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专题限时集训(十四)圆锥曲线的定义、方程、几何性质 建议A、B组各用时：45分钟A组高考达标一、选择题1(2016全国甲卷)设F为抛物线C：y24x的焦点，曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，则k()A.B1C.D2Dy24x，F(1,0)又曲线y(k0)与C交于点P，PFx轴，P(1,2)将点P(1,2)的坐标代入y(k0)得k2.故选D.2(2016石家庄一模)过点A(0,1)作直线，与双曲线x21有且只有一个公共点，则符合条件的直线的条数为()A0B2 C4D无数C过点A(0,1)和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点，这样的直线有两条，过点A(0,1)和双曲线相切的直线只有一个公共点，这样的直线也有两条，故共四条直线与双曲线有且只有一个公共点3(2016唐山二模)椭圆y21(0m1)上存在点P使得PF1PF2，则m的取值范围是()A. BC. D.B当点P是短轴的顶点时F1PF2最大，因此若椭圆上存在点P使得PF1PF2，则F1PF290，所以F2PO45(O是原点)，从而，即1m2，又0m1，所以0m.4(2016海口二模)设点P是椭圆1(ab0)上一点，F1，F2分别是椭圆的左，右焦点，I为PF1F2的内心，若SIPF1SIPF22SIF1F2，则该椭圆的离心率为()A. BC. D.A因为SIPF1SIPF2SIF1F2SPF1F2，所以3SIF1F2SPF1F2，设PF1F2内切圆的半径为r，则有2cr(|PF1|PF2|2c)r，整理得|PF1|PF2|4c，即2a4c，所以e.5(2016兰州模拟)已知椭圆C：1(ab0)的离心率为.双曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为() 【导学号：85952052】A.1 B1C.1 D.1D椭圆的离心率e，所以a2b.所以椭圆方程为x24y24b2.因为双曲线x2y21的渐近线方程为xy0，所以渐近线xy0与椭圆x24y24b2在第一象限的交点为，所以由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为bb4，所以b25，所以a24b220.所以椭圆C的方程为1.故选D.二、填空题6(2016合肥二模)双曲线M：x21的左、右焦点分别为F1，F2，记|F1F2|2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|c2，则P点的横坐标为_根据双曲线的定义知|PF1|PF2|2，又|PF1|c2，所以|PF2|c，由勾股定理得(c2)2c24c2，即c22c20，解得c1，根据OPF2是等边三角形得P点的横坐标为.7(2016邯郸二模)已知F1，F2为1的左、右焦点，M为椭圆上一点，则MF1F2内切圆的周长等于3，若满足条件的点M恰好有2个，则a2_. 【导学号：85952053】25由题意得内切圆的半径等于，因此MF1F2的面积为(2a2c)，即|yM|2c，因为满足条件的点M恰好有2个，所以M为椭圆短轴端点，即|yM|4，所以3a5c而a2c216，所以a225.8(2016平顶山二模)如图141，F1，F2是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点B，A.若ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为_图141因为ABF2为等边三角形，由点A是双曲线上的一点知，|F1A|F2A|F1A|AB|F1B|2a，由点B是双曲线上一点知，|BF2|BF1|2a，从而|BF2|4a，由ABF260得F1BF2120，在F1BF2中应用余弦定理得4c24a216a222a4acos 120，整理得c27a2，则e27，从而e.三、解答题9(2016唐山一模)在ABC中，A(1,0)，B(1,0)，若ABC的重心G和垂心H满足GH平行于x轴(G，H不重合)(1)求动点C的轨迹方程；(2)已知O为坐标原点，若直线AC与以O为圆心，以|OH|为半径的圆相切，求此时直线AC的方程解(1)由题意可设C(x，y)，则G，H，(x1，y).2分因为H为垂心，所以x210，整理可得x21，即动点C的轨迹方程为x21(xy0).4分(2)显然直线AC的斜率存在，设AC的方程为yk(x1)，C(x0，y0)将yk(x1)代入x21得(3k2)x22k2xk230，6分解得x0，y0，则H.8分原点O到直线AC的距离d，依题意可得，10分即7k42k290，解得k21，即k1或1，故所求直线AC的方程为yx1或yx1.12分10(2016全国甲卷)已知椭圆E：1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MANA.(1)当t4，|AM|AN|时，求AMN的面积；(2)当2|AM|AN|时，求k的取值范围解设M(x1，y1)，则由题意知y10.(1)当t4时，E的方程为1，A(2,0).2分由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为.因此直线AM的方程为yx2.将xy2代入1得7y212y0.解得y0或y，所以y1.4分因此AMN的面积SAMN2.5分(2)由题意t3，k0，A(，0)将直线AM的方程yk(x)代入1得(3tk2)x22tk2xt2k23t0.由x1()得x1，故|AM|x1|.7分由题设，直线AN的方程为y(x)，故同理可得|AN|.由2|AM|AN|得，即(k32)t3k(2k1)当k时上式不成立，因此t.9分t3等价于0，即0.10分由此得或解得k2.因此k的取值范围是(，2).12分B组名校冲刺一、选择题1(2016唐山二模)已知点A是抛物线C：x22py(p0)上一点，O为坐标原点，若以点M(0,8)为圆心，|OA|的长为半径的圆交抛物线C于A，B两点，且ABO为等边三角形，则p的值是()A.B2 C6D.D由题意知|MA|OA|，所以点A的纵坐标为4，又ABO为等边三角形，所以点A的横坐标为，又点A是抛物线C上一点，所以2p4，解得p.2(2016安庆二模)已知焦点在x轴上的椭圆方程为1，随着a的增大该椭圆的形状()A越接近于圆 B越扁C先接近于圆后越扁 D先越扁后接近于圆D由题意知4aa21且a0，解得2a2，又e2111.因此当a(2，1)时，e越来越大，当a(1,2)时，e越来越小，故选D.3已知F1，F2分别是双曲线1(a0，b0)的左、右焦点，对于左支上任意一点P都有|PF2|28a|PF1|(a为实半轴)，则此双曲线的离心率e的取值范围是() 【导学号：85952054】A(1，) B(2,3C(1,3 D(1,2C由P是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，得|PF2|2a|PF1|，所以|PF1|4a8a，所以|PF1|2a，|PF2|4a，在PF1F2中，|PF1|PF2|F1F2|，即2a4a2a，所以e3.又e1，所以1e3.故选C.4(2016武汉二模)抛物线y22px(p0)的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足AFB120.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为()A.B1 C.D2A设AFa，BFb，由余弦定理得|AB|2a2b22abcos 120a2b2ab(ab)2ab(ab)22(ab)2.abAFBF2MN，|AB|2|2MN|2，.二、填空题5(2016哈尔滨二模)设F1，F2是椭圆x21(0b1)的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|AF1|3|F1B|，且AF2x轴，则b2_.由题意F1(c,0)，F2(c,0)，AF2x轴，|AF2|b2，A点坐标为(c，b2)，设B(x，y)，则|AF1|3|F1B|，(cc，b2)3(xc，y)，B，代入椭圆方程可得21.1b2c2，b2.6过抛物线y24x焦点F的直线交其于A，B两点，O为坐标原点若|AF|3，则AOB的面积为_设直线AB的倾斜角为(0)及|BF|m，|AF|3，点A到准线l：x1的距离为3，23cos 3，即cos ，则sin .m2mcos()，m，AOB的面积为S|OF|AB|sin 1.三、解答题7如图142，椭圆C：1(ab0)的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A，B，且|AB|BF|.图142(1)求椭圆C的离心率；(2)若点M在椭圆C内部，过点M的直线l交椭圆C于P，Q两点，M为线段PQ的中点，且OPOQ.求直线l的方程及椭圆C的方程解(1)由已知|AB|BF|，即a，2分4a24b25a2,4a24(a2c2)5a2，e.4分(2)由(1)知a24b2，椭圆C：1.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由1，1，可得0，即0，即(y1y2)0，从而kPQ2，6分直线l的方程为y2，即2xy20.8分由x24(2x2)24b20，即17x232x164b20，9分3221617(b24)0b，x1x2，x1x2.OPOQ，0，即x1x2y1y20，x1x2(2x12)(2x22)0,5x1x24(x1x2)40，11分从而40，解得b1，椭圆C的方程为y21.12分8(2016全国丙卷)已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：ARFQ；(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程解由题意知F.设l1：ya，l2：yb，则ab0，且A，B，P，Q，R.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)yab0.2分(1)由于F在线段AB上，故1ab0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1bk2.所以ARFQ.4分(2)设l与x轴的交点为D(x1,0)，则SABF|ba|FD|ba|，SPQF.6分由题设可得2|ba|，8分所以x10(舍去)或x11.设满足条件的AB的中点为E(x，y)当AB与x轴不垂直时，9分由kABkDE可得(x1)而y，所以y2x1(x1).10分当AB与x轴垂直时，E与D(1,0)重合.11分所以，所求轨迹方程为y2x1.12分
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