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2.设在15只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X表示取出的次品个数,求:(1) X的分布律;(2) X的分布函数并作图;(3).【解】故X的分布律为X012P(2) 当x0时,F(x)=P(Xx)=0当0x1时,F(x)=P(Xx)=P(X=0)= 当1x2时,F(x)=P(Xx)=P(X=0)+P(X=1)=当x2时,F(x)=P(Xx)=1故X的分布函数(3) 7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少(利用泊松定理)?【解】设X表示出事故的次数,则Xb(1000,0.0001) 8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足PX=1=PX=2,求概率PX=4.【解】设在每次试验中成功的概率为p,则故 所以 .9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号,(1) 进行了5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率;(2) 进行了7次独立试验,试求指示灯发出信号的概率.【解】(1) 设X表示5次独立试验中A发生的次数,则X6(5,0.3)(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数,则Yb(7,0.3)10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为(1/2)t的泊松分布,而与时间间隔起点无关(时间以小时计).(1) 求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率;(2) 求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.【解】(1) (2) 12.某教科书出版了2000册,因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册数,则Xb(2000,0.001).利用泊松近似计算,得 14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费,而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求:(1) 保险公司亏本的概率;(2) 保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.(1) 在1月1日,保险公司总收入为250012=30000元.设1年中死亡人数为X,则Xb(2500,0.002),则所求概率为由于n很大,p很小,=np=5,故用泊松近似,有(2) P(保险公司获利不少于10000) 即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上P(保险公司获利不少于20000) 即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%16.设某种仪器内装有三只同样的电子管,电子管使用寿命X的密度函数为f(x)=求:(1) 在开始150小时内没有电子管损坏的概率;(2) 在这段时间内有一只电子管损坏的概率;(3) F(x).【解】(1) (2) (3) 当x100时F(x)=0当x100时 故 18.设随机变量X在2,5上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测,求至少有两次的观测值大于3的概率.【解】XU2,5,即故所求概率为19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从指数分布.某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次,以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数,试写出Y的分布律,并求PY1.【解】依题意知,即其密度函数为该顾客未等到服务而离开的概率为,即其分布律为20.某人乘汽车去火车站乘火车,有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤,所需时间X服从N(40,102);第二条路程较长,但阻塞少,所需时间X服从N(50,42).(1) 若动身时离火车开车只有1小时,问应走哪条路能乘上火车的把握大些?(2) 又若离火车开车时间只有45分钟,问应走哪条路赶上火车把握大些?【解】(1) 若走第一条路,XN(40,102),则若走第二条路,XN(50,42),则+故走第二条路乘上火车的把握大些.(2) 若XN(40,102),则若XN(50,42),则 故走第一条路乘上火车的把握大些.21.设XN(3,22),(1) 求P2X5,P-4X10,PX2,PX3;(2) 确定c使PXc=PXc.【解】(1) (2) c=322.由某机器生产的螺栓长度(cm)XN(10.05,0.062),规定长度在10.050.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率.【解】 28.设随机变量X的分布律为X-2 -1 0 1 3Pk1/5 1/6 1/5 1/15 11/30求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值为0,1,4,9故Y的分布律为Y0 1 4 9Pk1/5 7/30 1/5 11/3049.设随机变量X在区间(1,2)上服从均匀分布,试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y).【解】因为P(1X2)=1,故P(e2Ye4)=1当ye2时FY(y)=P(Yy)=0. 当e2ye4时, 当ye4时,即 故 8.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=求边缘概率密度.【解】 题8图 题9图9.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=求边缘概率密度.【解】 题10图10.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)=(1) 试确定常数c;(2) 求边缘概率密度.【解】(1) 得.(2) 13.设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为XY2 5 80.40.80.15 0.30 0.350.05 0.12 0.03(1)求关于X和关于Y的边缘分布;(2) X与Y是否相互独立?【解】(1)X和Y的边缘分布如下表XY258PY=yi0.40.150.300.350.80.80.050.120.030.20.20.420.38(2) 因故X与Y不独立.22.设随机变量X和Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布律及关于X和Y的边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处. XYy1 y2 y3PX=xi=pix1x21/81/8PY=yj=pj1/61【解】因,故从而而X与Y独立,故,从而即: 又即从而同理 又,故.同理从而故YX11.设随机变量X的分布律为X -1 0 1 2P1/8 1/2 1/8 1/4求E(X),E(X2),E(2X+3).【解】(1) (2) (3) 5.设随机变量X的概率密度为f(x)=求E(X),D(X).【解】 故 6.设随机变量X,Y,Z相互独立,且E(X)=5,E(Y)=11,E(Z)=8,求下列随机变量的数学期望.(1) U=2X+3Y+1;(2) V=YZ -4X.【解】(1) (2) 7.设随机变量X,Y相互独立,且E(X)=E(Y)=3,D(X)=12,D(Y)=16,求E(3X -2Y),D(2X -3Y).【解】(1) (2) 9.设X,Y是相互独立的随机变量,其概率密度分别为fX(x)= fY(y)=求E(XY).【解】方法一:先求X与Y的均值 由X与Y的独立性,得 方法二:利用随机变量函数的均值公式.因X与Y独立,故联合密度为于是34.设随机变量X和Y的联合概率分布为YX -1 0 1010.07 0.18 0.150.08 0.32 0.20试求X和Y的相关系数. 【解】由已知知E(X)=0.6,E(Y)=0.2,而XY的概率分布为YX -101P0.080.720.2所以E(XY)= -0.08+0.2=0.12Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y)=0.12 -0.60.2=0从而 =01.一颗骰子连续掷4次,点数总和记为X.估计P10X18.【解】设表每次掷的点数,则 从而 又X1,X2,X3,X4独立同分布.从而 所以 14. 设随机变量X和Y的数学期望都是2,方差分别为1和4,而相关系数为0.5试根据契比雪夫不等式给出P|X-Y|6的估计. (2001研考)【解】令Z=X-Y,有所以5. 有一批建筑房屋用的木柱,其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根,问其中至少有30根短于3m的概率是多少?【解】设100根中有X根短于3m,则XB(100,0.2)从而 11. 设男孩出生率为0.515,求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率?【解】用X表10000个婴儿中男孩的个数,则XB(10000,0.515)要求女孩个数不少于男孩个数的概率,即求PX5000. 由中心极限定理有
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