资源描述
1,第二章随机变量的分布,将随机试验的结果数量化,即用变量取值的方式,表示试验的结果,就得到所谓的随机变量。,2,比如,抛掷一枚硬币,可能的结果是出现正面与出现反面;如果设变量X是硬币出现正面的次数则X=1与X=0分别表示上面的两个结果。这个X就是一个随机变量。,3,用随机变量取值的方式表示试验的结果,是应用数学方法处理随机性问题所必须的,下面介绍随机变量的定义及其相关性质。,4,第一节随机变量及其分布函数,定义1.设是试验的样本空间,若对于的每一个样本点,都有唯一的实数X()与之对应,且对于任意给定实数x,事件X()x都有确定的概率,则称X()为上的随机变量,简记为X。,5,随机变量取什么值由试验的结果决定,在试验结束之前无法预知它取什么值。随机变量取各种值的可能性大小有其确定的统计规律性,称这个规律为随机变量的分布。,在概率论中,用分布函数来描述随机变量取值的统计规律性。,分布函数是描述随机变量取值规律性的最重要的概念。,6,定义2.设X是一个随机变量,x是任意的实数,定义函数FX(x)为FX(x)=PXx=P|X()x称FX(x)为随机变量X的分布函数。,在不至于混淆的时候,也把X的分布函数FX(x)记为F(x)。,如果将随机变量X看成是实数轴上的一个点,则可称之为“随机点X”。,7,分布函数FX(x)的函数值是事件随机点X落在区间(,x内的概率。当自变量x在实数轴(,)上变化时,FX(x)的变化情况刻划了随机变量X取值的统计规律。,x,随机点X,这件事发生的概率就是分布函数FX(x),8,例1.将一枚均匀硬币连抛两次,设出现正面的次数为X,请写出X的分布函数F(x)。,解.X的可能取值为0,1,2;取其它值则为不可能事件。首先计算相应的概率:,9,由于F(x)=PXx,因此有,012,x,x,012,012,x,012,x,当x0,当0x1,当1x2,当2x,10,所以:当x0时,当0x1时,当1x2时,当2x时,11,描绘出分布函数F(x)的图形,有,F(x)的图形是阶梯形状上升的,在每一个台阶处的跃变值,就是随机变量取值于该点的概率值。这是很常见的一类随机变量的分布函数的图形。,012,1,0.75,0.5,0.25,F(x),x,12,分布函数的基本性质,设F(x)是随机变量X的分布函数,则,(1)F(x)是单调不减函数,即对于任意实数x1x2,有F(x1)F(x2),并且,Px1Xx2=F(x2)F(x1),13,性质(1)的证明:,PXx1PXx2即F(x1)F(x2);,而事件x1Xx2是事件Xx2与事件Xx1的差事件,因而有,=F(x2)F(x1),因为x1x2,因而事件Xx1被事件Xx2包含,故,Px1Xx2=PXx2PXx1,14,(2)0F(x)1,且,F()=0,F()=1,(3)F(x)右连续,即F(x+0)=F(x),这个结论可从直观上得到解释:,
展开阅读全文