高三数学二轮复习 专题限时集训11 专题4 突破点11 空间中的平行与垂直关系 理

专题限时集训(十一)空间中的平行与垂直关系建议A、B组各用时：45分钟A组高考达标 一、选择题1(2016南昌一模)设为平面，a，b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是()A若a，b，则abB若a，ab，则bC若a，ab，则bD若a，ab，则bBA中，两直线可能平行、相交或异面，故A错；B中，由直线与平面垂直的判定定理可知B正确；C中，b可能平行，也可能在内，故C错；D中，b可能平行，也可能在内，还可能与相交，故D错综上所述，故选B.2(2016济南一模)设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，给出下列四个命题：若mn，m，则n；若m，m，则；若mn，m，则n；若m，m，则.其中真命题的个数为()A1B2C3D4A对于，由直线与平面垂直的判定定理易知其正确；对于，平面与可能平行或相交，故错误；对于，直线n可能平行于平面，也可能在平面内，故错误；对于，由两平面平行的判定定理易得平面与平行，故错误综上所述，正确命题的个数为1，故选A.图1153如图115所示，直线PA垂直于O所在的平面，ABC内接于O，且AB为O的直径，点M为线段PB的中点现有结论：BCPC；OM平面APC；点B到平面PAC的距离等于线段BC的长其中正确的是()ABC DB对于，PA平面ABC，PABC.AB为O的直径，BCAC.又PAACA，BC平面PAC，又PC平面PAC，BCPC.对于，点M为线段PB的中点，OMPA.PA平面PAC，OM平面PAC，OM平面PAC.对于，由知BC平面PAC，线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，故都正确4已知，是两个不同的平面，有下列三个条件：存在一个平面，；存在一条直线a，a，a；存在两条垂直的直线a，b，a，b.其中，所有能成为“”的充要条件的序号是()ABCDD对于，存在一个平面，则，反之也成立，即“存在一个平面，”是“”的充要条件，所以对，可排除B，C.对于，存在两条垂直的直线a，b，则直线a，b所成的角为90，因为a，b，所以，所成的角为90， 即，反之也成立，即“存在两条垂直的直线a，b，a，b”是“”的充要条件，所以对，可排除A，选D.图1165(2016成都二模)在三棱锥PABC中，已知PA底面ABC，ABBC，E，F分别是线段PB，PC上的动点，则下列说法错误的是()A当AEPB时，AEF一定为直角三角形B当AFPC时，AEF一定为直角三角形C当EF平面ABC时，AEF一定为直角三角形D当PC平面AEF时，AEF一定为直角三角形B因为AP平面ABC，所以APBC，又ABBC，且PA和AB是平面PAB上两条相交直线，则BC平面PAB，BCAE.当AEPB时，AE平面PBC，则AEEF，AEF一定是直角三角形，A正确；当EF平面ABC时，EF在平面PBC上，平面PBC与平面ABC相交于BC，则EFBC，则EFAE，AEF一定是直角三角形，C正确；当PC平面AEF时，AEPC，又AEBC，则AE平面PBC，AEEF，AEF一定是直角三角形，D正确；B中结论无法证明，故选B.二、填空题6已知P为ABC所在平面外一点，且PA，PB，PC两两垂直，则下列命题：PABC；PBAC；PCAB；ABBC.其中正确命题的个数是_. 【导学号：85952041】3如图所示，PAPC，PAPB，PCPBP，PA平面PBC.又BC平面PBC，PABC.同理PBAC，PCAB，但AB不一定垂直于BC.7在三棱锥CABD中(如图117)，ABD与CBD是全等的等腰直角三角形，O是斜边BD的中点，AB4，二面角ABDC的大小为60，并给出下面结论：ACBD；ADCO；AOC为正三角形；cos ADC；四面体ABCD的外接球表面积为32.其中真命题是_(填序号)图117由题意知BDCO，BDAO，则BD平面AOC，从而BDAC，故正确；根据二面角ABDC的大小为60，可得AOC60，又直线AD在平面AOC的射影为AO，从而AD与CO不垂直，故错误；根据AOC60，AOCO可得AOC为正三角形，故正确；在ADC中 ，ADCD4，ACCO2，由余弦定理得cos ADC，故错误；由题意知，四面体ABCD的外接球的球心为O，半径为2，则外接球的表面积为S4(2)232，故正确8正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是_(填序号)ACBE；B1E平面ABCD；三棱锥EABC的体积为定值；直线B1E直线BC1.因为AC平面BDD1B1，故，正确；记正方体的体积为V，则VEABCV为定值，故正确；B1E与BC1不垂直，故错误三、解答题9(2016北京高考)如图118，在四棱锥PABCD中，PC平面ABCD，ABDC，DCAC.图118(1)求证：DC平面PAC.(2)求证：平面PAB平面PAC.(3)设点E为AB的中点，在棱PB上是否存在点F，使得PA平面CEF？说明理由解(1)证明：因为PC平面ABCD，所以PCDC.2分又因为DCAC，且PCACC，所以DC平面PAC.4分(2)证明：因为ABDC，DCAC，所以ABAC.因为PC平面ABCD，所以PCAB.又因为PCACC，所以AB平面PAC.8分又AB平面PAB，所以平面PAB平面PAC.9分(3)棱PB上存在点F，使得PA平面CEF.10分理由如下：取PB的中点F，连接EF，CE，CF.又因为E为AB的中点，所以EFPA.又因为PA平面CEF，且EF平面CEF，所以PA平面CEF.14分10(2016河南六市模拟)如图119，四棱锥PABCD，侧面PAD是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是ABC60的菱形，M为PC的中点图119(1)求证：PCAD；(2)求点D到平面PAM的距离解(1)证明：法一：取AD中点O，连接OP，OC，AC，依题意可知PAD，ACD均为正三角形，所以OCAD，OPAD，又OCOPO，OC平面POC，OP平面POC，所以AD平面POC，又PC平面POC，所以PCAD.5分法二：连接AC，AM，DM，依题意可知PAD，ACD均为正三角形，又M为PC的中点，所以AMPC，DMPC，又AMDMM，AM平面AMD，DM平面AMD，所以PC平面AMD，又AD平面AMD，所以PCAD.5分(2)由题可知，点D到平面PAM的距离即点D到平面PAC的距离，由(1)可知POAD，又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD，即PO为三棱锥PADC的高在RtPOC中，POOC，PC，在PAC中，PAAC2，PC，边PC上的高AM，所以SPACPCAM.8分设点D到平面PAC的距离为h，由VDPACVPACD得SPAChSACDPO，又SACD22，所以h，解得h，所以点D到平面PAM的距离为.12分B组名校冲刺一、选择题1(2016乌鲁木齐三模)如图1110，在多面体ABCDEFG中，平面ABC平面DEFG，ACGF，且ABC是边长为2的正三角形，四边形DEFG是边长为4的正方形，M，N分别为AD，BE的中点，则MN()图1110A.B4C. D5A如图，取BD的中点P，连接MP，NP，则MPAB，NPDE，MPAB1，NPDE2.又ACGF，ACNP.CAB60，MPN120，MN，故选A.2如图1111，四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD.则在三棱锥ABCD中，下列命题正确的是()图1111A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABCD在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，BDCD.又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，CD平面ABD，则CDAB.又ADAB，ADCDD，AB平面ADC，又AB平面ABC，平面ABC平面ADC，故选D.3(2016贵阳二模)如图1112，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在AEF内的射影为O，则下列说法正确的是()图1112AO是AEF的垂心BO是AEF的内心CO是AEF的外心DO是AEF的重心A由题意可知PA，PE，PF两两垂直，PA平面PEF，从而PAEF，而PO平面AEF，则POEF.POPAP，EF平面PAO，EFAO，同理可知AEFO，AFEO，O为AEF的垂心故选A.4(2016长沙模拟)如图1113，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，图1113E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF，则下列结论中错误的是()AACBFB三棱锥ABEF的体积为定值CEF平面ABCDD异面直线AE，BF所成的角为定值D对于选项A，连接BD，易知AC平面BDD1B1.BF平面BDD1B1，ACBF，故A正确；对于选项B，AC平面BDD1B1，A到平面BEF的距离不变EF，B到EF的距离为1，BEF的面积不变，三棱锥ABEF的体积为定值，故B正确；对于选项C，EFBD，BD平面ABCD，EF平面ABCD，EF平面ABCD，故C正确；对于选项D，异面直线AE，BF所成的角不为定值，当F与B1重合时，令上底面中心为O，则此时两异面直线所成的角是A1AO，当E与D1重合时，点F与O重合，则两异面直线所成的角是OBC1，这两个角不相等，故异面直线AE，BF所成的角不为定值，故D错误二、填空题5(2016衡水二模)如图1114，正方形BCDE的边长为a，已知ABBC，将ABE沿边BE折起，折起后A点在平面BCDE上的射影为D点，关于翻折后的几何体有如下描述：图1114AB与DE所成角的正切值是；ABCE；VBACEa3；平面ABC平面ACD.其中正确的有_(填序号)作出折叠后的几何体直观图如图所示：ABBCa，BEa，AEa.ADa，ACa.在ABC中，cosABC.sinABC.tan ABC.BCDE，ABC是异面直线AB，DE所成的角，故正确连接BD，CE，则CEBD，又AD平面BCDE，CE平面BCDE，CEAD.又BDADD，BD平面ABD，AD平面ABD，CE平面ABD.又AB平面ABD，CEAB，故错误VBACEVABCESBCEADa2a，故正确AD平面BCDE，BC平面BCDE，BCAD.又BCCD，CDADD，CD，AD平面ACD，BC平面ACD.BC平面ABC，平面ABC平面ACD，故正确故答案为.6(2016太原二模)已知在直角梯形ABCD中，ABAD，CDAD，AB2AD2CD2，将直角梯形ABCD沿AC折叠成三棱锥DABC，当三棱锥DABC的体积取最大值时，其外接球的体积为_ 【导学号：85952042】当平面DAC平面ABC时，三棱锥DABC的体积取最大值此时易知BC平面DAC，BCAD.又ADDC，AD平面BCD，ADBD，取AB的中点O，易得OAOBOCOD1，故O为所求外接球的球心，故半径r1，体积Vr3.三、解答题7(2016四川高考)如图1115，在四棱锥PABCD中，PACD，图1115ADBC，ADCPAB90，BCCDAD.(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM平面PAB，并说明理由；(2)证明：平面PAB平面PBD.解(1)取棱AD的中点M(M平面PAD)，点M即为所求的一个点.2分理由如下：因为ADBC，BCAD，所以BCAM，且BCAM.所以四边形AMCB是平行四边形，所以CMAB.4分又AB平面PAB，CM平面PAB，所以CM平面PAB.6分(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)证明：由已知，PAAB，PACD，因为ADBC，BCAD，所以直线AB与CD相交，所以PA平面ABCD，所以PABD.8分因为ADBC，BCAD，M为AD的中点，连接BM，所以BCMD，且BCMD，所以四边形BCDM是平行四边形，10分所以BMCDAD，所以BDAB.又ABAPA，所以BD平面PAB.又BD平面PBD，所以平面PAB平面PBD.12分8(2016长春二模)已知等腰梯形ABCD(如图1116(1)所示)，其中ABCD，E，F分别为AB和CD的中点，且ABEF2，CD6，M为BC中点现将梯形ABCD沿着EF所在直线折起，使平面EFCB平面EFDA(如图1116(2)所示)，N是线段CD上一动点，且CNND.(1)(2)图1116(1)求证：MN平面EFDA；(2)求三棱锥AMNF的体积解(1)证明：过点M作MPEF于点P，过点N作NQFD于点Q，连接PQ.由题知，平面EFCB平面EFDA，又MPEF，平面EFCB平面EFDAEF，MP平面EFDA.又EFCF，EFDF，CFDFF，EF平面CFD.又NQ平面CFD，NQEF.又NQFD，EFFDF，NQ平面EFDA，MPNQ.2分又CNND，NQCF32，且MP(BECF)(13)2，MP綊NQ，四边形MNQP为平行四边形.4分MNPQ.又MN平面EFDA，PQ平面EFDA，MN平面EFDA.6分(2)法一：延长DA，CB相交于一点H，则HCB，HDA.又CB平面FEBC，DA平面FEAD.H平面FEBC，H平面FEAD，即H平面FEBC平面FEADEF，DA，FE，CB交于一点H，且HEEF1.8分V三棱锥FCDHV三棱锥CHFDSHFDCF，又由平面几何知识得，10分则，V三棱锥AMNFV三棱锥FAMNV三棱锥FCDH1.12分法二：V三棱台BEACDFEF(SBEASCDF)2，V四棱锥ABEFMAES四边形BEFM，V三棱锥NADF2SADF2，V三棱锥NCFM1SCFM，10分V三棱锥AMNFV三棱台BEACDFV三棱锥NCFMV四棱锥ABEFMV三棱锥NADF21.12分