lixinglian离散型随机变量的均值与方差一.ppt

藁城市第二中学李兴联 1 理解取有限个值的离散型随机变量均值的概念 2 能计算简单离散型随机变量的均值 并能解决一些实际问题 2 两点分布的分布列是 复习回顾1 离散型随机变量X的分布列及性质 思考 关于平均的意义 1 某商场要将单价分别这18元 24元 36元每千克的3种糖果按需分3 2 1的比例混合销售 对混合糖果怎样定价才合理 它是对三种糖果价格的一种加权平均 由于平均在每1kg的混合糖果中 3种糖果的质量分别是第一种1 2kg 第二种1 3kg 第三种1 6kg 每公斤这种糖果的价格为 2 如果混合糖果中每一颗糖果的质量相等 你能解释权数的实际含义吗 现在混合糖果中任取一个 它的实际价格用 表示 取值的分布列为 182436 合理价格 18 24 36 18 P X 18 24 P X 24 36 P X 36 代表X的平均取值 数学期望的定义 若离散型随机变量X的分布列为 则称 E X x1p1 x2p2 xipi xnpn为随机变量X的数学期望或均值 它反映了离散型随机变量取值的平均水平 设离散型随机变量X的概率分布为 所以Y的分布列为 线性性质 结论 结论 若X服从两点分布 则E X p 例1 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分 罚不中得0分 已知某运动员罚球命中的概率为0 7 则他罚球1次的得分X的期望为 1 一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球 从中同时取2个 则其中含红球个数的数学期望是 1 2 2 1 若E X 4 5 则E X 2 E X EX 4 5 0 3 若随机变量X的分布列如表 则E X E X 0 Cn0p0qn 1 Cn1p1qn 1 2 Cn2p2qn 2 k Cnkpkqn k n Cnnpnq0 P X k Cnkpkqn k 证明 np Cn 10p0qn 1 Cn 11p1qn 2 Cn 1k 1pk 1q n 1 k 1 Cn 1n 1pn 1q0 np p q n 1 np kCnk nCn 1k 1 结论 若X B n p 则E X np 1 随机变量X的分布列是 1 E X 2 随机变量X的分布列是 2 4 2 若Y 2X 1 则E Y 5 8 E X 7 5 则a b 0 4 0 1 3 某人进行射击 每次中靶的概率均为0 8 现规定 若中靶就停止射击 若没中靶 则继续射击 如果只有3发子弹 则射击次数X的数学期望为 A 2 14B 4 12C 1 24D 2 41 解 射击次数X的分布列为 E X 0 8 1 0 16 2 0 04 3 1 24 答案 C 练习三某运动员投篮命中率为p 0 6 1 求一次投篮时命中次数X的均值 2 求重复5次投篮时 命中次数Y的均值解 1 投篮一次命中次数X的分布列为下表 且E X p 0 6 2 由题意 重复5次投篮 命中的次数Y服从二项分布 即Y B 5 0 6 则E Y np 5 0 6 3 误区 对于两点分布 找清成功率p 本题分布列不可写为下表 对于二项分布关键找对试验次数 技巧 1 随机变量的数学期望等于该随机变量的每一个取值与取该值时对应的概率乘积的和 2 均值 数学期望 是随机变量的一个重要特征数 它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平 均值 数学期望 是算术平均值概念的推广 是概率意义下的平均 3 E X 是一个实数 即X作为随机变量是可变的 而E X 是不变的 提醒 若随机变量X服从二项分布 即X B n p 则可直接使用公式E X np 不一定 其含义是在多次类似的测试中 他的平均成绩大约是90分 例2 一次单元测验由20个选择题构成 每个选择题有4个选项 其中有且仅有一个选项正确 每题选对得5分 不选或选错不得分 满分100分 学生甲选对任一题的概率为0 9 学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个 求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值 解 设学生甲和学生乙在这次测验中选择正确的选择题的个数分是X和Y 则 X B 20 0 9 Y B 20 0 25 所以E X 20 0 9 18 E Y 20 0 25 5 由于答对每题得5分 学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是5X和5Y 这样 他们在测验中的成绩的期望分别是 E 5X 5E X 5 18 90 E 5Y 5E Y 5 5 25 思考 学生甲在这次测试中的成绩一定会是90分吗 他的均值为90分的含义是什么 随机变量的均值与样本均值的关系是怎样的 提示 随机变量的均值是一个常数 样本均值是一个随机变量 随观测次数的增加或样本容量的增加 样本的均值趋于随机变量的均值 例题3 根据气象预报 某地区近期有小洪水的概率为0 25 有大洪水的概率为0 01 该地区某工地上有一台大型设备 遇到大洪水时要损失60000元 遇到小洪水时要损失10000元 为保护设备 有以下3种方案 方案1 运走设备 搬运费为3800元 方案2 建保护围墙 建设费为2000元 但围墙只能防小洪水方案3 不采取措施 希望洪水不发生 试比较哪一种方案好 并说明理由 解 用X1 X2和X3分别表示三种方案的损失 采用第1种方案 无论有无洪水 都损失3800元 即X1 3800 采用第2种方案 遇到大洪水时 损失2000 60000 62000元 没有大洪水时 损失2000元 即同样 采用第3种方案 有EX1 3800 EX2 62000 P X2 62000 2000 P X2 2000 62000 0 01 2000 1 0 01 2600 EX3 60000 P X3 60000 10000 P X3 10000 0 P X3 0 60000 0 01 10000 0 25 3100 采取方案2的平均损失最小 所以可以选择方案2 值得注意的是 上述结论是通过比较 平均损失 而得出的 一般地 我们可以这样来理解 平均损失 假设问题中的气象情况多次发生 那么采用方案2将会使损失减到最小 由于洪水是否发生以及洪水发生的大小都是随机的 所以对于个别的一次决策 采用方案2也不一定是最好的 思考2 某商场的促销决策 统计资料表明 每年端午节商场内促销活动可获利2万元 商场外促销活动如不遇下雨可获利10万元 如遇下雨可则损失4万元 6月19日气象预报端午节下雨的概率为40 商场应选择哪种促销方式 思考3 有场游戏 规则如下 如掷一个骰子 出现1 你赢8元 出现2或3或4 你输3元 出现5或6 不输不赢 这场游戏对你是否有利 1 离散型随机变量的均值若离散型随机变量X的分布列为 知识梳理 x1p1 x2p2 xipi xnpn 数学期望 平均水平 称E X 为随机变量X的均值或 它反映了离散型随机变量取值的 2 均值的性质E aX b 3 两点分布与二项分布的均值 1 若X服从两点分布 E X 2 若X B n p E X 4 求离散离散型随机变量均值的步骤 确定所有可能取值 写出分布列 求出均值 aE X b np p 学习至此 请做课后作业 彩球游戏准备一个布袋 内装6个红球与6个白球 除颜色不同外 六个球完全一样 每次从袋中摸6个球 输赢的规则为 6个全红赢得100元5红1白赢得50元4红2白赢得20元3红3白输100元2红4白赢得20元1红5白赢得50元6个全白赢得100元 你动心了吗 1 写出 的分布列 2 求数学期望E 故 的分布列为 1 求该学生考上大学的概率 2 如果考上大学或参加完5次测试就结束 记该生参加测试的次数为 求 的分布列及 的数学期望 则 的分布列为