高中数学经典题汇编[1]

1 高中数学易错易混易忘题分类汇编 会而不对 对而不全 一直以来成为制约学生数学成绩提高的重要因素 成 为学生挥之不去的痛 如何解决这个问题对决定学生的高考成败起着至关重要 的作用 本文结合笔者的多年高三教学经验精心挑选学生在考试中常见的 66 个 易错 易混 易忘典型题目 这些问题也是高考中的热点和重点 做到力避偏 怪 难 进行精彩剖析并配以近几年的高考试题作为相应练习 一方面让你明 确这样的问题在高考中确实存在 另一方面通过作针对性练习帮你识破命题者 精心设计的陷阱 以达到授人以渔的目的 助你在高考中乘风破浪 实现自已 的理想报负 易错点 1 忽视空集是任何非空集合的子集导致思维不全面 例 1 设 若 求实数 a 2 8150Ax 10Bxa AB 组成的集合的子集有多少个 易错点分析 此题由条件 易知 由于空集是任何非空集合的A 子集 但在解题中极易忽略这种特殊情况而造成求解满足条件的 a 值产生漏解 现象 解析 集合 A 化简得 由 知 故 当 时 即 3 5 B AB 方程 无解 此时 a 0 符合已知条件 当 时 即方程10ax 的解为 3 或 5 代入得 或 综上满足条件的 a 组成的集合为 13a5 故其子集共有 个 0 35 328 知识点归类点拔 1 在应用条件 A B A B 时 要树 立起分类讨论的数学思想 将集合 是空集 的情况优先进行讨论 2 在解答集合问题时 要注意集合的性质 确定性 无序性 互异性 特别 是互异性对集合元素的限制 有时需要进行检验求解的结果是满足集合中元素 的这个性质 此外 解题过程中要注意集合语言 数学语言 和自然语言之间 的转化如 其中 2 4Axy 22 34Bxyyr 2 若 求 r 的取值范围 将集合所表达的数学语言向自然语言进行0r AB 转化就是 集合 A 表示以原点为圆心以 2 的半径的圆 集合 B 表示以 3 4 为圆心 以 r 为半径的圆 当两圆无公共点即两圆相离或内含时 求半径 r 的 取值范围 思维马上就可利用两圆的位置关系来解答 此外如不等式的解集等 也要注意集合语言的应用 练 1 已知集合 若 2 40Ax 22 10Bxax 则实数 a 的取值范围是 答案 或 B 1 易错点 2 求解函数值域或单调区间易忽视定义域优先的原则 例 2 已知 求 的取值范围 214yx 2xy 易错点分析 此题学生很容易只是利用消元的思路将问题转化为关于 x 的函 数最值求解 但极易忽略 x y 满足 这个条件中的两个变量的约 214yx 束关系而造成定义域范围的扩大 解析 由于 得 x 2 2 1 1 3 x 1 从而 x2 y2 3x2 214yx 4y 16x 12 因此当 x 1 时 x2 y2有最小值 1 当 x 时 x 2 y2有最大值 故328 3838 x2 y2的取值范围是 1 38 知识点归类点拔 事实上我们可以从解析几何的角度来理解条件 对 x y 的限制 显然方程表示以 2 0 为中心的椭圆 则 214x 易知 3 x 1 此外本题还可通过三角换元转化为三角最值求解 2 练 2 05 高考重庆卷 若动点 x y 在曲线 上变化 则 214xyb 0 的最大值为 2xy 3 A B C D 240b 240b 24b b 答案 A 易错点 3 求解函数的反函数易漏掉确定原函数的值域即反函数的定义域 例 3 是 R 上的奇函数 1 求 a 的值 2 求的反函数 21 xaf 1fx 易错点分析 求解已知函数的反函数时 易忽略求解反函数的定义域即原函 数的值域而出错 解析 1 利用 或 求得 a 1 0fxf 0f 2 由 即 设 则 由于 故a 21xfyfx21xy 1y 而 所以1xy 12logy xf x 112lxf 知识点归类点拔 1 在求解函数的反函数时 一定要通过确定原函数的值 域即反函数的定义域在反函数的解析式后表明 若反函数的定义域为 R 可省略 2 应用 可省略求反函数的步骤 直接利用原函数求解1 fbafb 但应注意其自变量和函数值要互换 练 3 2004 全国理 函数 的反函数是 1fxx A B 21yxx 2y C D x 答案 B 易错点 4 求反函数与反函数值错位 例 4 已知函数 函数 的图像与 的图象关 12xf ygx 1yfx 于直线 对称 则 的解析式为 yxyg 4 A B C D 32xg 21xg 12xg 32gx 易错点分析 解答本题时易由 与 互为反函数 而认为yyf 的反函数是 则 1yfx fx x1 而错选 A 232x 解析 由 得 从而 1f 12xf 再求 的反函数得 12xyfx 1yf 21xg 正确答案 B 知识点分类点拔 函数 与函数 并不互为反函数 他 1yfx 1yfx 只是表示 中 x 用 x 1 替代后的反函数值 这是因为由求反函数的过程来 1f 看 设 则 y 1fyx 再将 x y 互换即得 的反函数为 故 1xf 1f 1yfx 的反函数不是 因此在今后求解此题问题时一定要谨y1fx 慎 练 4 2004 高考福建卷 已知函数 y log2x 的反函数是 y f 1 x 则函数 y f 1 1 x 的图象是 答案 B 易错点 5 判断函数的奇偶性忽视函数具有奇偶性的必要条件 定义域关于 原点对称 5 例 5 判断函数 的奇偶性 2lg1 xf 易错点分析 此题常犯的错误是不考虑定义域 而按如下步骤求解 从而得出函数 为非奇非偶函数的错误结论 2lg1 xff fx 解析 由函数的解析式知 x 满足 即函数的定义域为 定 210 1 0 义域关于原点对称 在定义域下 易证 即函数为 2lgxf fxf 奇函数 知识点归类点拔 1 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要 但不充分条件 因此在判断函数的奇偶性时一定要先研究函数的定义域 2 函数 具有奇偶性 则 是对定义域内 fx fxf 或 fxf x 的恒等式 常常利用这一点求解函数中字母参数的值 练 5 判断下列函数的奇偶性 244fxx 1xfx 1sincoxf 答案 既是奇函数又是偶函数 非奇非偶函数 非奇非偶函数 易错点 6 易忘原函数和反函数的单调性和奇偶性的关系 从而导致解题过 程繁锁 例 6 函数 的反函数为 证明 是 211log2xf x 或 1fx 1fx 奇函数且在其定义域上是增函数 思维分析 可求 的表达式 再证明 若注意到 与 具有相同 1fx 1fx f 的单调性和奇偶性 只需研究原函数 的单调性和奇偶性即可 fx 解析 故 为奇函数从而 212121logllogxxf f fx 为奇函数 又令 在 和 上均为增函数1fx tx 1 2 6 且 为增函数 故 在 和 上分别为增函数 故2logty fx1 2 分别在 和 上分别为增函数 1fx 0 0 知识点归类点拔 对于反函数知识有如下重要结论 1 定义域上的单调函 数必有反函数 2 奇函数的反函数也是奇函数且原函数和反函数具有相同的 单调性 3 定义域为非单元素的偶函数不存在反函数 4 周期函数不存在 反函数 5 原函数的定义域和值域和反函数的定义域和值域到换 即 1 fbafb 练 6 1 99 全国高考题 已知 则如下结论正确的是 2 xef A 是奇函数且为增函数 B 是奇函数且为减函 fx fx 数 C 是偶函数且为增函数 D 是偶函数且为减函f f 数 答案 A 2 2005 天津卷 设 是函数 的反函数 则使 1fx 112xfa 成立的 的取值范围为 A B 1fx x 21 a C D 2 a a 答案 A 时 单调增函数 所以1a fx 211 1fxfxffa 易错点 7 证明或判断函数的单调性要从定义出发 注意步骤的规范性及树 立定义域优先的原则 例 7 试判断函数 的单调性并给出证明 0 bfxa 易错点分析 在解答题中证明或判断函数的单调性必须依据函数的性质解答 特别注意定义 中的 的任意性 12 D 1212ffxffx 12 x 以及函数的单调区间必是函数定义域的子集 要树立定义域优先的意识 7 解析 由于 即函数 为奇函数 因此只需判断函数 在 fxf fx fx 上的单调性即可 设 由于 0 120 12121abffx 故当 时 此时函数 在12x 12 bxa 120ff fx 上增函数 同理可证函数 在 上为减函数 又由于函数 ba fx0 ba 为奇函数 故函数在 为减函数 在 为增函数 综上所述 0ba 函数 在 和 上分别为增函数 在 和 fx 0 ba 上分别为减函数 0ba 知识归类点拔 1 函数的单调性广泛应用于比较大小 解不等式 求参数 的范围 最值等问题中 应引起足够重视 2 单调性的定义等价于如下形式 在 上是增函数 fx ab 在 上是减函数 这表明 120fxf fx ab 120fxf 增减性的几何意义 增 减 函数的图象上任意两点 连线 12 fxf 的斜率都大于 小于 零 3 是一种重要的函数模型 要引起重视并注意应 0 bfxa 用 但注意本题中不能说 在 上为增函数 在fx ba 上为减函数 在叙述函数的单调区间时不能在多个单调区间0 ba 0 之间添加符号 和 或 练 7 1 潍坊市统考题 1 用单调性的定义 0 xfxa 8 判断函数 在 上的单调性 2 设 在 的最小值为 fx0 fx01 ga 求 的解析式 yga 答案 1 函数在 为增函数在 为减函数 2 1 a 10 a 201yga 2 2001 天津 设 且 为 R 上的偶函数 1 求 a 的值0a xeaf 2 试判断函数在 上的单调性并给出证明 答案 1 2 函数在 上为增函数 证明略 1a 0 易错点 8 在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误 作充要条件使用 导致错误结论 例 8 2004 全国高考卷 已知函数 上是减函数 求 a 的 321fxax 取值范围 易错点分析 是 在 内单调递减的充分不必要条 0 fxab f b 件 在解题过程中易误作是充要条件 如 在 R 上递减 但 3x 23fx 解析 求函数的导数 1 当 时 是减函数 236fxax 0fx fx 则 故 解得 2 当 时 23610fxaR 0 3a 3a 易知此时函数也在 R 上是减函数 3 332 89fx 当 时 在 R 上存在一个区间在其上有 所以当 时 函数a 0fx a 不是减函数 综上 所求 a 的取值范围是 fx 3 知识归类点拔 若函数 可导 其导数与函数的单调性的关系现以增函数 fx 9 为例来说明 与 为增函数的关系 能推出 为增函0 xf xf 0 xf xf 数 但反之不一定 如函数 在 上单调递增 但 3 0 是 为增函数的充分不必要条件 时 与0 xf xf xf xf 为增函数的关系 若将 的根作为分界点 因为规定 即0 xf 抠去了分界点 此时 为增函数 就一定有 当 时 0 xf 0 xf 是 为增函数的充分必要条件 与 为增函数的关系 0 xf xf 为增函数 一定可以推出 但反之不一定 因为 即为0 xf xf 或 当函数在某个区间内恒有 则 为常数 函 xf xf 0 xf 数不具有单调性 是 为增函数的必要不充分条件 函数的单调 f xf 性是函数一条重要性质 也是高中阶段研究的重点 我们一定要把握好以上三 个关系 用导数判断好函数的单调性 因此新教材为解决单调区间的端点问题 都一律用开区间作为单调区间 避免讨论以上问题 也简化了问题 但在实际 应用中还会遇到端点的讨论问题 要谨慎处理 因此本题在第一步后再对 和 进行了讨论 确保其充要性 在解题3a 中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用而导 致的错误还很多 这需要同学们在学习过程中注意思维的严密性 练 8 1 2003 新课程 函数 是是单调函数的充2yxbc 0 x 要条件是 A B C D 0b 0b 答案 A 2 是否存在这样的 K 值 使函数 在 上 24321fxkxk 2 递减 在 上递增 答案 提示据题意结合函数的连续性知 但 是函数12k 20f 0f 在 上递减 在 上递增的必要条件 不一定是充分条件因此由 10 求出 K 值后要检验 20f 易错点 9 应用重要不等式确定最值时 忽视应用的前提条件特别是易忘判 断不等式取得等号时的变量值是否在定义域限制范围之内 例 9 已知 a 0 b 0 a b 1 求 a 2 b 2的最小值 a1b 错解 a 2 b 2 a2 b2 4 2ab 4 4 4 8 a a1b2bab1 a1 2 b 2的最小值是 8b 易错点分析 上面的解答中 两次用到了基本不等式 a2 b2 2ab 第一次等 号成立的条件是 a b 第二次等号成立的条件 ab 显然 这两个条件21b1 是不能同时成立的 因此 8 不是最小值 解析 原式 a 2 b2 4 a2 b2 4 a b 2 2ab a2b12 a1b 2 4 1 2ab 1 4 由 ab 2 得 1 2ab 1 b2ba 412 且 16 1 17 原式 17 4 当且仅当 a b 时 1215 等号成立 a 2 b 2的最小值是 ab2 知识归类点拔 在应用重要不等式求解最值时 要注意它的三个前提条件缺一 不可即 一正 二定 三相等 在解题中容易忽略验证取提最值时的使等 号成立的变量的值是否在其定义域限制范围内 练 9 97 全国卷文 22 理 22 甲 乙两地相距 s km 汽车从甲地匀速行驶 到乙地 速度不得超过 c km h 已知汽车每小时的运输成本 以元为单位 由 可变部分和固定部分组成 可变部分与速度 v km h 的平方成正比 比例系 数为 b 固定部分为 a 元 1 把全程运输成本 y 元 表示为速度 v km h 的函数 并指出这个函数 的定义域 2 为了使全程运输成本最小 汽车应以多大速度行驶 答案为 1 2 使全程运输成本最小 当 c 20sybvavc ba 11 时 行驶速度 v 当 c 时 行驶速度 v c ba 易错点 10 在涉及指对型函数的单调性有关问题时 没有根据性质进行分类 讨论的意识和易忽略对数函数的真数的限制条件 例 10 是否存在实数 a 使函数 在 上是增函数 若存在求出 2logaxf 4 a 的值 若不存在 说明理由 易错点分析 本题主要考查对数函数的单调性及复合函数的单调性判断方法 在解题过程中易忽略对数函数的真数大于零这个限制条件而导致 a 的范围扩大 解析 函数 是由 和 复合而成的 根据复合函数的 fx2ax logxay 单调性的判断方法 1 当 a 1 时 若使 在 上是增函数 则2f 4 在 上是增函数且大于零 故有 解得 2xa 4 120a a 1 2 当 a1 使得函数 在 上是增函数 2logaxf 4 知识归类点拔 要熟练掌握常用初等函数的单调性如 一次函数的单调性取 决于一次项系数的符号 二次函数的单调性决定于二次项系数的符号及对称轴 的位置 指数函数 对数函数的单调性决定于其底数的范围 大于 1 还是小于 1 特别在解决涉及指 对复合函数的单调性问题时要树立分类讨论的数学思 想 对数型函数还要注意定义域的限制 练 10 1 黄岗三月分统考变式题 设 且 试求函数0a 1 的的单调区间 2log43ayx 答案 当 函数在 上单调递减在 上单调递增当 函数01 31 2 3 42 1a 12 在 上单调递增在 上单调递减 31 2 3 42 2 2005 高考天津 若函数 在区间 内单 3log0 1afxxa 1 0 2 调递增 则 的取值范围是 A B C a1 43 4 D 9 4 9 1 4 答案 B 记 则 当 时 要使得 是增函数 3gxa 2 3gxa 1 fx 则需有 恒成立 所以 矛盾 排除 C D 当 时 要使 0 14 01a 是函数 则需有 恒成立 所以 排除 A fx 0gx 234 易错点 11 用换元法解题时 易忽略换元前后的等价性 例 11 已知 求 的最大值1sin3xy 2sincoyx 易错点分析 此题学生都能通过条件 将问题转化为关于1isn3y 的函数 进而利用换元的思想令 将问题变为关于 t 的二次函数最six tx 值求解 但极易忽略换元前后变量的等价性而造成错解 解析 由已知条件有 且 结合1sinsi3y 1insi 13y 得 而 sin1 x 2x 2coxn2cosx 令 则原式 根据二次2ii3 sin13tt 213tt 函数配方得 当 即 时 原式取得最大值 2t 2ix49 知识点归类点拔 知识 是基础 方法 是手段 思想 是深化 提 高数学素质的核心就是提高学生对数学思想方法的认识和运用 数学素质的综 合体现就是 能力 解数学题时 把某个式子看成一个整体 用一个变量去 代替它 从而使问题得到简化 这叫换元法 换元的实质是转化 关键是构造 元和设元 理论依据是等量代换 目的是变换研究对象 将问题移至新对象的 知识背景中去研究 从而使非标准型问题标准化 复杂问题简单化 变得容易 处理 换元法又称辅助元素法 变量代换法 通过引进新的变量 可以把分散 13 的条件联系起来 隐含的条件显露出来 或者把条件与结论联系起来 或者变 为熟悉的形式 把复杂的计算和推证简化 练 11 1 高考变式题 设 a 0 000 求 f x 2a sinx cosx sinx cosx 2a 的最大值和最小值 2 答案 f x 的最小值为 2a 2 a 最大值为112012 a 2 不等式 ax 的解集是 4 b 则 a b x3 答案 提示令换元 原不等式变为关于 t 的一元二次不等式1 68ab xt 的解集为 易错点 12 已知 求 时 易忽略 n 的情况 nSa 例 12 2005 高考北京卷 数列 前 n 项和 且 1 求 ns11 3nnas 的值及数列 的通项公式 234 an 易错点分析 此题在应用 与 的关系时误认为 对于任意 n 值都sna1nns 成立 忽略了对 n 1 的情况的验证 易得出数列 为等比数列的错误结论 a 解析 易求得 由 得 故234116 927a 11 3nns 12ns 得 又 故该数 11nnnas 42na 13a 列从第二项开始为等比数列故 213nn 知识点归类点拔 对于数列 与 之间有如下关系 利nas 12nnsa 用两者之间的关系可以已知 求 但注意只有在当 适合n 1 时两者才可以合并否则要写分段函数的形式 12nnas 14 练 12 2004 全国理 已知数列 满足 na 则数列 的通项为 11231 2naa na 答案 将条件右端视为数列 的前 n 1 项和利用公式法解答即可 na 1 2na 易错点 13 利用函数知识求解数列的最大项及前 n 项和最大值时易忽略其定 义域限制是正整数集或其子集 从 1 开始 例 13 等差数列 的首项 前 n 项和 当 时 问 n 为 na0 nslm ls 何值时 最大 ns 易错点分析 等差数列的前 n 项和是关于 n 的二次函数 可将问题转化为求 解关于 n 的二次函数的最大值 但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个 限制条件 解析 由题意知 此函数是以 n 为变ns 21 1ndfanan 量的二次函数 因为 当 时 故 即此二次函数开口向下 10 lm ls0 故由 得当 时 取得最大值 但由于 故若 flfm 2x fxnN 为偶数 当 时 最大 l ln ns 当 为奇数时 当 时 最大 1 知识点归类点拔 数列的通项公式及前 n 项和公式都可视为定义域为正整数 集或其子集 从 1 开始 上的函数 因此在解题过程中要树立函数思想及观点 应用函数知识解决问题 特别的等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次函数 且没有常数项 反之满足形如 所对应的数列也必然是等差数列的2nsab 前 n 项和 此时由 知数列中的点 是同一直线上 这也是一个ns ns 15 很重要的结论 此外形如前 n 项和 所对应的数列必为一等比数列的nsca 前 n 项和 练 13 2001 全国高考题 设 是等差数列 是前 n 项和 且 ns56s 则下列结论错误的是 A B C D 和678s 0d 7a 9 均为 的最大值 n 答案 C 提示利用二次函数的知识得等差数列前 n 项和关于 n 的二次函数的对 称轴再结合单调性解答 易错点 14 解答数列问题时没有结合等差 等比数列的性质解答使解题思维 受阻或解答过程繁琐 例 14 已知关于的方程 和 的四个根组成首项为230 xa 230 xb 的等差数列 求 的值 34ab 思维分析 注意到两方程的两根之和相等这个隐含条件 结合等差数列的性 质明确等差数列中的项是如何排列的 解析 不妨设 是方程 的根 由于两方程的两根之和相等故由等34230 xa 差数列的性质知方程 的另一根是此等差数列的第四项 而方程 的两根是等差数列的中间两项 根据等差数列知识易知此等差数230 xb 列为 故 从而 579 4235 16ab ab 318 知识点归类点拔 等差数列和等比数列的性质是数列知识的一个重要方面 有解题中充分运用数列的性质往往起到事半功倍的效果 例如对于等差数列 若 则 对于等比数列 若 naqpm qpmnaa na 则 若数列 是等比数列 是其前 n 项的和 vu vun nS 那么 成等比数列 若数列 是等差数列 Nk kSk 2kS23 n 是其前 n 项的和 那么 成等差数列等性质nS N kS 2k23 要熟练和灵活应用 16 练 14 2003 全国理天津理 已知方程 和 的四20 xm 20 xn 个根组成一个首项为 的等差数列 则 A 1 B C 14n3412 D 38 答案 C 易错点 15 用等比数列求和公式求和时 易忽略公比 的情况 例 15 数列 中 数列 是公比为 的等 na1 2a 1 naq0 比数列 I 求使 成立的 的取值范围 II 求数列 的321 nnn q na 前 项的和 2S2 易错点分析 对于等比数列的前 n 项和易忽略公比 q 1 的特殊情况 造成概 念性错误 再者学生没有从定义出发研究条件数列 是公比为 1 na 的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数列而找不到解题突破q0 口 使思维受阻 解 I 数列 是公比为 的等比数列 1 naqqann121 由 得2132qann 321 nna 即 解得211n 0 250 q II 由数列 是公比为 的等比数列 得 这 1 naq qaann 212 表明数列 的所有奇数项成等比数列 所有偶数项成等比数列 且公比都是n 又 当 时 q1 a21 qnS2 n214321 64232n aa 当 时 qq nn 1 3 1 1nS2 17 naaa214321 264nn a 3 知识点归类点拔 本题中拆成的两个数列都是等比数列 其中 是解qan 2 题的关键 这种给出数列的形式值得关注 另外 不要以为奇数项 偶数项都 成等比数列 且公比相等 就是整个数列成等比数列 解题时要慎重 写出数 列的前几项进行观察就得出正确结论 对等比数列的求和一定要注意其公比为 1 这种特殊情况 高考往往就是在这里人为的设计陷阱使考生产生对现而不全的 错误 练 15 2005 高考全国卷一第一问 设等比数列 的公比为 q 前 n 项和 na 1 求 q 的取值范围 0ns 答案 易错点 16 在数列求和中对求一等差数列与一等比数列的积构成的数列的前 n 项和不会采用错项相减法或解答结果不到位 例 16 2003 北京理 已知数列 是等差数列 且 na123 1aa 1 求数列 的通项公式 2 令 求数列 前项和的公式 na nbxR nb 思维分析 本题根据条件确定数列 的通项公式再由数列 的通项公式 nan 分析可知数列 是一个等差数列和一个等比数列构成的 差比数列 可用错 nb 项相减的方法求和 解析 1 易求得 2na 2 由 1 得 令 则bxns23462nxx 用 减去 注意错过一 23 14nnxs 位再相减 得 当2311nnxsxx x 18 当 时 112 nnxsx 24621nsn 综上可得 当 当 时1x 112 nnxsx 24621nsn 知识点归类点拔 一般情况下对于数列 有 其中数列 和 ncnab na 分别为等差数列和等比数列 则其前 n 项和可通过在原数列的每一项的基 nb 础上都乘上等比数列的公比再错过一项相减的方法来求解 实际上课本上等比 数列的求和公式就是这种情况的特例 练 16 2005 全国卷一理 已知 121nnnuabab 当 时 求数列 的前 n 项和 0nNab a nns 答案 时 当 时 1 21221nnsa 1a 32n 易错点 17 不能根据数列的通项的特点寻找相应的求和方法 在应用裂项求 和方法时对裂项后抵消项的规律不清 导致多项或少项 例 17 求 nS 321n 321 易错点分析 本题解答时一方面若不从通项入手分析各项的特点就很难找到 解题突破口 其次在裂项抵消中间项的过程中 对消去哪些项剩余哪些项规律 不清而导致解题失误 解 由等差数列的前 项和公式得 n2 1 321 n 取 就分别得到 1 2321 n nS 1 43 2 n 1 n 知识归类点拔 裂项法 有两个特点 一是每个分式的分子相同 二是每项 的分母都是两个数 也可三个或更多 相乘 且这两个数的第一个数是前一项 的第二个数 如果不具备这些特点 就要进行转化 同是要明确消项的规律一 19 般情况下剩余项是前后对称的 常见的变形题除本题外 还有其它形式 例如 求 方法还是抓通项 即n216314212 问题会很容易解决 另外还有一些类似 裂 2 nn 项法 的题目 如 求其前 项和 可通过分母有理化的方1 an n 法解决 数列求和的常用方法 公式法 裂项相消法 错位相减法 倒序相加 法等 练 17 2005 济南统考 求和 12 nS42162 1 2 n 答案 75131nS n 易错点 18 易由特殊性代替一般性误将必要条件当做充分条件或充要条件使 用 缺乏严谨的逻辑思维 例 18 2004 年高考数学江苏卷 20 设无穷等差数列 a n 的前 n 项和为 Sn 若首项 公差 求满足 的正整数 k 1a 32 1 d2 2kS 求所有的无穷等差数列 a n 使得对于一切正整数 k 都有 成立 2 2kS 易错点分析 本小题主要考查数列的基本知识 以及运用数学知识分析和解决 问题的能力 学生在解第 时极易根据条件 对于一切正整数 k 都有 成立 这句话将 k 取两个特殊值确定出等差数列的首项和公差 2 2kS 但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件 但不是条 件成立的充分条件 还应进一步的由特殊到一般 解 I 当 时1 231 da nndnaSn 21 1 23 由 即 又224 2 kkSk 得 041k 0 所 以 II 设数列 an 的公差为 d 则在 中分别取 k 1 2 得2 2nS 20 2112241 34 dadaS即 由 1 得 当 011或 60 01 或得代 入时 若 成立 2 knSSada从 而则 若 故所知由则 134 8 631 n 239Ss 得数列不符合题意 当 0 2 62 1 dd或解 得得代 入时 若 01 2成 立从 而则 knSSada 若 成 立从 而则 22 1 32 nSn 综上 共有 3 个满足条件的无穷等差数列 an an 0 即 0 0 0 an an 1 即 1 1 1 a n an 2n 1 即 1 3 5 知识点归类点拔 事实上 条件中使得对于一切正整数 k 都有 成2 2kS 立 就等价于关于 k 的方程的解是一切正整数又转化为关于 k 的方程的各项系 数同时为零 于是本题也可采用这程等价转化的思想解答 这样做就能避免因 忽视充分性的检验而犯下的逻辑错误 在上述解法中一定要注意这种特殊与一 般的关系 练 18 1 2000 全国 已知数列 其中 且数列 为 nc23n 1ncp 等比数列 求常数 p 答案 p 2 或 p 3 提示可令 n 1 2 3 根据等比中项的性质建立关于 p 的方程 再说明 p 值对任意自然数 n 都成立 易错点 19 用判别式判定方程解的个数 或交点的个数 时 易忽略讨论二 次项的系数是否为 尤其是直线与圆锥曲线相交时更易忽略 例 19 已知双曲线 直线 讨论直线与双曲线公共点的24xy 1ykx 个数 1 2 21 易错点分析 讨论直线与曲线的位置关系 一般将直线与曲线的方程联立 组成方程组 方程组有几解 则直线与曲线就有几个交点 但在消元后转化 为关于 x 或 y 的方程后 易忽视对方程的种类进行讨论而主观的误认为方程 就是二次方程只利用判别式解答 解析 联立方程组 消去 y 得到 1 当 214kxy 22140kxk 时 即 方程为关于 x 的一次方程 此时方程组只有解 即210k 直线与双曲线只有一个交点 2 当 时即 方程 21043k 23k 组只有一解 故直线与双曲线有一个交点 3 当 时 方程 21043k 组有两个交点此时 且 4 当 时即23k k 20 或 时方程组无解此时直线与双曲线无交点 23k k 综上知当 或 时直线与双曲线只有一个交点 当1 23 且 时直线与双曲线有两个交点 当 或23k 23k 时方程组无解此时直线与双曲线无交点 知识点归类点拔 判断直线与双曲线的位置关系有两种方法 一种代数方法 即判断方程组解的个数对应于直线与双曲线的交点个数另一种方法借助于渐 进线的性质利用数形结合的方法解答 并且这两种方法的对应关系如下上题 中的第一种情况对应于直线与双曲线的渐进线平行 此时叫做直线与双曲线 相交但只有一个公共点 通过这一点也说明直线与双曲线只有一个公共点是 直线与双曲线相切的必要但不充分条件 第二种情况对应于直线与双曲线相 切 通过本题可以加深体会这种数与形的统一 22 练 19 1 2005 重庆卷 已知椭圆 的方程为 双曲线 的左右1c 214xy 2c 焦点分别为 的左右顶点 而 的左右顶点分别是 的左右焦点 1 求双曲1c21c 线的方程 2 若直线 与椭圆 及双曲线 恒有两个不同的交点 lykx 12 且与 的两个交点 A 和 B 满足 其中 O 为原点 求 k 的取值范c 6lO 围 答案 1 2 213xy 313 11525 2 已知双曲线C 过点P 1 1 作直线l 使l与C有且只有一个公共点 则满足上述条件的直线l共有 条 答案 4条 可知 kl存在时 令l y 1 k x 1 代入 中整理有 4 k 2 x2 2k k 1 x 4 2 yx 1 k2 4 0 当4 k 2 0即k 2时 有一个公共点 当k 2时 由 0有 有一个切点另 当k l不存在时 x 1也和曲线C有一个切点 综上 共有5 4条满足条件的直线 易错点 20 易遗忘关于 和 齐次式的处理方法 sin co 例 20 已知 求 1 2 2tan sin 的值 2cso siin 思维分析 将式子转化为正切如利用 可将 2 式分子分母21sicos 除去 即可 si 解 1 231tancosi1sinco 2 2222 cosiii 34121cosin2 23 知识点归类点拔 利用齐次式的结构特点 如果不具备 通过构造的办法 得到 进行弦 切互化 就会使解题过程简化 2222 1sincosetan tcot 这些统称为 1 的代换 常数 1 的种种代换有着广泛的应用 练 20 2004 年湖北卷理科 已知 的值 32sin 0cos2sini62 求 答案 原式可化为 531 0tatn62 2tatsin2n 易错点 21 解答数列应用题 审题不严易将有关数列的第 n 项与数列的前 n 项和混淆导致错误解答 例 21 如果能将一张厚度为 0 05mm 的报纸对拆 再对拆 对拆 50 次后 报纸 的厚度是多少 你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗 已知 地球与月球的距离约为 米 8410 易错点分析 对拆 50 次后 报纸的厚度应理解一等比数列的第 n 项 易误理解 为是比等比数列的前 n 项和 解析 对拆一次厚度增加为原来的一倍 设每次对拆厚度构成数列 则数列na 是以 米为首项 公比为 2 的等比数列 从而对拆 50 次后纸的厚na31 0 5 度是此等比数列的第 51 项 利用等比数列的通项公式易得 a51 0 05 10 3 250 5 63 1010 而地球和月球间的距离为 4 1080 所以 nnxabc N 10acx1ac1x 猜测 当且仅当 且 时 每年年初鱼群的总量保持不变 ab b 1 若 b 的值使得 0 由 知 nx 13nnxbx 03nxb 特别地 有 即 而 0 2 所以 nN 103b 10 由此猜测 b 的最大允许值是 1 下证 当 0 2 b 1 时 都 1 0 x 有 0 2 当 n 1 时 结论显然成立 假设当 n k 时结论nx nN 成立 即 0 2 则当 n k 1 时 又因为k 120kkxx 所以 0 2 故当 n k 1 时结 2121k kxx 论也成立 由 可知 对于任意的 都有 0 2 综上所述 nN nx 为保证对任意 0 2 都有 0 则捕捞强度 b 的最大允许1xx 值是 1 知识点归类点拔 归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法 归纳推 理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种 不完全归纳推理只根据一类事物中 的部分对象具有的共同性质 推断该类事物全体都具有的性质 这种推理方法 在数学推理论证中是不允许的 完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象 后归纳得出结论来 数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一 种推理方法 在解数学题中有着广泛的应用 它是一个递推的数学论证方法 论证的第一步是证明命题在 n 1 或 n 时成立 这是递推的基础 第二步是假0 42 设在 n k 时命题成立 再证明 n k 1 时命题也成立 这是无限递推下去的理 论依据 它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般 实际上它使命题的正确 性突破了有限 达到无限 这两个步骤密切相关 缺一不可 完成了这两步 就可以断定 对任何自然数 或 n n 且 n N 结论都正确 由这两步可以看0 出 数学归纳法是由递推实现归纳的 属于完全归纳 运用数学归纳法证明问题 时 关键是 n k 1 时命题成立的推证 此步证明要具有目标意识 注意与最 终要达到的解题目标进行分析比较 以此确定和调控解题的方向 使差异逐步 减小 最终实现目标完成解题 运用数学归纳法 可以证明下列问题 与自然 数 n 有关的恒等式 代数不等式 三角不等式 数列问题 几何问题 整除性 问题等等 练 34 2005 年全国卷 统一考试理科数学 设函数 求 的最小值 10 1log log 22 xxxf xf 设正数 满足 证明npp31 23 npp p nn 2322221 llllog 答案 用数学归纳法证明 1f 2 2005 高 考 辽 宁 已 知 函 数 设 数 列 满 足 1 3 xf na 数 列 满 足 1nnafa nb 2NbSann 用数学归纳法证明 证明12 3 n 3 n 易错点 35 涉及向量的有关概念 运算律的理解与应用 易产生概念性错误 例 35 下列命题 若 42 a bcab aba 则 则存在唯一实数 使 若 b c cb 且 则 设 是平面内两向量 则对于平面内任何一向量 都o21 e 43 存在唯一一组实数 x y 使 成立 若 21eyxa ab 则 0 0 则 或 真命题个数为 abab0b A 1 B 2 C 3 D 3 个以上 易错点分析 共线向量 向量的数乘 向量的数量积的定义及性质和运算法 则等是向量一章中正确应用向量知识解决有关问题的前提 在这里学生极易将 向量的运算与实数的运算等同起来 如认为向量的数量积的运算和实数一样满 足交换律产生一些错误的结论 解析 正确 根据向量模的计算 判断 错误 向量的数量积的运2a 算不满足交换律 这是因为根据数量积和数乘的定义 表示和向量 共线 acb b 的向量 同理 表示和向量 共线的向量 显然向量 和向量 不一定是 abc c c 共线向量 故 不一定成立 错误 应为 错误 b a 注意零向量和任意向量平行 非零向量的平行性才具有传递性 错误 应加条件 非零向量 错误 向量不满足消去律 根据数量的几何意义 a 只需向量 和向量 在向量 方向的投影相等即可 作图易知满足条件的向量有b c 无数多个 错误 注意平面向量的基本定理的前提有向量 是不共线的向21 e 量即一组基底 正确 条件表示以两向量为邻边的平行四边形的对角线相等 即四边形为矩形 故 0 错误 只需两向量垂直即可 ab 答案 B 知识点归类点拔 在利用向量的有关概念及运算律判断或解题时 一定要明 确概念或定理成立的前提条件和依据向量的运算律解答 要明确向量的运算和 实数的运算的相同和不同之处 一般地已知 和实数 则向量的数 量积满足下列运算律 交换律 数乘结合律 分配律 说明 1 一般地 2 0 3 有如下常用性质 44 练 35 1 2002 上海春 13 若 a b c 为任意向量 m R 则下列等式 不一定成立的是 A a b c a b c B a b c a c b c C m a b ma mb D a b c a b c 2 2000 江西 山西 天津理 4 设 a b c 是任意的非零平面向量 且相 互不共线 则 a b c c a b 0 a b 0 的 的取值范围 答案 xfx 4 2 3 x kZ 易错点 42 向量与解析几何的交汇 例 42 03 年新课程高考 已知常数 a 0 向量 c 0 a i 1 0 经过 原点 O 以 c i 为方向向量的直线与经过定点 A 0 a 以 i 2 c 为方向向 量的直线相交于点 P 其中 R 试问 是否存在两个定点 E F 使得 PE PF 为定值 若存在 求出 E F 的坐标 若不存在 说明理由 易错点分析 此题综合程度较高 一方面学生对题意的理解如对方向向量的 51 概念的理解有误 另一面在向量的问题情景下不能很好的结合圆锥曲线的定义 来解答 使思维陷入僵局 解析 根据题设条件 首先求出点 P 坐标满足的方程 据此再判断是否存在两 定点 使得点 P 到两定点距离的和为定值 i 1 0 c 0 a c i a i 2 c 1 2 a 因此 直线 OP 和 AP 的方程分别为 和 消去参数 得点 的坐标满足方程xy axy 2 yxP 整理得 因为 所以得 i 当2 1 82 0 a 时 方程 是圆方程 故不存在合乎题意的定点 E 和 F ii 当2 a 时 方程 表示椭圆 焦点 和 为合乎题意0 2 1 aE 2 1 a 的两个定点 iii 当 时 方程 也表示椭圆 焦点2 a 和 为合乎题意的两个定点 21 aE 0 F 知识点归类点拔 本小题主要考查平面向量的概念和计算 求轨迹的方法 椭 圆的方程和性质 利用方程判定曲线的性质 曲线与方程的关系等解析几何的 基本思想和综合解题能力 在高考中向量与圆锥曲线的结合是成为高考命题的 主旋律 在解题过程中一方面要注意在给出的向量问题情景中转化出来另一方 面也要注意应用向量的坐标运算来解决解析几何问题如 线段的比值 长度 夹角特别是垂直 点共线等问题 提高自已应用向量知识解决解析几何问题的 意识 练 42 1 2005 全国卷 1 已知椭圆的中心为坐标原点 O 焦点在 轴上 x 斜率为 1 且过椭圆右焦点 F 的直线交椭圆于 A B 两点 与B 共线 求椭圆的离心率 设 M 为椭圆上任意一点 且 3 a 证明 为定值 ROBAM 2 答案 1 2 163e 2 2 02 年新课程高考天津卷 已知两点 M 1 0 N 1 0 且点 P 使 52 成公差小于零的等差数列 1 点 P 的轨迹是什MP N PM N 么曲线 2 若点 P 坐标为 记 为 与 的夹角 求 答 oxy PM Ntan 案 点 P 的轨迹是以原点为圆心 为半径的右半圆 tan y 30 3 2001 高考江西 山西 天津 设坐标原点为 O 抛物线 y2 2x 与过焦点 的直线交于 A B 两点 则 等于 A B C 3 D 3OBA 43 答案 B 易错点 43 解析几何与向量的数量积的性质如涉及模 夹角等的结合 例 43 已知椭圆 C 上动点 到定点 其中 的距离 214xy P 0Mm2 的最小值为 1 1 请确定 M 点的坐标 2 试问是否存在经过 M 点的直PM 线 使 与椭圆 C 的两个交点 A B 满足条件 O 为原点 若存l AB 在 求出 的方程 若不存在请说是理由 思维分析 此题解题关键是由条件 知 从而将条件O 0 转化点的坐标运算再结合韦达定理解答 解析 设 由 得 故 pxy 214y 224x 由于 且 222xPMm 222m 02m 故当 时 的最小值为 此时 当x 0 2PM21 时 取得最小值为 解得 不合题意舍去 24 2 24 3 综上所知当 是满足题意此时 M 的坐标为 1 0 1m 2 由题意知条件 等价于 当 的斜率不存在时 OAB OAB l 与 C 的交点为 此时 设 的方程为 代入l 61 2 0 l 1ykx 椭圆方程整理得 由于点 M 在椭圆内部故 244kxk 53 恒成立 由 知 即 0 0OAB 120 xy 22210kxxk 据韦达定理得 代入上式得 2124kx 1224k 得 不合题意 综上知这样的 21 0k 直线不存在 知识点归类点拔 在解题过程中要注意将在向量给出的条件转化向量的坐标 运算 从而与两交点的坐标联系起来才自然应用韦达定理建立起关系式 此题 解答具有很强的示范性 请同学们认真体会 融会贯通 练 43 已知椭圆的焦点在 x 轴上 中心在坐标原点 以右焦点 为圆心 过2F 另一焦点 的圆被右准线截的两段弧长之比 2 1 为此平面上一定点 1F 2 1P 且 1 求椭圆的方程 2 若直线 与椭圆交于如P 0ykx 图两点 A B 令 求函数 的值域答案 1 120fkABFk f 2 214xy 0 8 易错点 44 牢记常用的求导公式 求复合函数的导数要分清函数的复合关系 例 44 函数 的导数为 1cosxye 易错点分析 复合函数对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数 乘以 中间变量对自变量的导数 即 xuxy 解析 1cos1cos1cos1cos1cosx xyeee 1cosinxe ix 知识点归类点拨 掌握复合函数的求导方法关键在于分清函数的复合关系 适当选定中间变量 分步计算中的每一步都要明确是对哪个变量求导 而其中 要特别注意的是中间变量的系数 练习 44 2003 年江苏 21 已知 n 为正整数 设 证明0a nyxa 1nyxa 54 1 设 对任意 证明 nnnfxa a 11nnff 解析 证明 1 0 nnkkCx 11111nnnk nknk kyCaxaa 2 对函数 求导数 nnnf 11nnfx 当 时 11 nfa 0 xa 0n 是关于 x 的增函数因此 当 时 nnax 当 时 na 1n 11111nn n nn nnf a a 即对任意 nnff 易错点 45 求曲线的切线方程 例 45 2005 高考福建卷 已知函数 的图象过点daxbxf 23 P 0 2 且在点 M 1 f 1 处的切线方程为 求076 y 函数 的解析式 xfy 思维分析 利用导数的几何意义解答 解析 由 的图象经过 P 0 2 知 d 2 所以 f 2 23 cxbxf 由在 处的切线方程是 知 1 fM076 yx 6 07 1 6 ff即 故所求的解析式是 3 32 23 cbcbcb解 得即 23 xxf 知识点归类点拔 导数的几何意义 函数 y f x 在点 处的导数 就是曲线0 x 55 y x 在点 处的切线的斜率 由此 可以利用导数求曲线的切线方 0 xfP 程 具体求法分两步 1 求出函数 y f x 在点 处的导数 即曲线 y f x 0 x 在点 处的切线的斜率 2 在已知切点坐标和切线斜率的条件下 0 xf 求得切线方程为 特别地 如果曲线 y f x 在点 00 xfy 处的切线平行于 y 轴 这时导数不存 根据切线定义 可得切线方 0 xfP 程为 利用导数的几何意义作为解题工具 有可能出现在解析几何综合 试题中 复习时要注意到这一点 练 45 1 2005 福建卷 已知函数 的图象在点 M 1 f x bxaf 26 处的切线方程为 x 2y 5 0 求函数 y f x 的解析式 答案 3 2xf 2 2005 高考湖南卷 设 点 P 0 是函数 tt 的图象的一个公共点 两函数的图象在点 P 处有cbxgaxf 23 与 相同的切线 用 表示 a b c 答案 故 t 3tabc 2ttb 3tc 易错点 46 利用导数求解函数的单调区间及值域 例 46 2005 全国卷 III 已知函数 求 的 247xf 01 fx 单调区间和值域 设 函数 若对于任意 总存1a 2301gxax 1x 在 使得 成立 求 的取值范围 0 x 01f 易错点分析 利用导数求函数的单调区间仍然要树立起定义域优先的意识 同 时要培养自已的求导及解不等式的运算能力第 问要注意将问题进行等 价转化即转化为函数 在区间 上的值域是函数 的值域的子 ygx 01 fx 56 集 从而转化为求解函数 在区间 上的值域 ygx 01 解析 令 解得 或 2 24167 7 xxf 0fx 12 在 所以 为单调递减函数 在 72x 10 0 f f 所以 为单调递增函数 又 即 f x710 3 422ff 的值域为 4 3 所以 的单调递减区间为 的单调递增区x fxx 间为 的值域为 4 3 单调区间为闭区间也可以 1 2 fx 又 当 时 23 ga 1 0 x 2 31 0gxa 因此 当 时 为减函数 从而当 时 有 0 1 x gx g 又 即当 时 有 2 x2 x 任给 有 存在 使得 1 x1 4 3 fx 0 1 01 gf 则 又 所以 的取值范围是 2 5 32aa 或 a 23a 知识点分类点拔 高考对导数的考查定位于作为解决初等数学问题的工具出 现 侧重于考查导数在函数与解析几何中的应用 主要有以下几个方面 运 用导数的有关知识 研究函数最值问题 一直是高考长考不衰的热点内容 另 一方面 从数学角度反映实际问题 建立数学模型 转化为函数的最大值与最 小值问题 再利用函数的导数 顺利地解决函数的最大值与最小值问题 从而 进一步地解决实际问题 用导数研究函数的性质比用初等方法研究要方便得多 因此 导数在函数中的应用作为 2006 年高考命题重点应引起高度注意 单调区 间的求解过程 已知 1 分析 的定义域 2 求导数 xfy xfy 3 解不等式 解集在定义域内的部分为增区间 4 解不 xfy 0 等式 解集在定义域内的部分为减区间 对于函数单调区间的合并 函0 数单调区间的合并主要依据是函数 在 单调递增 在 单调递增 xf ba cb 57 又知函数在 处连续 因此 在 单调递增 同理减区间的合并也bxf xf ca 是如此 即相邻区间的单调性相同 且在公共点处函数连续 则二区间就可以 合并为以个区间 练 46 1 2005 高考北京卷 已知函数 f x x 3 3x 2 9x a I 求 f x 的单调递减区间 II 若 f x 在区间 2 2 上的最大值为 20 求它在 该区间上的最小值 答案 1 1 3 2 7 2 2005 全国卷 III 用长为 90cm 宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器 先在四角分别截去一个小正方形 然后把四边翻转 90