第四章-向量的内积与二次型(华农线代)

第四章 向量的内积与二次型4.1 向量的内积4.1.1向量的内积与模定义4.1 设有n维向量，称+为与的内积，记为,即,=+=.内积是向量的一种运算，可用矩阵记号表示，当与都是列向量时，有,=T.向量的内积满足下列运算规律（其中，都为n维向量，为实数）：（1）,=，；（2）,=,；（3）+，=,+,.定义4.2 数称为向量=（）T的模（或长度），记为，即=.当=1时，称为单位向量.当向量0时， 是单位向量.=1注意：式 给出了求向量的单位向量的方法.关于内积和模的关系，有如下重要的定理：定理4.1 对任意n维向量和，恒有|,|.向量的模具有下述性质：（1） 非负性：当0时，0；当=0，=0.（2） 齐次性：=.（3） 三角不等式：+.4.1.2 两个向量的夹角和距离定义4.3 当0时，=arccos称为n维向量与的夹角，其中0.这时有.定义4.4 规定n维向量=（）T与=（）T的距离为=根据定义4.4，n维向量的模就是与零向量的距离。根据n维向量的三角不等式，恒有+，于是+4.2 正交向量组与正交矩阵4.2.1 正交向量组定义4.5 如果n维向量与的内积=0，则称与正交若一个向量组中每一个向量均不为零，且任意两个向量都正交，则该向量组称为正交向量组.定理4.2 若n维向量组1，2，r是正交向量组，则1，2，r线性无关.在一个正交向量组中，如果每个向量都是单位向量，则称这个向量组为标准正交向量组.定理4.3 设n维向量组1，2，m线性无关，令：，则，是正交向量组，且与1，2，m等价.如果令 （i=1,2，,m）,则1，2，m是与1，2，m等价的标准正交向量组上述定理4.3从线性无关组1，2，m导出正交向量组，的过程称为施密特正交化过程，此方法称为施密特正交化方法.它不仅满足，与1，2，m等价，还满足：对任何k（1），向量组，与1，2，k等价.通常将，转化为到的过程称为向量的单位化.4.2.2 正交矩阵与正交变换定义4.6 如果n阶方阵A满足ATA=I,则称A为正交矩阵.由定义4.6可得：正交矩阵A可逆，且A-1=AT.定理4.4 方阵A是正交矩阵的充分必要条件是A的列（行）向量是标准正交向量组.定义4.7 设，则等价于上述称为线性变换；若为可逆矩阵，则为可逆线性变换；若为正交矩阵，则线性变换称为正交变换。定理4.5 正交变换不改变向量的内积，从而不改变向量的模、夹角和距离。4.3 实对称矩阵定义4.8 若n阶方阵A=（）满足：,则A称为对称矩阵；若为实数，则A称为实对称矩阵.定理4.6 实对称矩阵的特征值为实数.定理4.7 设，是实对称矩阵A的两个特征值，是对应的特征向量，若，则与正交.定理4.8 若是实对称矩阵A的k重特征值，则存在k个对应于的线性无关特征向量.定理4.9 设为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵，使其中，是的特征值.PS:（1） 在实对称矩阵中，不同特征值根对应的特征向量正交，故只需对重根所对应的特征向量进行施密特正交化.（2） 任意实对称矩阵都可以用正交变换方法化为对角矩阵4.4 二次型4.4.1 二次型及其矩阵表示平面二次函数中，其左端函数满足，这样函数称为二次齐次函数.定义4.9 含有n个自变量的二次齐次函数称为二次型.当为复数时，称为复二次型；当为实数时，称为实二次型.规定，则有2=，于是=+=记A=(),则上面的二次型可以记作：由于，所以是实对称矩阵.容易看出，A的对角元素是中项的系数，而非对角元素是交叉项系数的一半.实二次型与实对称矩阵一一对应(即互相唯一确定).这里，对称矩阵称为二次型的矩阵，也把称为对称矩阵的二次型；矩阵的秩定义为二次型的秩.Tips：设为阶方阵，则二次型的矩阵.4.4.2 二次型的标准型定义4.11 二次型经过线性变换后所得到的平方和称为这个二次型的一个标准型.其对应的矩阵是对角矩阵：对于一般的二次型，主要问题是：寻求可逆的线性变换或正交变换，使二次型变成标准型。设可逆的线性变换，则其中定义4.11 设A，B为n阶方阵，如果存在n阶可逆矩阵C,使得，则称矩阵A与B合同，称矩阵C为合同变换矩阵.定义表明，若A与B合同，则A与B等价，反之不然。定理4.10 对应任意可逆矩阵C，令，如果A为对称矩阵，则B亦为对称矩阵，且R(A)=R(B).二次型经过不同的可逆线性变换后所得到的标准形是不同的，但可以证明其正平方项与负平方项的项数是不变的.标准形中平方项的项数称为二次型的惯性指标；正平方项的项数称为二次型f的正惯性指标，记为p;负平方项的项数称为二次型f的负惯性指标，记为q.显然，R(A)=p+q.定理4.11 任给二次型，总有正交变换使变为标准形其中为A的全部特征值.4.4.3 正定二次型定义4.12 设有实二次型，如果对任何x0,都有0,则称为正定二次型，对称矩阵A称为正定矩阵；如果对任何x0,都有0,则称为负定二次型，对称矩阵A称为负定矩阵. 如果对任何x,都有0,则称为半正定二次型，对称矩阵A称为半正定矩阵.定理4.12 实二次型正定的充分必要条件是：它的标准形的n个平方项系数全为正.定理4.13 若A是n阶实对称矩阵，则下列命题等价：（1）是正定二次型（或A是正定矩阵）；（2）A的正惯性指标为n；（3）存在可逆阵P，使得；（4）A的n个特征值全大于零。定理4.14 （1） 对称矩阵正定的充分必要条件是A的各阶顺序主子式都为正，即（2） 对称矩阵A负定的充分必要条件是：奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子式为正，即这个定理称为霍尔维茨定理。声明：由于学识有限，纰漏在所难免，望阅读者带着求真的态度阅读版本：中国农业出版社 魏福义 主编 线性代数真真