高中数学竞赛讲义(免费)

高中数学竞赛资料 一 高中数学竞赛大纲 全国高中数学联赛 全国高中数学联赛 一试 所涉及的知识范围不超出教育部 2000 年 全日制普通高 级中学数学教学大纲 中所规定的教学要求和内容 但在方法的要求上有所提高 全国高中数学联赛加试 全国高中数学联赛加试 二试 与国际数学奥林匹克接轨 在知识方面有所扩展 适 当增加一些教学大纲之外的内容 所增加的内容是 1 平面几何 几个重要定理 梅涅劳斯定理 塞瓦定理 托勒密定理 西姆松定理 三角形中的几 个特殊点 旁心 费马点 欧拉线 几何不等式 几何极值问题 几何中的变换 对称 平移 旋转 圆的幂和根轴 面积方法 复数方法 向量方法 解析几何方法 2 代数 周期函数 带绝对值的函数 三角公式 三角恒等式 三角方程 三角不等式 反三 角函数 递归 递归数列及其性质 一阶 二阶线性常系数递归数列的通项公式 第二数学归纳法 平均值不等式 柯西不等式 排序不等式 切比雪夫不等式 一元凸函 数 复数及其指数形式 三角形式 欧拉公式 棣莫弗定理 单位根 多项式的除法定理 因 式分解定理 多项式的相等 整系数多项式的有理根 多项式的插值公式 n 次多项式根的个数 根与系数的关系 实系数多项式虚根成对定理 函数迭代 简单的函数方程 3 初等数论 同余 欧几里得除法 裴蜀定理 完全剩余类 二次剩余 不定方程和方程组 高斯 函数 x 费马小定理 格点及其性质 无穷递降法 欧拉定理 孙子定理 4 组合问题 圆排列 有重复元素的排列与组合 组合恒等式 组合计数 组合几何 抽屉原理 容斥原理 极端原理 图论问题 集合的划分 覆盖 平面凸集 凸包及应用 注 有 号的内容加试中暂不考 但在冬令营中可能考 二 初中数学竞赛大纲 1 数 整数及进位制表示法 整除性及其判定 素数和合数 最大公约数与最小公倍数 奇数和偶数 奇偶性分析 带余除法和利用余数分类 完全平方数 因数分解的表示法 约数个数的计算 有理数的概念及表示法 无理数 实数 有理数和实数四则运算的封闭 性 2 代数式 综合除法 余式定理 因式分解 拆项 添项 配方 待定系数法 对称式和轮换 对称式 整式 分工 根式的恒等变形 恒等式的证明 3 方程和不等式 含字母系数的一元一次方程 一元二次方程的解法 一元二次方程根的分布 含绝对 值的一元一次方程 一元二次方程的解法 含字母系数的一元一次不等式的解法 一元二 次不等式的解法 含绝对值的一元一次不等式 简单的多元方程组 简单的不定方程 组 4 函数 二次函数在给定区间上的最值 简单分工函数的最值 含字母系数的二次函数 5 几何 三角形中的边角之间的不等关系 面积及等积变换 三角形中的边角之间的不等关系 面积及等积变换 三角形的心 内心 外心 垂心 重心 及其性质 相似形的概念和性 质 圆 四点共圆 圆幂定理 四种命题及其关系 6 逻辑推理问题 抽屉原理及其简单应用 简单的组合问题简单的逻辑推理问题 反证法 极端原理的 简单应用 枚举法及其简单应用 三 高中数学竞赛基础知识 第一章 集合与简易逻辑 一 基础知识 定义 1 一般地 一组确定的 互异的 无序的对象的全体构成集合 简称集 用大写字 母来表示 集合中的各个对象称为元素 用小写字母来表示 元素 在集合 A 中 称 属xx 于 A 记为 否则称 不属于 A 记作 例如 通常用 N Z Q B Q 分别x xx 表示自然数集 整数集 有理数集 实数集 正有理数集 不含任何元素的集合称为空集 用 来表示 集合分有限集和无限集两种 集合的表示方法有列举法 将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗号隔开表示 集合的方法 如 1 2 3 描述法 将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方法 例如 有理数 分别表示有理数集和正实数集 0 x 定义 2 子集 对于两个集合 A 与 B 如果集合 A 中的任何一个元素都是集合 B 中的元素 则 A 叫做 B 的子集 记为 例如 规定空集是任何集合的子集 如果 A 是 ZN B 的子集 B 也是 A 的子集 则称 A 与 B 相等 如果 A 是 B 的子集 而且 B 中存在元素不 属于 A 则 A 叫 B 的真子集 定义 3 交集 x 且 定义 4 并集 或 定义 5 补集 若 称为 A 在 I 中的补集 1xIACI 且则 定义 6 差集 BxB 且 定义 7 集合 记作开区间 集合 baRa ba 记作闭区间 R 记作 xb 定理 1 集合的性质 对任意集合 A B C 有 1 2 CBA CABC 3 4 1 11 证明 这里仅证 1 3 其余由读者自己完成 1 若 则 且 或 所以 或 x Ax Bx x 即 反之 则 CA CB CA 或 即 且 或 即 且 即Bx xxx Bx 3 若 则 或 所以 或 所以CAx1Ax1 BC1Ax 又 所以 即 反之也有 B I 1BC 11C 定理 2 加法原理 做一件事有 类办法 第一类办法中有 种不同的方法 第二类办法n1m 中有 种不同的方法 第 类办法中有 种不同的方法 那么完成这件事一共有mn 种不同的方法 nN 21 定理 3 乘法原理 做一件事分 个步骤 第一步有 种不同的方法 第二步有 种不1m2m 同的方法 第 步有 种不同的方法 那么完成这件事一共有nnm 种不同的方法 N 21 二 方法与例题 1 利用集合中元素的属性 检验元素是否属于集合 例 1 设 求证 2ZyxaM 1 2k 2 4 3 若 则 qp Mp 证明 1 因为 且 所以Zk 122 1 kk 1Mk 2 假设 则存在 使 由于 和 24Zyx 24yx yx 有相同的奇偶性 所以 是奇数或 4 的倍数 不可能等于yx 2 假设不成立 所以 k 4Mk 3 设 则Zbayxqyxp 22 22bayxpq 2ba a 22 因为 yxZyx 2 利用子集的定义证明集合相等 先证 再证 则 A B BA 例 2 设 A B 是两个集合 又设集合 M 满足 求集合 M 用 A B 表示 M 解 先证 若 因为 所以 x 所以 xA BA 再证 若 则 1 若 则 BAx Ax 2 若 则 所以Mx M B 综上 BA 3 分类讨论思想的应用 例 3 若 02 01 023 222 mxCaxx 求CAB ma 解 依题设 再由 解得 或 2 1 012 ax1 ax 因为 所以 所以 所以 或 2 所以 或 3 B A 因为 所以 若 则 即 CA C82 m2 m 若 则 或 解得 12 3 综上所述 或 或 a3m2 4 计数原理的应用 例 4 集合 A B C 是 I 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 的子集 1 若 IBA 求有序集合对 A B 的个数 2 求 I 的非空真子集的个数 解 1 集合 I 可划分为三个不相交的子集 A B B A 中的每个元素恰属于I 其中一个子集 10 个元素共有 310 种可能 每一种可能确定一个满足条件的集合对 所以 集合对有 310 个 2 I 的子集分三类 空集 非空真子集 集合 I 本身 确定一个子集分十步 第一步 1 或者属于该子集或者不属于 有两种 第二步 2 也有两种 第 10 步 0 也有两种 由乘法原理 子集共有 个 非空真子集有 1022 个 1024 5 配对方法 例 5 给定集合 的 个子集 满足任何两个子集的交集非 3 nI kkA 21 空 并且再添加 I 的任何一个其他子集后将不再具有该性质 求 的值 解 将 I 的子集作如下配对 每个子集和它的补集为一对 共得 对 每一对不能同12 n 在这 个子集中 因此 其次 每一对中必有一个在这 个子集中出现 否则 k12 nk k 若有一对子集未出现 设为 C1A 与 A 并设 则 从而可以在 1 AC1 个子集中再添加 与已知矛盾 所以 综上 k1 2 nk2 nk 6 竞赛常用方法与例问题 定理 4 容斥原理 用 表示集合 A 的元素个数 则 BB 需要 xy 此结论可CACBCAB 以推广到 个集合的情况 即n i kjiji nkjijii AAA111 1 niA 定义 8 集合的划分 若 且 IAn 21 1 jinjiAji 则这些子集的全集叫 I 的一个 划分 定理 5 最小数原理 自然数集的任何非空子集必有最小数 定理 6 抽屉原理 将 个元素放入 个抽屉 必有一个抽屉放有不少于 mn 1 个元素 也必有一个抽屉放有不多于 个元素 将无穷多个元素放入 个抽屉必有1 mmn 一个抽屉放有无穷多个元素 例 6 求 1 2 3 100 中不能被 2 3 5 整除的数的个数 解 记 22 10 10 xxxAI 记 为整 除能 被且 由容斥原理 CxxB 3102CBACBBA 所以不能被 2 3 5 整除的数有743015106510 个 2 CBAI 例 7 S 是集合 1 2 2004 的子集 S 中的任意两个数的差不等于 4 或 7 问 S 中最 多含有多少个元素 解 将任意连续的 11 个整数排成一圈如右图所示 由题目条件可知每相邻两个数至多有 一个属于 S 将这 11 个数按连续两个为一组 分成 6 组 其中一组只有一个数 若 S 含有 这 11 个数中至少 6 个 则必有两个数在同一组 与已知矛盾 所以 S 至多含有其中 5 个 数 又因为 2004 182 11 2 所以 S 一共至多含有 182 5 2 912 个元素 另一方面 当 时 恰有 且 S 满足题目条 204 174 1 Nkrtkr 912 件 所以最少含有 912 个元素 例 8 求所有自然数 使得存在实数 满足 nna 21 21 1 njiaji 解 当 时 当 时 当 时 0a3 3 1 021 4n 下证当 时 不存在 满足条件 5 2 0431 5 nna 令 则na 2 所以必存在某两个下标 使得 所以 或ji 1 njia11 nnn 即 所以 或 21nn 1 n 2 a 12 a 若 考虑 有 或 1 2 1 nna2n2 nna2an 即 设 则 导致矛盾 故只有2 na1 a 2 考虑 有 或 即 设 则3n2 3nn 3 nn 推出矛盾 设 则 又推出矛0221a 21an 盾 所以 故当 时 不存在满足条件的实数 4 an5 若 考虑 有 或 即12 2 na1 nna3n 这时 推出矛盾 故 考虑 有3 a23 21 或 即 3 于是 矛盾 因此2nn na3 13 n 所以 这又矛盾 所以只有 所以2 1221a 2a 故当 时 不存在满足条件的实数 4 5 例 9 设 A 1 2 3 4 5 6 B 7 8 9 n 在 A 中取三个数 B 中取两个 数组成五个元素的集合 求 的最小值 i 0 2 0 jiAji n 解 16min 设 B 中每个数在所有 中最多重复出现 次 则必有 若不然 数 出现 次 iAk4kmk 则 在 出现的所有 中 至少有一个 A 中的数出现 3 次 不妨设它是4 k 23ki 1 就有集合 1 其中 11 ba 1 365243 babma 61 iAai 为满足题意的集合 必各不相同 但只能是 2 3 4 5 6 这 5 个数 这不可能 所以i 4 k 20 个 中 B 中的数有 40 个 因此至少是 10 个不同的 所以 当 时 如iA 16 n 下 20 个集合满足要求 1 2 3 7 8 1 2 4 12 14 1 2 5 15 16 1 2 6 9 10 1 3 4 10 11 1 3 5 13 14 1 3 6 12 15 1 4 5 7 9 1 4 6 13 16 1 5 6 8 11 2 3 4 13 15 2 3 5 9 11 2 3 6 14 16 2 4 5 8 10 2 4 6 7 11 2 5 6 12 13 3 4 5 12 16 3 4 6 8 9 3 5 6 7 10 4 5 6 14 15 例 10 集合 1 2 3n 可以划分成 个互不相交的三元集合 其中 n zyxzyx3 求满足条件的最小正整数 解 设其中第 个三元集为 则 1 2 i 2 1 nizyxi niiz1 43 所以 当 为偶数时 有 所以 当 为奇数时 有 nizn142 3 388 所以 当 时 集合 1 11 4 2 13 5 3 15 6 185 9 12 7 10 14 8 满足条件 所以 的最小值为 5 n 第二章 二次函数与命题 一 基础知识 1 二次函数 当 0 时 y ax 2 bx c 或 f x ax2 bx c 称为关于 x 的二次函数 其对称轴 a 为直线 x 另外配方可得 f x a x x0 2 f x0 其中 x0 下同 b2 ab 2 二次函数的性质 当 a 0 时 f x 的图象开口向上 在区间 x 0 上随自变量 x 增大 函数值减小 简称递减 在 x 0 上随自变量增大函数值增大 简称递增 当 a0 时 方程 f x 0 即 ax2 bx c 0 和不等式 ax2 bx c 0 及 ax2 bx c0 时 方程 有两个不等实根 设 x1 x2 x1 x2 不等式 和不等式 的解集分别 是 x xx2 和 x x 1 x x2 二次函数 f x 图象与 x 轴有两个不同的交点 f x 还可写成 f x a x x1 x x2 2 当 0 时 方程 有两个相等的实根 x1 x2 x0 不等式 和不等式 的解集分别ab 是 x x 和空集 f x 的图象与 x 轴有唯一公共点 b 3 当 0 时 方程 无解 不等式 和不等式 的解集分别是 R 和 f x 图象与 x 轴无 公共点 当 a0 当 x x0 时 f x 取最小值 f x0 若 a0 当 x0 m n 时 f x 在 m n 上的最小值为 f x0 当 x0n 时 f x 在 m n 上的最小值为 f n 以上结论由二次函数图象 即可得出 定义 1 能判断真假的语句叫命题 如 3 5 是命题 萝卜好大 不是命题 不含逻辑 联结词 或 且 非 的命题叫做简单命题 由简单命题与逻辑联结词构成的命题由 复合命题 注 1 p 或 q 复合命题只有当 p q 同为假命题时为假 否则为真命题 p 且 q 复合 命题只有当 p q 同时为真命题时为真 否则为假命题 p 与 非 p 即 p 恰好一真一假 定义 2 原命题 若 p 则 q p 为条件 q 为结论 逆命题 若 q 则 p 否命题 若非 p 则 q 逆否命题 若非 q 则非 p 注 2 原命题与其逆否命题同真假 一个命题的逆命题和否命题同真假 注 3 反证法的理论依据是矛盾的排中律 而未必是证明原命题的逆否命题 定义 3 如果命题 若 p 则 q 为真 则记为 p q 否则记作 p q 在命题 若 p 则 q 中 如果已知 p q 则 p 是 q 的充分条件 如果 q p 则称 p 是 q 的必要条件 如果 p q 但 q 不 p 则称 p 是 q 的充分非必要条件 如果 p 不 q 但 p q 则 p 称为 q 的必要 非充分条件 若 p q 且 q p 则 p 是 q 的充要条件 二 方法与例题 1 待定系数法 例 1 设方程 x2 x 1 0 的两根是 求满足 f f f 1 1 的二次函数 f x 解 设 f x ax2 bx c a 0 则由已知 f f 相减并整理得 a b 1 0 因为方程 x2 x 1 0 中 0 所以 所以 a b 1 0 又 1 所以 a b 1 0 又因为 f 1 a b c 1 所以 c 1 1 所以 c 2 又 b a 1 所以 f x ax2 a 1 x 2 再由 f 得 a 2 a 1 2 所以 a 2 a 2 1 所以 a 2 a 1 0 即 a 2 1 1 a 0 即 1 a 0 所以 a 1 所以 f x x2 2x 2 2 方程的思想 例 2 已知 f x ax2 c 满足 4 f 1 1 1 f 2 5 求 f 3 的取值范围 解 因为 4 f 1 a c 1 所以 1 f 1 c a 4 又 1 f 2 4 a c 5 f 3 f 2 f 1 385 所以 1 f 3 5 4 385 所以 1 f 3 20 3 利用二次函数的性质 例 3 已知二次函数 f x ax2 bx c a b c R a 0 若方程 f x x 无实根 求证 方程 f f x x 也无实根 证明 若 a 0 因为 f x x 无实根 所以二次函数 g x f x x 图象与 x 轴无公共点且开口 向上 所以对任意的 x R f x x 0 即 f x x 从而 f f x f x 所以 f f x x 所以方程 f f x x 无实根 注 请读者思考例 3 的逆命题是否正确 4 利用二次函数表达式解题 例 4 设二次函数 f x ax2 bx c a 0 方程 f x x 的两根 x1 x2 满足 0 x1 x2 a 当 x 0 x 1 时 求证 x f x x 1 设函数 f x 的图象关于 x x0 对称 求证 x 0 1 证明 因为 x1 x2 是方程 f x x 0 的两根 所以 f x x a x x1 x x2 即 f x a x x1 x x2 x 当 x 0 x 1 时 x x 1 0 x x20 所以 f x x 其次 f x x1 x x1 a x x2 1 a x x1 x x2 0 所以 f x x1 综上 x f x 1 求证 方程的正根比 1 小 负根比 1 大 证明 方程化为 2a2x2 2ax 1 a2 0 构造 f x 2a2x2 2ax 1 a2 f 1 a 1 2 0 f 1 a 1 2 0 f 0 1 a20 所以 f x 在区间 1 0 和 0 1 上各有一根 即方程的正根比 1 小 负根比 1 大 6 定义在区间上的二次函数的最值 例 6 当 x 取何值时 函数 y 取最小值 求出这个最小值 2 4 1 5 x 解 y 1 令 u 则 0 u 1 22 51 y 5u2 u 1 5 019 u 且当 即 x 3 时 y min 10 u 2019 例 7 设变量 x 满足 x2 bx x b 1 并且 x2 bx 的最小值是 求 b 的值 21 解 由 x2 bx x b b 1 即 b 2 时 x 2 bx 在 0 b 1 上是减函数 所以 x2 bx 的最小值为 b 1 b 1 b 13 综上 b 3 7 一元二次不等式问题的解法 例 8 已知不等式组 的整数解恰好有两个 求 a 的取值范围 120 2ax 解 因为方程 x2 x a a2 0 的两根为 x1 a x2 1 a 若 a 0 则 x1 x2 的解集为 a x1 2a 因为 1 2a 1 a 所以 a 0 所以不等式组无解 若 a 0 当 0 a 时 x1 x2 的解集为 a x 1 a 因为 0 a x 1 a 时 a 1 a 由 得 x 1 2a 所以不等式组的解集为 1 a x1 且 a 1 a 3 所以 1 a 2 并且当 1 a 2 时 不等式组恰有两个整数解 0 1 综上 a 的取值范围是 10 B A C 2 y z 2 4AC y z 2 0 恒成立 所以 B A C 2 4AC 0 即 A2 B2 C2 2 AB BC CA 同理有 B 0 C 0 所以必要性成立 再证充分性 若 A 0 B 0 C 0 且 A2 B2 C2 2 AB BC CA 1 若 A 0 则由 B2 C2 2BC 得 B C 2 0 所以 B C 所以 0 所以 成立 成立 2 若 A 0 则由 知 0 所以 成立 所以 成立 综上 充分性得证 9 常用结论 定理 1 若 a b R a b a b a b 证明 因为 a a a b b b 所以 a b a b a b 所以 a b a b 注 若 m 0 则 m x m 等价于 x m 又 a a b b a b b 即 a b a b 综上定理 1 得证 定理 2 若 a b R 则 a2 b2 2ab 若 x y R 则 x y 2 证略 注 定理 2 可以推广到 n 个正数的情况 在不等式证明一章中详细论证 第三章 函数 一 基础知识 定义 1 映射 对于任意两个集合 A B 依对应法则 f 若对 A 中的任意一个元素 x 在 B 中都有唯一一个元素与之对应 则称 f A B 为一个映射 定义 2 单射 若 f A B 是一个映射且对任意 x y A x y 都有 f x f y 则称之为单射 定义 3 满射 若 f A B 是映射且对任意 y B 都有一个 x A 使得 f x y 则称 f A B 是 A 到 B 上的满射 定义 4 一一映射 若 f A B 既是单射又是满射 则叫做一一映射 只有一一映射存在逆 映射 即从 B 到 A 由相反的对应法则 f 1 构成的映射 记作 f 1 A B 定义 5 函数 映射 f A B 中 若 A B 都是非空数集 则这个映射为函数 A 称为它的 定义域 若 x A y B 且 f x y 即 x 对应 B 中的 y 则 y 叫做 x 的象 x 叫 y 的原象 集合 f x x A 叫函数的值域 通常函数由解析式给出 此时函数定义域就是使解析式有 意义的未知数的取值范围 如函数 y 3 1 的定义域为 x x 0 x R 定义 6 反函数 若函数 f A B 通常记作 y f x 是一一映射 则它的逆映射 f 1 A B 叫原函数的反函数 通常写作 y f 1 x 这里求反函数的过程是 在解析式 y f x 中反解 x 得 x f 1 y 然后将 x y 互换得 y f 1 x 最后指出反函数的定义域即原函数的值域 例如 函数 y 的反函数是 y 1 x 0 11 定理 1 互为反函数的两个函数的图象关于直线 y x 对称 定理 2 在定义域上为增 减 函数的函数 其反函数必为增 减 函数 定义 7 函数的性质 1 单调性 设函数 f x 在区间 I 上满足对任意的 x1 x2 I 并且 x1 x2 总有 f x1 f x2 则称 f x 在区间 I 上是增 减 函数 区间 I 称为单调增 减 区间 2 奇偶性 设函数 y f x 的定义域为 D 且 D 是关于原点对称的数集 若对于任意的 x D 都有 f x f x 则称 f x 是奇函数 若对任意的 x D 都有 f x f x 则称 f x 是 偶函数 奇函数的图象关于原点对称 偶函数的图象关于 y 轴对称 3 周期性 对于函数 f x 如果存在一个不为零的常数 T 使得当 x 取定义域内每一个 数时 f x T f x 总成立 则称 f x 为周期函数 T 称为这个函数的周期 如果周期中存在 最小的正数 T0 则这个正数叫做函数 f x 的最小正周期 定义 8 如果实数 a b 则数集 x a x b x R 叫做开区间 记作 a b 集合 x a x b x R 记作闭区间 a b 集合 x a x b 记作半开半闭区间 a b 集合 x a x a 记作开区间 a 集合 x x a 记作半 开半闭区间 a 定义 9 函数的图象 点集 x y y f x x D 称为函数 y f x 的图象 其中 D 为 f x 的定义 域 通过画图不难得出函数 y f x 的图象与其他函数图象之间的关系 a b 0 1 向右平 移 a 个单位得到 y f x a 的图象 2 向左平移 a 个单位得到 y f x a 的图象 3 向下 平移 b 个单位得到 y f x b 的图象 4 与函数 y f x 的图象关于 y 轴对称 5 与函 数 y f x 的图象关于原点成中心对称 6 与函数 y f 1 x 的图象关于直线 y x 对称 7 与函数 y f x 的图象关于 x 轴对称 定理 3 复合函数 y f g x 的单调性 记住四个字 同增异减 例如 y u 2 x 在 21 2 上是减函数 y 在 0 上是减函数 所以 y 在 2 上是增函u1x 数 注 复合函数单调性的判断方法为同增异减 这里不做严格论证 求导之后是显然的 二 方法与例题 1 数形结合法 例 1 求方程 x 1 的正根的个数 1 解 分别画出 y x 1 和 y 的图象 由图象可知两者有 唯一交点 所以方程有一个正根 例 2 求函数 f x 的最11362424 xx 大值 解 f x 记点 P x x 2 A 3 2 2222 0 B 0 1 则 f x 表示动点 P 到点 A 和 B 距离的差 因为 PA PA AB 当且仅当 P 为 AB 延长线与抛物线 y x2 的交点10 2 3 时等号成立 所以 f x max 10 x y x 1 1 x 2 函数性质的应用 例 3 设 x y R 且满足 求 x y 1 197 3 2yyxx 解 设 f t t3 1997t 先证 f t 在 上递增 事实上 若 a0 所以 f t 递增 由题设 f x 1 1 f 1 y 所以 x 1 1 y 所以 x y 2 例 4 奇函数 f x 在定义域 1 1 内是减函数 又 f 1 a f 1 a2 0 求 a 的取值范围 解 因为 f x 是奇函数 所以 f 1 a2 f a2 1 由题设 f 1 a f a2 1 又 f x 在定义域 1 1 上递减 所以 1 1 a a 2 1 1 解得 0 a 1 例 5 设 f x 是定义在 上以 2 为周期的函数 对 k Z 用 Ik 表示区间 2k 1 2k 1 已知当 x I 0 时 f x x2 求 f x 在 Ik 上的解析式 解 设 x I k 则 2k 10 则由 得 n 0 设 f t t 1 则 f t 在 0 上是增函数 又 f m 42 f n 所以 m n 所以 3x 1 2x 3 0 所以 x 5 若 m0 同理有 m n 0 x 但与 m 0 矛盾 综上 方程有唯一实数解 x 54 3 配方法 例 7 求函数 y x 的值域 12 解 y x 2x 1 2 1 112 1 1 1 212 当 x 时 y 取最小值 所以函数值域是 12 4 换元法 例 8 求函数 y 2 1 x 0 1 的值域 x 解 令 u 因为 x 0 1 所以 2 u 2 2 2 4 所以 u 2 1 21x 所以 2 1 2 所以 y u2 2 8 2 uu u 所以该函数值域为 2 8 5 判别式法 例 9 求函数 y 的值域 432 x 解 由函数解析式得 y 1 x2 3 y 1 x 4y 4 0 当 y 1 时 式是关于 x 的方程有实根 所以 9 y 1 2 16 y 1 2 0 解得 y 1 71 又当 y 1 时 存在 x 0 使解析式成立 所以函数值域为 7 7 6 关于反函数 例 10 若函数 y f x 定义域 值域均为 R 且存在反函数 若 f x 在 上递增 求证 y f 1 x 在 上也是增函数 证明 设 x1 x2 且 y1 f 1 x1 y2 f 1 x2 则 x1 f y1 x2 f y2 若 y1 y 2 则因为 f x 在 上递增 所以 x1 x 2 与假设矛盾 所以 y1 y2 即 y f 1 x 在 递增 例 11 设函数 f x 解方程 f x f 1 x 43 解 首先 f x 定义域为 其次 设 x1 x2 是定义域内变量 3241 且 x1 x20 3142 2 512 x 所以 f x 在 上递增 同理 f x 在 上递增 4 在方程 f x f 1 x 中 记 f x f 1 x y 则 y 0 又由 f 1 x y 得 f y x 所以 x 0 所以 x y 41 若 x y 设 x y 则 f x yy 也可得出矛盾 所以 x y 即 f x x 化简得 3x5 2x4 4x 1 0 即 x 1 3x 4 5x3 5x2 5x 1 0 因为 x 0 所以 3x4 5x3 5x2 5x 1 0 所以 x 1 第四章 几个初等函数的性质 一 基础知识 1 指数函数及其性质 形如 y ax a 0 a 1 的函数叫做指数函数 其定义域为 R 值域为 0 当 0 a1 时 y a x 为增函数 它的图象恒过定点 0 1 2 分数指数幂 nmnnmn 1 1 3 对数函数及其性质 形如 y logax a 0 a 1 的函数叫做对数函数 其定义域为 0 值域为 R 图象过定点 1 0 当 0 a1 时 y logax 为增函数 4 对数的性质 M 0 N 0 1 a x M x logaM a 0 a 1 2 log a MN loga M loga N 3 log a log a M loga N 4 log a Mn n loga M M 5 log a loga M 6 a loga M M 7 loga b a b c 0 a c 1 n1clog 5 函数 y x a 0 的单调递增区间是 和 单调递减区间为 和 请读者自己用定义证明 0 6 连续函数的性质 若 a b f x 在 a b 上连续 且 f a f b 0 证明 设 f x b c x bc 1 x 1 1 则 f x 是关于 x 的一次函数 所以要证原不等式成立 只需证 f 1 0 且 f 1 0 因为 1 a0 f 1 b c bc a 1 b 1 c 0 所以 f a 0 即 ab bc ca 1 0 例 2 柯西不等式 若 a1 a2 an 是不全为 0 的实数 b 1 b2 bn R 则 2 等号当且仅当存在 R 使 ai i 1 2 n ni1 ni12 ii1 时成立 证明 令 f x x 2 2 x nia1 niib1 ni12 iiibx2 因为 0 且对任意 x R f x 0 nia12 所以 4 4 0 niib1 nia12 nib12 展开得 2 nia12 nib12 niia1 等号成立等价于 f x 0 有实根 即存在 使 ai i 1 2 n b 例 3 设 x y R x y c c 为常数且 c 0 2 求 u 的最小值 yx1 解 u xy xy 2 1xy1 xy 2 xy1 令 xy t 则 0 t xy 设 f t t 0 t 4 2cyx 1 42c 因为 0 c 2 所以 00 所以 5 例 5 对于正整数 a b c a b c 和实数 x y z w 若 ax by cz 70w 且 wzyx1 求证 a b c 证明 由 ax by cz 70w 取常用对数得 xlga ylgb zlgc wlg70 所以 lga lg70 lgb lg70 lgc lg70 w111z 相加得 lga lgb lgc lg70 由题设 yx wzyx1 所以 lga lgb lgc lg70 所以 lgabc lg70 所以 abc 70 2 5 7 若 a 1 则因为 xlga wlg70 所以 w 0 与题设矛盾 所以 a 1 又 a b c 且 a b c 为 70 的正约数 所以只有 a 2 b 5 c 7 所以 a b c 例 6 已知 x 1 ac 1 a 1 c 1 且 logax logcx 2logbx 求证 c2 ac logab 证明 由题设 logax logcx 2logbx 化为以 a 为底的对数 得 caaalog2llog 因为 ac 0 ac 1 所以 logab logacc2 所以 c2 ac logab 注 指数与对数式互化 取对数 换元 换底公式往往是解题的桥梁 3 指数与对数方程的解法 解此类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解 值得注意的是函数单 调性的应用和未知数范围的讨论 例 7 解方程 3 x 4 x 5 x 6 x 解 方程可化为 1 设 f x 则 f x 在 x 65321 xx 65321 上是减函数 因为 f 3 1 所以方程只有一个解 x 3 例 8 解方程组 其中 x y R 3 12yx 解 两边取对数 则原方程组可化为 3lg l12 xy 把 代入 得 x y 2lgx 36lgx 所以 x y 2 36 lgx 0 由 lgx 0 得 x 1 由 x y 2 36 0 x y R 得 x y 6 代入 得 lgx 2lgy 即 x y2 所以 y2 y 6 0 又 y 0 所以 y 2 x 4 所以方程组的解为 4 12 例 9 已知 a 0 a 1 试求使方程 loga x ak loga2 x2 a2 有解的 k 的取值范围 解 由对数性质知 原方程的解 x 应满足 0 22akx 若 同时成立 则 必成立 故只需解 0 22akx 由 可得 2kx a 1 k2 当 k 0 时 无解 当 k 0 时 的解是 x 代入 得 k ka2 1 21 若 k1 所以 k0 则 k2 1 所以 0 k1 时 a n Sn Sn 1 定义 2 等差数列 如果对任意的正整数 n 都有 an 1 an d 常数 则 a n 称为等差数列 d 叫做公差 若三个数 a b c 成等差数列 即 2b a c 则称 b 为 a 和 c 的等差中项 若公 差为 d 则 a b d c b d 定理 2 等差数列的性质 1 通项公式 an a1 n 1 d 2 前 n 项和公式 S n 3 a n am n m d 其中 n m 为正整数 4 若dnnn2 1 1 n m p q 则 an am ap aq 5 对任意正整数 p q 恒有 ap aq p q a2 a1 6 若 A B 至 少有一个不为零 则 a n 是等差数列的充要条件是 Sn An2 Bn 定义 3 等比数列 若对任意的正整数 n 都有 则 a n 称为等比数列 q 叫做公n 1 比 定理 3 等比数列的性质 1 a n a1qn 1 2 前 n 项和 Sn 当 q 1 时 S n qa n 1 当 q 1 时 S n na1 3 如果 a b c 成等比数列 即 b2 ac b 0 则 b 叫做 a c 的等比中 项 4 若 m n p q 则 aman apaq 定义 4 极限 给定数列 a n 和实数 A 若对任意的 0 存在 M 对任意的 n M n N 都有 a n A 则称 A 为 n 时数列 a n 的极限 记作 limAan 定义 5 无穷递缩等比数列 若等比数列 a n 的公比 q 满足 q 1 则称之为无穷递增等比数 列 其前 n 项和 Sn 的极限 即其所有项的和 为 由极限的定义可得 qa 1 定理 3 第一数学归纳法 给定命题 p n 若 1 p n 0 成立 2 当 p n 时 n k 成立 时能推出 p n 对 n k 1 成立 则由 1 2 可得命题 p n 对一切自然数 n n 0 成立 竞赛常用定理 定理 4 第二数学归纳法 给定命题 p n 若 1 p n 0 成立 2 当 p n 对一切 n k 的自然数 n 都成立时 k n 0 可推出 p k 1 成立 则由 1 2 可得命题 p n 对一切自 然数 n n 0 成立 定理 5 对于齐次二阶线性递归数列 xn axn 1 bxn 2 设它的特征方程 x2 ax b 的两个根为 1 若 则 xn c1an 1 c2 n 1 其中 c1 c2 由初始条件 x1 x2 的值确定 2 若 则 xn c1n c2 n 1 其中 c1 c2 的值由 x1 x2 的值确定 二 方法与例题 1 不完全归纳法 这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律 当然结论未必都是正确的 但却是人类 探索未知世界的普遍方式 通常解题方式为 特殊 猜想 数学归纳法证明 例 1 试给出以下几个数列的通项 不要求证明 1 0 3 8 15 24 35 2 1 5 19 65 3 1 0 3 8 15 解 1 a n n2 1 2 a n 3n 2n 3 a n n2 2n 例 2 已知数列 a n 满足 a1 a1 a2 an n2an n 1 求通项 an 解 因为 a1 又 a1 a2 22 a2 所以 a2 a 3 猜想 n 1 42 1 n 证明 1 当 n 1 时 a 1 猜想正确 2 假设当 n k 时猜想成立 当 n k 1 时 由归纳假设及题设 a 1 a1 a1 k 1 2 1 ak 1 所以 k k 2 ak 1 23 即 k k 2 ak 1 11 所以 k k 2 ak 1 所以 ak 1 2 由数学归纳法可得猜想成立 所以 1 n 例 3 设 0 a1 证明 证明更强的结论 1 a n 1 a 1 当 n 1 时 1 a1 1 a 式成立 2 假设 n k 时 式成立 即 1an 又由 an 1 5an 移项 平方得n 002121 当 n 2 时 把 式中的 n 换成 n 1 得 即0110212 nnaa 211 naa 因为 an 1 an 1 所以 式和 式说明 an 1 an 1 是方程 x2 10anx 1 0 的两个不等根 由韦2 达定理得 an 1 an 1 10an n 2 再由 a1 0 a2 1 及 式可知 当 n N 时 a n 都是整数 3 数列求和法 数列求和法主要有倒写相加 裂项求和法 错项相消法等 例 6 已知 an n 1 2 求 S99 a1 a2 a99 1024 解 因为 an a100 n 10104 n 1010102 4 4 nn 所以 S99 29 2110 910 nn 例 7 求和 43n 2 n 解 一般地 12 1 kk 12k 所以 Sn k1 2 2 1 4312 nn 1n 2 4 例 8 已知数列 a n 满足 a1 a2 1 a n 2 an 1 an Sn 为数列 的前 n 项和 求证 S n 2 na2 证明 由递推公式可知 数列 a n 前几项为 1 1 2 3 5 8 13 因为 nnS82532164 所以 15432 nn a 由 得 122211 nnnS 所以 12412 nnaS 又因为 Sn 20 1 所以 Sn 所以 421 n 21 n 所以 Sn0 21 x 由 可知对任意 n N 0 且 2 nx 2lg2lg1nnxx 所以 是首项为 公比为 2 的等比数列 2lgnx l 所以 所以 1l nn 2lg nx12 n 解得 2x 1122 nn 注 本例解法是借助于不动点 具有普遍意义 第六章 三角函数 一 基础知识 定义 1 角 一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角 若旋转方向为逆时针方向 则角为正角 若旋转方向为顺时针方向 则角为负角 若不旋转则为零角 角的大小是任 意的 定义 2 角度制 把一周角 360 等分 每一等价为一度 弧度制 把等于半径长的圆弧所 对的圆心角叫做一弧度 360 度 2 弧度 若圆心角的弧长为 L 则其弧度数的绝对值 其中 r 是圆的半径 L 定义 3 三角函数 在直角坐标平面内 把角 的顶点放在原点 始边与 x 轴的正半轴重 合 在角的终边上任意取一个不同于原点的点 P 设它的坐标为 x y 到原点的距离为 r 则正弦函数 sin 余弦函数 cos 正切函数 tan 余切函数 cot 正割函ryr y 数 sec 余割函数 csc x y 定理 1 同角三角函数的基本关系式 倒数关系 tan sin cos cot1c 商数关系 tan 乘积关系 sec sincot cosin tan cos sin cot sin cos 平方关系 sin 2 cos 2 1 tan 2 1 se c2 cot2 1 csc2 定理 2 诱导公式 sin sin co s cos tan tan cot cot sin sin cos co s tan tan cot cot sin sin cos cos tan tan cot cot sin cos 2 cos sin tan cot 奇变偶不变 符号看象限 2 2 定理 3 正弦函数的性质 根据图象可得 y sinx x R 的性质如下 单调区间 在区间 上为增函数 在区间 上为减函数 最小正周 k 23 2k 期为 2 奇偶数 有界性 当且仅当 x 2kx 时 y 取最大值 1 当且仅当 x 3k 时 2 y 取最小值 1 对称性 直线 x k 均为其对称轴 点 k 0 均为其对称中心 值 2 域为 1 1 这里 k Z 定理 4 余弦函数的性质 根据图象可得 y cosx x R 的性质 单调区间 在区间 2k 2k 上单调递减 在区间 2k 2k 上单调递增 最小正周期为 2 奇偶性 偶函数 对称性 直线 x k 均为其对称轴 点 均为其对称中心 有界性 当且仅当 0 2 k x 2k 时 y 取最大值 1 当且仅当 x 2k 时 y 取最小值 1 值域为 1 1 这里 k Z 定理 5 正切函数的性质 由图象知奇函数 y tanx x k 在开区间 k k 上为增 2 函数 最小正周期为 值域为 点 k 0 k 0 均为其对称中心 2 定理 6 两角和与差的基本关系式 cos co s co s sin sin sin sin cos cos sin tan tan1 t 定理 7 和差化积与积化和差公式 sin sin 2s in cos sin sin 2sin cos 2 2 cos cos 2cos cos cos cos 2sin sin 22 sin co s sin s in cos sin sin s in 2121 cos cos cos cos s in sin cos cos 定理 8 倍角公式 sin2 2sin cos cos2 cos 2 s in2 2cos 2 1 1 2sin 2 tan2 tan1 2 定理 9 半角公式 sin cos 2 co1 2 cos1 tan 2 cos1 sin c i 定理 10 万能公式 2tan1si 2tan1os2 2tan1t 定理 11 辅助角公式 如果 a b 是实数且 a2 b2 0 则取始边在 x 轴正半轴 终边经过点 a b 的一个角为 则 sin cos 对任意的角 2 2 asin bcos sin 2ba 定理 12 正弦定理 在任意 ABC 中有 其中 a b c 分别是RCcBbAa2sinisin 角 A B C 的对边 R 为 ABC 外接圆半径 定理 13 余弦定理 在任意 ABC 中有 a2 b2 c2 2bcosA 其中 a b c 分别是角 A B C 的 对边 定理 14 图象之间的关系 y sinx 的图象经上下平移得 y sinx k 的图象 经左右平移得 y sin x 的图象 相位变换 纵坐标不变 横坐标变为原来的 得到 y sin 1x 的图象 周期变换 横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 得到 y Asinx 的图象0 振幅变换 y Asin x 0 的图象 周期变换 横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 倍 得到 y Asinx 的图象 振幅变换 y Asin x 0 A 叫作振幅 的图象向 右平移 个单位得到 y Asin x 的图象 定义 4 函数 y sinx 的反函数叫反正弦函数 记作 y arcsinx x 1 1 2 函数 y cosx x 0 的反函数叫反余弦函数 记作 y arccosx x 1 1 函数 y tanx 的反函数叫反正切函数 记作 y arctanx x y cosx x 0 的 2 反函数称为反余切函数 记作 y arccotx x 定理 15 三角方程的解集 如果 a 1 1 方程 sinx a 的解集是 x x n 1 narcsina n Z 方程 cosx a 的解集是 x x 2kx arccosa k Z 如果 a R 方程 tanx a 的解集是 x x k arctana k Z 恒等式 arcsina arccosa arctana ar ccota 2 2 定理 16 若 则 sinx x 1 所以 cos 2 0 2 x 所以 sin cosx 0 又 00 所以 cos sinx sin cosx 若 则因为 sinx cosx sinxcos sin cosx 2 0 2cossin2 x4 sin x 24 2 所以 0 sinx cosxcos cosx sin cosx 2 综上 当 x 0 时 总有 cos sinx 0 求证 2 2sincosi xx 证明 若 则 x 0 由 0 得 cos cos sin 2 2 所以 0 sin cos 所以 0 1 sinco inco 所以 2sisincoii 00 xx 若 则 x 0 由 0 cos sin 0 2 2 所以 1 又 0 sin 1 sinco inco 所以 得证 2sisincosici 00 xx 注 以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式 值得注意的是角的讨论 3 最小正周期的确定 例 4 求函数 y sin 2cos x 的最小正周期 解 首先 T 2 是函数的周期 事实上 因为 cos x cosx 所以 co x cosx 其次 当且仅当 x k 时 y 0 因为 2co sx 2 2 所以若最小正周期为 T0 则 T0 m m N 又 sin 2cos0 sin2 sin 2cos 所以 T0 2 4 三角最值问题 例 5 已知函数 y sinx 求函数的最大值与最小值 x2cos1 解法一 令 sinx 430sin2 则有 y 4sin 2ico2 因为 所以 430 所以 1 4sin 0 所以当 即 x 2k k Z 时 y min 0 3 2 当 即 x 2k k Z 时 y max 2 4 解法二 因为 y sinx cos1 sin2co12xx 2 因为 a b 2 2 a 2 b2 且 sinx 1 所以 0 sinx 2 xcs 所以当 sinx 即 x 2k k Z 时 y max 2 2o 2 当 sinx 即 x 2k k Z 时 y min 0 xcs 例 6 设 0 求 sin 的最大值 cos1 解 因为 0 0 cos 0 20 2 所以 sin 1 cos 2sin cos2 2 coin2 3223coin 934716 当且仅当 2sin2 cos2 即 tan 时 sin 1 cos 取得最大值 2 934 例 7 若 A B C 为 ABC 三个内角 试求 sinA sinB sinC 的最大值 解 因为 sinA sinB 2sin cos BA 2inBA sinC sin 3i23co2in3 C 又因为 3sin24cos4sinsii CBABACBA 由 得 sinA sinB sinC sin 4sin 3 所以 sinA sinB sinC 3s in 2 当 A B C 时 s inA sinB sinC max 3 23 注 三角函数的有界性 sinx 1 cosx 1 和差化积与积化和差公式 均值不等式 柯 西不等式 函数的单调性等是解三角最值的常用手段 5 换元法的使用 例 8 求 的值域 xycosin1 解 设 t sinx cosx 4sin 2coin2 xx 因为 1 4in 1 所以 2t 又因为 t2 1 2sinxcosx 所以 sinxcosx 所以 1 t 21 2 txy 所以 22 因为 t 1 所以 所以 y 1 1 t 所以函数值域为 21 2 y 例 9 已知 a0 1 an n N 求证 a n 1 n 2 证明 由题设 an 0 令 an tanan an 则 2 0 an tantsico1tasect11 112 nnn 因为 a n 所以 an 所以 an 21 2 0 2 20 又因为 a0 tana1 1 所以 a0 所以 4n 14 又因为当 0 xx 所以2 2tan n 注 换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性 另外当 x 时 有 tanx x sinx 这是个熟知的结论 暂时不证明