大学物理刚体运动学.ppt

1,1.刚体运动学,1.1刚体的平动和转动(1)刚体、刚体的平动刚体：无论在多大的外力作用下，总是保持其形状、大小不变，理想化的模型。(2)刚体的平动,刚体内任何一条给定的直线,在运动中始终保持它的方向不变。,各质点具有相同的速度和加速度，所以刚体平动时任何一点的运动都可代表整个刚体的运动。,刚体的平动时可看成质点。,2,(3)刚体的转动,刚体中各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动.转轴固定不动,称为定轴转动.,P为刚体上一质点，在转动平面内绕0点作圆周运动。,0,d,dt,K,d,转动平面：任取一垂直于转轴的平面,(4)转动运动学的物理量,再任取一点K，在同一个dt内，也转过同样的d角。,所以：刚体中任何其它质点都具有相同的，,3,即(，)三量具有普遍性。知一点的(，)，可知整个刚体的运动。,故用(,）描写刚体的转动。,所以：定轴转动刚体中任何其它质点都具有相同的，,4,0,转轴,P,1.2角速度矢量,5,例：一刚体以每分钟60转绕z轴做匀速运动,(沿z轴正方向)，设某时刻刚体上一点P的位置矢量为：（单位为“10-2m”），若以“10-2ms-1”为单位，则该时刻P点的速度为：,解：,还可解行列式,6,(1)求角加速度和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N；(2)求制动开始后t=25s时飞轮的角速度；,解(1)初角速度为0=21500/60=50rad/s，方向如图,刚体运动学综合例题:一飞轮转速n=1500r/min，受到制动后均匀地减速，经t=50s后静止。,从开始制动到静止，飞轮的角位移及转数N分别为,对于匀变速转动，应用以角量表示的运动方程，在t=50s时刻=0，代入方程=0+t得,(2)t=25s时飞轮的角速度为,的方向与0相同；,7,对轴的角动量和对轴的力矩,矢量代数的一般处理方式：在具体的坐标系中，角动量（或力矩）在各坐标轴的分量，就叫对轴的角动量（或力矩）。,Lz：质点对z轴的角动量,Mz：质点对z轴的力矩,P63,8,求力对z轴的力矩Mz的(教材)简化步骤：,结论：z轴转动平面内的分量的运算就是对z轴的力矩,第2步，认定位矢和力在转动平面内的分量,第3步，算出力对z轴的力矩.,第1步，通过质点画z轴转动平面（过质点垂直转轴的平面，即过质点的xy平面）,9,2.1力对转轴的力矩.(1)外力在垂直于转轴的平面内。,如果：,2转动定理转动惯量（刚体动力学）,10,(2)外力不在垂直于转轴的平面内,P,P63结论：z轴转动平面内的分量的运算就是对z轴的力矩。,11,2.2转动定理,合外力矩M,合内力矩=0,12,M=I转动定理,定轴转动定理（律）在转动问题中的地位相当于平动时的牛顿第二定律,13,例:几个力同时作用在一个具有光滑固定转轴的刚体上，如果这几个力的矢量和为零，则此刚体(A)必然不会转动(B)转速必然不变(C)转速必然改变(D)转速可能不变，也可能改变,答案：(),D,参考解答：在应用转动定律M=I时应注意M是合外力矩，是外力力矩之和，而不是合外力的力矩。几个力的矢量和为零，有合外力矩也为零或不为零的两种情况，所以定轴转动的刚体其转速可能不变，也可能改变。,例:一个有固定轴的刚体，受到两个力的作用。当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定为零吗？举例说明之。,答:并不是一定为零。如汽车的方向盘可绕垂直于转盘且过盘中心的定轴转动。当驾驶员用两手操纵方向盘时，就可在盘的左右两侧加上方向相反、大小相等的两个力。对转盘而言，合外力为零，但这两个力的力矩大小相等，方向一致，故合力矩不为零。,14,dm质元的质量,r质元到转轴的距离,刚体的质量可认为是连续分布的，所以上式可写成积分形式,按转动惯量的定义有,2.3转动惯量的计算,转动惯量是转动中惯性大小的量度。,质量是平动中惯性大小的量度。,类比：,平动：一维直线运动,转动：定轴转动,15,注意：转动惯量与质量有关，与运动速度无关。质量一定时,与质量的分布有关，并且与转轴的位置有关。转动惯量计算：,例：,m,m,m,d,d,d,A,0,三个质点m组成一个正三角形刚体结构。求IA、I0。,叠加原理,与转轴的位置有关。,16,(2)转轴过顶端,与棒垂直,x,取dx：,转动惯量与转轴的位置有关,0,例：细棒质量m,均匀分布,长l,(1)转轴过中心,与棒垂直.,x,0,dx,x,取dx：,质量连续分布：,17,平行轴定理：,d两平行轴之间的距离。,例：均匀薄圆盘，转轴过中心与盘面垂直，求I0。,r,0,r,dr,取半径为r，宽为dr的圆环,18,（m2m1）,T2,a,T1,m1g,a,又，绳与轮间无滑动，滑轮边缘的切向加速度R,和物体的加速度相等.,例：如图所示,滑轮质量m,半径R(注意:在中学里一般滑轮质量略去不计）求：物体的加速度和绳的张力。,19,例:一半径为R，质量为m匀质圆盘，平放在粗糙的水平桌面上。设盘与桌面间摩擦系数为，令圆盘最初以角速度0绕通过中心且垂直盘面的轴旋转，问它经过多少时间才停止转动？,解：由于摩擦力不是集中作用于某一点，而是分布在整个圆盘与桌子的接触面上，其力矩的计算要用积分法。,质元,圆盘所受阻力矩,如图，把圆盘分成许多如图的质元，每个质元的质量为dm，dm=dV=rddre，(e是盘的厚度)所受到的阻力矩dM=rdmg。,阻力矩向下，与0方向相反！,20,也可以把圆盘分成许多圆环形质元，每个质元的质量dm=dV=2rdre，所受到的阻力矩是rdmg。,因m=eR2，代入得,根据定轴转动定律，阻力矩使圆盘减速，即获得负的角加速度.,设圆盘经过时间t停止转动，则有,由此求得：,21,例：均质矩形薄板绕竖直边转动，初始角速度为0，转动时受到空气的阻力阻力垂直于板面，每一小面积所受阻力的大小与其面积及速度的平方的乘积成正比，比例常数为k试计算经过多少时间，薄板角速度减为原来的一半设薄板竖直边长为b，宽为a，薄板质量为m,解在板上距离转轴为r处取一长度为b，宽度为dr的面积元，其面积为dS=bdr,当板的角速度时，面积元的速率为v=r,所受的阻力为df=kv2dS=k2r2bdr，阻力产生的力矩为dM=rdf=k2r3bdr，,因此合力矩为,其角加速度为,负号表示角加速度的方向与角速度的方向相反.,注意：,不成立！？,22,由于=d/dt，可得转动的微分方程,分离变量得,积分得,当t=0时，=0，所以C=-1/0，因此得：,当=0/2时，解得时间为：,23,3刚体的动能与势能,整个刚体的转动动能等于各质点动能之和。,刚体的转动动能,3.1刚体的转动动能,24,(1)力矩的功,外力矩,刚体从角位移12时，外力矩M所作的功。,3.2定轴转动的动能定理,25,合外力矩对定轴转动刚体所作的功等于其转动动能的增量。,(2)定轴转动的动能定理,26,解：当棒摆到如图所示位置时，,例：如图：均匀细棒（m、l），水平开始下摆，到竖直位置时，中心点C和端点A的速度各为多少？,再问：水平位置和竖直位置棒的角加速度各为多少?,下摆d，,任取一中间过程,27,3.3刚体的重力势能,x,0,h(y),m,c,.,刚体势能的计算:把刚体的质量看成集中于质心,计算质心势能即可.,28,3.4刚体系统的功能原理,A外力+A非保守内力=（Ek2+Ep2）（Ek1+Ep1）,系统外力与非保守内力作功之和等于系统机械能的增量功能原理,3.5机械能守恒定律,系统机械能守恒.,平动动能+转动动能+重力势能+弹性势能=恒量,如上例：棒定轴转动，只有保守力(重力)作功，机械能守恒。,水平，机械能：mgh（注意势能零点的选择）,竖直，机械能：,机械能守恒：,29,例:质量m1，半径为R的定滑轮（当作均质圆盘）上绕一轻绳，绳的一端固定在滑轮上，另一端挂一质量为m2的物体而下垂，如图所示。忽略轴处摩擦，求物体m2由静止下落h高度时的速度。,解将滑轮、物体、绳和地球视为一个系统，根据机械能守恒定律,30,1.刚体的角动量,4.4刚体角动量和角动量守恒定律,刚体为特殊质点系，质点系对轴线的角动量定理（2.43）,可直接应用于刚体，略去下标z，写成,刚体所受对某给定轴的合外力矩等于刚体对该轴的角动量对时间的变化率。,P63,31,2.角动量(动量矩)定理,动量定理:,设想:角动量定理:,32,3.角动量守恒定律,刚体所受的合外力矩等于零时,刚体的角动量保持不变.,33,例：如图所示,球棒,完全弹性碰撞.求小球的回跳速度v,棒的角速度。,.,0,解:小球：动量定理(向上为正)：,细棒：角动量定理(方向以为正)：,球,棒系统,弹性碰撞,动能守恒：,问题：公式（3）的物理意义？,另解:棒球系统,碰撞过程角动量守恒.,平面,34,解:完全非弹性碰撞,外力:重力,轴的支承力,对转轴的力矩为零,角动量守恒.,碰后瞬间：设棒和枪弹开始一起运动时的角速度为,角动量守恒：,例：均匀细杆长L质量M,可绕A端的水平轴自由转动,在杆自由下垂时,质量为m的枪弹沿水平方向射进杆的P点.并使杆摆动,摆动的最大偏转角为,已知AP长为l,求枪弹射入之前的速度v.,常见错误：,叠加原理,35,此后，棒和枪弹一起以运动，机械能守恒。,枪弹射入后,棒和枪弹系统的质心位置rc：,竖直，机械能：,最大偏转角处,机械能：,例：均匀细杆长L质量M,可绕A端的水平轴自由转动,在杆自由下垂时,质量为m的枪弹沿水平方向射进杆的P点.并使杆摆动,摆动的最大偏转角为,已知AP长为l,求枪弹射入之前的速度v.,36,例:工程上，两飞轮常用摩擦啮合器使它们以相同的转速一起转动。如图所示，A和B两飞轮的轴杆在同一中心线上，A轮的转动惯量为IA=10kgm2，B的转动惯量为IB=20kgm2。开始时A轮的转速为600r/min，B轮静止。C为摩擦啮合器。求两轮啮合后的转速；在啮合过程中，两轮的机械能有何变化？,37,解：以飞轮A、B和啮合器C作为一系统来考虑，在啮合过程中，系统受到轴向的正压力和啮合器间的切向摩擦力，前者对转轴的力矩为零，后者对转轴有力矩，但为系统的内力矩。系统没有受到其他外力矩，所以系统的角动量守恒。按角动量守恒定律可得,为两轮啮合后共同转动的角速度,以各量的数值代入得,或共同转速为,在啮合过程中，摩擦力矩作功，所以机械能不守恒，部分机械能将转化为热量，损失的机械能为,38,例:均质圆轮A的质量为M1，半径为R1，以角速度绕OA杆的A端转动，此时，将其放置在另一质量为M2的均质圆轮B上，B轮的半径为R2B轮原来静止，但可绕其几何中心轴自由转动放置后，A轮的重量由B轮支持略去轴承的摩擦与杆OA的重量，并设两轮间的摩擦因素为，问自A轮放在B轮上到两轮间没有相对滑动为止，需要经过多长时间？,解圆轮A对B的压力为N=M1g，两轮之间的摩擦力大小为f=N=M1g，摩擦力对A的力矩大小为MA=fR1=M1gR1，,摩擦力对B的力矩大小为MB=fR2=M1gR2,设A和B的角加速度大小分别为A和B，转动惯量分别为IA和IB，根据转动定律得方程,MA=IAA，即A=MA/IA,同理可得B=MB/IB,当两轮没有相对滑动时，它们就具有相同的线速度v，A的角速度为A=v/R1，,B的角速度为B=v/R2,根据转动运动学的公式得,A=At，B=Bt，,得R1=(R1A+R2B)t,39,解得,经过的时间为,注意在此题中，由于A、B两轮不是绕着同一轴转动的，所以不能用角动量守恒定律,问题：能用角动量守恒定律解答？,40,线量,角量,平动与转动的对应关系,角位置角位移角速度角加速度,质量力牛顿定律动能,转动惯量力矩转动定律转动动能,41,平动与转动的对应关系(续前),平动,动量定理,动量守恒定律,动能定理,机械能守恒定律,定轴转动,角动量定理,角动量守恒定律,动能定理,动量,角动量,本章结束,