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第四章圆与方程,4.4.1圆的标准方程,4.1圆的方程,求曲线方程的步骤,选系取动点,找等量，列方程,化简,圆的定义：,根据圆的定义怎样求出圆心是C(a,b)，半径是r的圆的方程?,平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆,定点就是圆心,定长就是半径.,(x-a)2+(y-b)2=r2,三个独立条件a、b、r确定一个圆的方程.,1(口答)、求圆的圆心及半径,(1)、x2+y2=4(2)、(x+1)2+y2=1,练习,(1)x2+y2=9,(2)(x+3)2+(y-4)2=5,练习,2、写出下列圆的方程,（1）、圆心在原点，半径为3；（2）、圆心在(-3、4),半径为.,3、圆心在（-1、2），与y轴相切,练习,(x+1)2+(y-2)2=1,(x-2)2+(y-2)2=4或(x+2)2+(y+2)2=4,练习,4、圆心在直线y=x上,与两轴同时相切,半径为2.,5、已知圆经过P(5、1),圆心在C(8、3),求圆方程.,练习,(x-8)2+(y-3)2=13,练习,6、求以c(1、3）为圆心，并和直线3x-4y-6=0相切的圆的方程.,解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,已知a=1,b=3因为半径r为圆心到切线3x-4y-6=0的距离，所以|31-43-6|15所以圆的方程为,r=,=,=3,(x-1)2+(y-3)2=9,5,7、已知两点A(4、9)、B(6、3),求以AB为直径的圆的方程.,提示:设圆方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2,练习,例2、已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M(x0,y0)的切线方程.,O,思考,1.圆的切线有哪些性质？,2.求切线方程的关键是什么？,3.切线的斜率一定存在吗？,所求的切线方程是,因为点M在圆上,所以,经过点M的切线方程是,解:当M不在坐标上时，设切线的斜率为k,则k=,当点M在坐标轴上时，可以验证，上面方程同样适用.,整理得,4.除了课本解法，你还能想到哪些方法？,例2已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线的方程。,P(x,y),由勾股定理：|OM|2+|MP|2=|OP|2,分析：利用平面几何知识，按求曲线方程的一般步骤求解.,如图，在RtOMP中,x0 x+y0y=r2,P(x,y),例2.已知圆的方程是，求经过圆上一点的切线的方程。,分析：利用平面向量知识.,x0 x+y0y=r2,设P（x,y)是切线上不同于M的任意一点,则,当P与M重合时，P的坐标仍满足上面方程.,经过圆上一点的切线的方程是,x0 x+y0y=r2,x2+y2=r2xx+yy=r2x0 x+y0y=r2,例3、图中是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01）,思考：1.是否要建立直角坐标系？怎样建立？2.圆心和半径能直接求出吗？3.怎样求出圆的方程？4.怎样求出支柱A2P2的长度？,解：建立如图所示的坐标系，设圆心坐标是（0，b）,圆的半径是r,则圆的方程是x2+(y-b)2=r2.,答：支柱A2P2的长度约为3.86m.,例3：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m),y,x,思考,利用圆的几何性质，你能否用直线方程求出圆心坐标？进而写出圆的方程？,C1,小结：,(1)、牢记:圆的标准方程：(x-a)2+(y-b)2=r2。(2)、明确：三个条件a、b、r确定一个圆。(3)、方法：待定系数法数形结合法,用r表示圆的半径，d表示圆心到直线的距离，则,r,1.求圆心C在直线x+2y+4=0上，且过两定点A(-1,1)、B(1,-1)的圆的方程,2.试推导过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点M(x0,y0)的切线方程.,4.自圆(x-a)2+(y-b)2=r2外一点M(x0,y0)向圆引切线，求切线的长.,课外思考题,3.从圆x2+y2=10外一点P(4,2)向该圆引切线，求切线方程.,思考题：,圆的方程(x-a)2+(y-b)2=r2展开：x2+y2-2ax-2by+(a2+b2-r2)=0是关于x、y的二元二次方程。那么是否二元二次方程均可化为圆方程？怎样的二元二次方程可化为圆的方程？,
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