骤,注意：参数T可任选,注：s阻带截止频率,例：已知模拟低通滤波器的系统函数为,用脉冲响应不变法将转换成数字滤波器的系统函数。,解：首先将展为部分分式的形式,极点为：,数字滤波器的系统函数为：,设T=1s，得：,设T=0.1s，得：,将三者的幅度特性用它们的最大值归一化后的幅度特性如图所示。,AF的幅度特性,DF的幅度特性,例：用脉冲响应不变法设计巴特沃思数字低通滤波器，要求在频率小于的通带内，幅度特性下降小于等于1dB；在频率到之间的阻带衰减大于等于15dB。,解：（1）待设计的数字低通滤波器的技术指标为：,查表得到归一化系统函数为,求3dB截止频率,去归一化,（4）求相应的数字滤波器的系统函数,（5）检查设计的数字滤波器是否满足给定的指标要求,四、脉冲响应不变法的优缺点优点：1、频率变换是线性关系;w=T，数字滤波器可以很好重现模拟滤波器的频响特性；2、数字滤波器的单位脉冲响应完全模仿模拟滤波器的单位冲激响应，时域特性逼近好；,缺点：1.有频谱混迭失真现象；(S平面到Z平面有多值映射关系)2.由于频谱混迭，使应用受到限制，只适合于用来设计限带的滤波器，如低通和带通滤波器。,脉冲响应不变法的缺点:产生频率谱混迭现象。,5.4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器,原因：s平面到z平面是多值对单值的映射关系，模拟低通的最高频率超过了折叠频率/T，数字化后在=形成频谱混叠现象。,解决方法：采用非线性压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到/T之间，而后再用z=eST转换到z平面上。,步骤：首先把整个s平面压缩变换到某一中介的s1平面的一条从到，宽度为的横带里（s1平面的横带和s平面是单值对应关系）；再通过标准变换关系，将此横带变换到整个z平面上去；,一、变换原理,好处：s平面与z平面成为一一对应的单值映射关系，消除了频谱混叠现象。,1、非线性压缩：(S平面S1平面映射),T：时域采样间隔,采用正切变换实现非线性频率压缩，设Ha(s)，s=j，经过非线性频率压缩后用Ha(s1)表示，s1=j1，则：,表明：当1从/T经过0变化到-/T时，则由经过0变化到-，这样，实现了s平面上整个虚轴完全压缩到s1平面上虚轴的/T之间。,2、S1平面与S平面的关系,s到z和由z到s的变换都是线性变换，所以称为双线性变换,二、逼近情况分析,1、因果稳定性分析,当时，说明s平面的左半平面映射到z平面的单位圆内；,当时，说明s平面的右半平面映射到z平面的单位圆外；,当时，说明s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上；,结论：因果稳定的模拟滤波器经双线性变换后所得到的数字滤波器也一定是因果稳定的。,2、模拟频率和数字频率之间的关系,设：z=ej，s=j，带入左式,说明：s平面上与z平面的是非线性正切关系，消除了频率混叠现象。,代价：影响数字滤波器频响逼真模拟滤波器的频响的逼真度，存在幅度失真和相位失真。,零频附件，和接近线性关系；增加，和存在严重的非线性关系；如果的刻度是均匀的，通过非线性正切关系，映射到z平面的刻度不均匀，随增加越来越密，即边界频率发生畸变。一线性相位的模拟滤波器，经双线性变换后成为非线性相位的数字滤波器；如果模拟滤波器具有片段常数特性，则转换到z平面具有片段常数特性。适于片段常系数滤波器的设计。,幅度特性失真,相位特性失真,3、双线性变换法的幅度失真和相位失真,对边缘临界频率点产生的畸变，可通过频率的预畸变加以校正。,pp/T,ss/T,4、双线性变换法的频率预畸变,例：数字低通滤波器的两个截止频率：p和s，如果按照线性变换所对应的模拟滤波器的截止频率分别为：,即通过非线性的频率变换公式，得到的数字滤波器的截止频率就不等于原频率,解决方法：数字频率转换成模拟频率时，先进行预畸变的处理：,2arctan(T/2),p=!p,S=!S,1、优点消除了频谱混迭失真；频率映射s平面与z平面是一一对应的单值映射关系，避免了脉冲响应不变法的频谱“混迭”现象。2、缺点以频率变换的非线性为代价，模拟域和数字域进行非线性映射，其瞬时响应不如脉冲响应不变法好。,5、总结双线性变换法的特点,四、双线性变换法设计数字滤波器的步骤,（1）确定数字滤波器的通带和阻带截止频率，通带内容许的最大衰减P及阻带内容许的最小衰减S。,（2）采用频率预畸变的方法把数字滤波器的通带和阻带截止频率变换成相应的模拟滤波器的通带和阻带截止频率，通带最大衰减及阻带最小衰减不变。,（3）根据模拟滤波器的技术指标，设计其系统函数Ha(s),（4）求数字滤波器的系统函数H(z),（5）检验所设计的数字滤波器是否满足技术指标要求。,例：已知模拟滤波器的系统函数，试用双线性变换法将转换成数字滤波器的系统函数。,设T=1s，则：,解：,双线性变换法设计的数字滤波器的频响限制在0和之间，不存在频率响应的混叠现象。,例：用双线性变换法设计巴特沃思数字低通滤波器，要求在频率小于的通带内，幅度特性下降小于等于1dB；在频率到之间的阻带衰减大于等于15dB。,（2）确定模拟低通滤波器的技术指标，取T=1。,取N=6,（3）设计巴特沃思模拟低通滤波器：,（4）求数字滤波器的系统函数：,（5）校核所设计的数字滤波器是否满足给定的指标要求,例：用双线性变换法设计数字低通滤波器，要求在频率小于等于100Hz的通带内，幅度的衰减特性不大于2dB；在频率大于等于300Hz的阻带内，衰减不小于15dB，采样频率为1000Hz，采用巴特沃思型滤波器。,采样频率为1000Hz，所以T=0.001s，待设计的数字低通滤波器的技术指标为：,解:（1）确定待设计的数字低通滤波器的技术指标：,（2）确定模拟低通滤波器的技术指标：,设T=1s,（3）设计模拟巴特沃思低通滤波器：,取N=2,（4）由求其相应数字滤波器的系统函数：,（5）校核所设计的数字滤波器是否满足给定的指标要求：,所设计的数字滤波器满足给定的指标要求。,1、已知模拟滤波器的传输函数为，设采样周期T=0.1s，采用脉冲响应不变法将其转换为数字滤波器，求该数字滤波器的系统函数H(z)。2、用双线性变换法设计IIR数字滤波器，要求通带截止频率为/5rad，通带内容许的最大衰减为3dB，阻带截止频率为3/5rad，阻带的最小衰减为20dB，模拟滤波器采用巴特沃斯低通滤波器。,本章作业,