数制与码制逻辑代数基础.ppt

讲授者：徐新民Email:xuxm,数字电路,教材：1、数字电子技术基础阎石主编2、脉冲电路何小艇主编3、FPGA原理、设计和应用赵雅兴主编4、数字系统设计和VerilogHDL王金明主编,2020/4/27,第2页,第2页,第一章逻辑代数基础,数字信号和模拟信号模拟信号：表示模拟量的信号，如：热电偶的电压信号(温度变化时，电压随之改变)。数字信号：表示数字量的电信号,1.1概述,1.1.1数字量和模拟量,模拟量：在时间上和数量上都是连续的物理量，如：温度、压力、距离和时间等。,数字量：在时间上和数量上都是离散的物理量，如：自动生产线上的零件记录量，台阶的阶数,2020/4/27,第4页,第4页,1.1.2数制和编码,1.十进制：日常生活和工作最常使用的进位计数制，在十进制中，每一位有09十个数码，所以计数的基数是十。超过9的数必须用多位表示，其中低位与相邻高位的关系是“逢十进一”。例：,十进制数的一般形式：,同样可得,N进制数的一般形式：,Ni为第i位的权；ki为第i位的系数；N为计数基数。,一、数制,143.75=11024101310071015102,2020/4/27,第5页,第5页,十六进制中有16个数字：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F；每位的权为16的幂,二进制中有2个数字：0、1；每位的权为2的幂101.11=122021120121122,2.二进制：,同一个数值的二进制表示比十进制位数多，故常采用八进制和十六进制。,3.二进制的缩写形式：八进制和十六进制,八进制中有8个数字：0、1、2、3、4、5、6、7；每位的权为8的幂,2020/4/27,第6页,第6页,1.非十进制换成十进制方法：展开相加即可,2.十进制换成其他进制方法：整数部分采用基数除法，小数部分采用基数乘法。,例1：(1011.01)2=1*23+0*22+1*21+1*20+0*2-1+1*2-2=(11.25)10,二、数制转换：,例2：(463)8=4*82+6*81+3*80=(307)10,例3：(2FA.2)16=2*162+15*161+10*160+2*16-1=(762.125)10,2020/4/27,第7页,第7页,173,1,2,86,低位,高位,余数,0.81252,(1).62502,(1).25002,(0).50002,(1).0000,高位,低位,(173)10=(10101101)2,(0.8125)10=(0.1101)2,例4：(173.8125)10=（？）2,2,43,21,10,5,2,2,2,2,2,2,1,2,0,0,1,1,0,1,0,1,=(10101101.1101)2,2020/4/27,第8页,第8页,54,3,3,6,16,16,0,低位,高位,余数,0.3916,(6).2416,(3).8416,(13).4416,(7).04,高位,低位,(54)10=(36)16,(0.39)10=(0.63D7)16,例5：(54.39)10=(？)16,=(36.63D7)16,2020/4/27,第9页,第9页,3.二进制八进制之间的转换方法：3位二进制数刚好等于1位八进制数,（一）二进制转换成八进制例6二进制：（110011101.011）2=（110011101.011）2=（635.3）8,例7二进制（10011101.01）2=（010011101.010）2=（235.2）8,（二）八进制转换成二进制,例8八进制：（345.1）8=（011100101.001）2,2020/4/27,第10页,第10页,4.二进制十六进制相互转换方法：4位二进制数刚好等于1位十六进制数,例9二进制：（111101000.011）2=（000111101000.0110）2=（1E8.6）16,（二）十六进制转换成二进制,例10十六进制：（AF.26）16=（10101111.00100110）2,（一）二进制转换成十六进制,2020/4/27,第11页,第11页,三、编码,3.编码方法：方法很多，常用如下表所示。,1.定义：用二进制数表示文字、符号等信息的过程。,2.BCD码（二十进制编码）：用4位二进制数码表示十进制数的09十个数字的编码方法。,2020/4/27,第12页,第12页,(1)8421BCD码,各位权值依次为8、4、2、1。,特点：,1010、1011、1100、1101、1110和1111为禁用码组。,每个码组的二进制值与所表示的十进制一致。（直观）,2020/4/27,第13页,第13页,(2)2421BCD码,特点：,各位权值依次为2、4、2、1。,2020/4/27,第14页,第14页,(3)余3码,特点：,例11：5+8,便于加法（自动进位）。,无权码；每个码组的二进制值与所表示的十进制大3。,结论：用电路实现时，余3码加法速度快（进位快)。,2020/4/27,第15页,第15页,(4)余3循环码,无权码；每个码组的循环码值与所表示的十进制（循环码）大3。,例12：分别用各种BCD码表示（11011001）2,（11011001）2=1316+9=217,=（1000010111）8421BCD,=（1000011101）2421BCD,=（010101001010）余3码,=（011101101111）余3循环码,特点：,相邻码组（包括0与9）只有一个码元发生变化。,2020/4/27,第16页,第16页,四、格雷码（循环码）,四位格雷码如右表：,1.特点：相邻码组（包括0与15）只有一个码元发生变化,2.构成方法：镜像法,1位格雷码01,2位格雷码,01,镜面,10,00,11,（0）（1）（2）（3）,3位格雷码,00011110,镜面,10110100,0000,1111,（0）（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）,2020/4/27,第17页,第17页,3.二进制与格雷码的转换,二进制Bn-1Bn-2B0;格雷码Rn-1Rn-2R0.,（1）二进制-格雷码,例13：（1011）2=（？）G,1011,1,1,1,0,（1011）2=（1110）G,（2）格雷码-二进制,例14：（1110）G=（？）2,1110,1,0,1,1,（1110）G=（1011）2,2020/4/27,第18页,第18页,1.2逻辑代数中的三种基本运算,变量取值：命题正确1；命题错误0.,二、逻辑函数,定义：复杂的逻辑命题，逻辑函数取值受（多输入）逻辑变量控制。即Y=F（A,B,C).,一、逻辑变量,定义：简单的逻辑命题,内容可对可错，但不能模棱两可。,设定变量：逻辑代数定义的变量，并用字母A、B、C、表示,例：“开关S断开”为逻辑命题。,“开关S可能断开”就不是逻辑命题,2020/4/27,第19页,第19页,三、逻辑代数中的三种基本运算（与、或、非）,1、逻辑与（逻辑乘）：,定义：,定义：只有决定事物结果的全部条件同时具备时，结果才发生。,条件：开关A合上（变量A）、开关B合上（变量B）,结果：灯Y亮（Y是A、B的函数）,真值表,表达式：,“与”运算规律,与门,2020/4/27,第20页,第20页,2、逻辑或（逻辑加）：,定义：,定义：在决定事物结果的诸条件中只要有一个或一个以上满足，结果就会发生。,条件：开关A合上（变量A）、开关B合上（变量B）,结果：灯Y亮（Y是A、B的函数）,真值表,表达式：,“或”运算规律,或门,2020/4/27,第21页,第21页,3、逻辑非：,定义：,定义：只要条件具备了，结果便不会发生。而此条件不具备时，结果一定发生,条件：开关A合上（变量A）,结果：灯Y亮（Y是A的函数）,真值表,表达式：,“非”运算规律,非门,2020/4/27,第22页,第22页,四、几种常用的逻辑运算,2.“或非”运算：,1.“与非”运算：,3.“与或非”运算：,2020/4/27,第23页,第23页,2020/4/27,第24页,第24页,4.“异或”运算：,表达式：,真值表：,逻辑符号,特性,（1）奇校验:变量值是1的变量个数为奇数,2020/4/27,第25页,第25页,5.“同或”运算：,表达式：,真值表：,逻辑符号,特性,（1）“0”的偶校验变量值是0的变量个数为偶数,Y=AB,Y=ABC,2020/4/27,第26页,第26页,1.3基本公式和常用公式,1.3.1基本公式,返回,2020/4/27,第27页,2020/4/27,第27页,基本公式验证方法：真值表,例：证明反演律,结论：变量A、B的任意取值组合，等式两边均相等，所以等式成立。,2020/4/27,第28页,第28页,1.3.2若干常用公式,公式证明,一、式21:,=A,二、式22：,=A+B,分配律,三、式24:,返回,2020/4/27,第29页,第29页,1.4逻辑代数的基本定理,1.4.1代入定理:,1、含有变量A的等式,所有变量A，用函数Y代替,新的等式成立,2、应用：反演律的扩展,用Y=B+C代替,结论：,2020/4/27,第30页,第30页,1.4.2反演定理:求反函数,函数Y,反函数,用反演律：,用反演定理：,注意运算次序：如上例，若不注意，会得到错误结果,避免方法：加括号,2020/4/27,第31页,第31页,1.4.2对偶定理,函数Y,变量名不变,新函数,等式的对偶等式成立,注意运算次序,一、对偶函数,例：Y=A+BC,=A（B+C）,二、对偶定理：,乘对加分配律：,加对乘分配律：,前面介绍的基本公式和常用公式都是成双成对：对偶,2020/4/27,第32页,第32页,四种表示方法：真值表，函数式，逻辑图，卡诺图,1.5逻辑函数及其表示方法,1.5.1逻辑函数,例举重裁判电路，规则：在一名主裁判和两名副裁判中，必须有两人以上（而且必须包括主裁判）认定运动员动作合格，试举才算成功。,逻辑抽象：,输出：指示灯Y，Y=1表示灯亮，Y=0表示灯亮.,输入：主裁判开关A、两名副裁判开关分别B、C；开关闭合变量取1，开关断开变量取0.,显然，Y是A、B、C的函数：Y=F(A,B,C),2020/4/27,第33页,第33页,逻辑函数式：Y=A(B+C),三、逻辑图,1.5.2逻辑函数及其表示方法,一、真值表,二、表达式,灯亮两个条件：,1、B和C至少有一个合上：,B+C,2、A合上：A,2020/4/27,第34页,第34页,四、各种方法间的相互转换,1、从真值表写出函数式：,方法：,找出真值表中使Y1的变量输入组合（Y1的条件）,写出表达式：上述条件只要一个满足，Y1。“或”关系,A=1、B=0、C=1：,A=1、B=1、C=0：,A=1、B=1、C=1：,其它的方式的转换呢,2020/4/27,第35页,第35页,1.5.3逻辑函数的两种标准形式：最小项之和与最大项之积,(1)定义：,一、最小项与最大项,1.最小项,设有n个逻辑变量，由它们组成具有n个变量的与项中，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次且仅出现一次，则称这个与项为最小项。,例：三变量A、B、C，,八个与项为三变量的八个最小项。,(2)表示方法：最小项记作mi,其中i=0(2n-1)。,i取值：最小项取值为1时，各输入变量的取值看成二进制数，其对应的十进制数i作为最小项的编号。,对于n个变量来说，可有2n个最小项；,ABC取值为101，,2020/4/27,第36页,第36页,任意两个最小项之积为0；即：,(3)真值表：以三变量为例,(4)性质：,只有一种变量取值使mi=1；,全体最小项之和为1；,2020/4/27,第37页,第37页,（5）用最小项表示逻辑函数(逻辑函数的标准形式),（6）逻辑函数的通式：,n个输入变量,X=i时的函数值,最小项,例对应左边的真值表：,最小项之和与真值表关系,2020/4/27,第38页,第38页,2.最大项,(1)定义：,设有n个逻辑变量，由它们组成具有n个变量的或项中，每个变量以原变量或反变量的形式出现一次且仅出现一次，则称这个或项为最大项。,例：三变量A、B、C，共有,(2)表示方法：最大项记作Mi,其中i=0(2n-1)。,i取值：最大项取值为0时，各输入变量的取值看成二进制数，其对应的十进制数i作为最大项的编号。,对于n个变量来说，可有2n个最大项；,八个与项为最大项。,2020/4/27,第39页,第39页,任意两个最大项之和为1；即：,(3)真值表：以三变量为例,(4)性质：,只有一种变量取值使Mi=0；,全体最大项之积为0；,2020/4/27,第40页,第40页,（5）用最大项表示逻辑函数(逻辑函数的标准形式),（6）逻辑函数的通式,n个输入变量,X=i时的函数值,最大项,例对应左边的真值表：,最大项之积与真值表关系,2020/4/27,第41页,第41页,例2,3.最大项与最小项的关系,Mi与mi互补关系,4.逻辑函数的两种标准形式的相互转换，例3,例1,2020/4/27,第42页,第42页,1.6逻辑函数的公式化简法,1.6.1逻辑函数的最简形式,一.化简目的：简化电路。例：,与,是同一逻辑函数。,显然实现后者电器简单得多。,二.逻辑函数的最简“与或”形式,与项最少，而且与项中的因子最少。,三.逻辑函数的最简“或与”形式,或项最少，而且或项中的因子最少。,2020/4/27,第43页,第43页,1.6.2常用的公式化简方法,例1.6.7：,例1.6.9：,公式法化简的缺点：,1.难；,2.难以判断是否最简。,解决方法：卡诺图法。,2020/4/27,第44页,第44页,图2三变量的卡诺图,图3四变量的卡诺图,图1二变量的卡诺图,1.7逻辑函数的卡诺图化简法,1.7.1逻辑函数的卡诺图表示法,一、卡诺图,1.结构：,正方形或矩形,格雷码坐标,每个小方格代表1个mi或Mi。,2020/4/27,第45页,第45页,2.卡诺图特点：,（1）优点：几何相邻,逻辑相邻,逻辑相邻：两个mi或Mi只有一个变量发生变化。,发生变化的变量是互补，因此逻辑相邻的mi或Mi是可合并，例：ABC与是逻辑相邻，可合并AC.,几何相邻：,相接：,相对:,相重:五变量和六变量卡诺图时介绍。,（2）缺点：最多只能适用六变量。,2020/4/27,第46页,第46页,二、用卡诺图表示逻辑函数,例：,最小项卡诺图,最大项卡诺图,2020/4/27,第47页,第47页,1.7.2用卡诺图化简逻辑函数,一、合并最小项的规则,1.若两个最小项相邻，则可合并为一项并消去一个因子。,2.若四个最小项相邻并排成矩形组，则可合并为一项并消去二个因子。,2020/4/27,第48页,第48页,3.若八个最小项相邻并排成矩形组，则可合并为一项并消去三个因子。,1,总结：若2n个最小项相邻并排成矩形组，则可合并为一项并消去n个因子。,二、卡诺图化简逻辑函数,步骤：,函数的标准形式,卡诺图,合并最小项,最简式,合并最小项（画圈）原则：,1、乘积项个数最少（圈的个数最少）检查方法：每个圈应包含1个新的最小项,2、乘积项包含的因子最少（最小项可重复使用，圈尽量大）,3、这些乘积项应包含所有最小项,例：,最简式不是唯一,或：,2020/4/27,第49页,第49页,圈法次序：,先圈大圈？,检查：发现大圈为冗余。,6个圈，没有冗余。,最简？,不是！但无法检查。,先弱后强。弱者：只有一种圈法。,原则：,红“1”为强，黑“1”为弱,2.都强：先画一圈，然后先弱后强。,m1的两种圈法,结论：用卡诺图化简，没有多余的圈，不一定最简。,2020/4/27,第50页,第50页,三、五变量的卡诺图,相重：以中心线左右对折，重合在一起的最小项相邻，例：m27与m30、m11与m15,左右可看成两个四变量的卡诺图：m31与m28、m8与m10可看成相对。,两种画法,六变量的卡诺图不再介绍,2020/4/27,第51页,第51页,四最大项卡诺图的化简,原则与最小项卡诺图相同，结果为最简“或-与”式,注意：,或与式,0：原变量；1：反变量。,2020/4/27,第52页,第52页,1.8具有无关项的逻辑函数化简,例：水箱有A、B、C三个水位检测元件，只有当水面低于检测元件时，检测元件输出高电平。,1.8.1无关项,约束项任意项,1、约束项,A、B、C只是000（高于A）、100（A、B之间）、110（B、C之间）、111（低于C）当中的某一种，而不能是001、010、011、101中的任何一种。因此，上例ABC取值必须满足：,或,上式称为约束条件，而,称为约束项。,2、任意项：某些变量取值下，函数取值1和0皆可。在这些变量取值下，其值等于1的最小项为任意项.,2020/4/27,第53页,第53页,3无关项的表示方法,（1）表达式,或：,或：,（2）真值表、卡诺图,无关项在真值表、卡诺图中用“”或“”表示方法,2020/4/27,第54页,第54页,1.8.2用卡诺图化简具有无关项的逻辑函数,原则,“”取值：有利于化简。,在一个卡诺图中“”既可取1，也可取0,