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习题1-8 1. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形: (1); 解 已知多项式函数是连续函数, 所以函数f(x)在0, 1)和(1, 2内是连续的. 在x=1处, 因为f(1)=1, 并且 , . 所以, 从而函数f(x)在x=1处是连续的. 综上所述，函数f(x)在0, 2上是连续函数. (2). 解 只需考察函数在x=-1和x=1处的连续性. 在x=-1处, 因为f(-1)=-1, 并且 , , 所以函数在x=-1处间断, 但右连续. 在x=1处, 因为f(1)=1, 并且 =f(1), =f(1), 所以函数在x=1处连续. 综合上述讨论, 函数在(-, -1)和(-1, +)内连续, 在x=-1处间断, 但右连续. 2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续: (1), x=1, x=2; 解 . 因为函数在x=2和x=1处无定义, 所以x=2和x=1是函数的间断点. 因为, 所以x=2是函数的第二类间断点; 因为, 所以x=1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x=1处, 令y=-2, 则函数在x=1处成为连续的. (2), x=k, (k=0, 1, 2, ); 解 函数在点x=kp(kZ)和(kZ)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点. 因(k0), 故x=kp(k0)是第二类间断点; 因为, (kZ), 所以x=0和(kZ) 是第一类间断点且是可去间断点. 令y|x=0=1, 则函数在x=0处成为连续的; 令时, y=0, 则函数在处成为连续的. (3), x=0; 解 因为函数在x=0处无定义, 所以x=0是函数的间断点. 又因为不存在, 所以x=0是函数的第二类间断点. (4), x =1. 解 因为. , 所以x=1是函数的第一类不可去间断点. 3. 讨论函数的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 解 . 在分段点x=-1处, 因为, , 所以x=-1为函数的第一类不可去间断点. 在分段点x=1处, 因为, , 所以x=1为函数的第一类不可去间断点. 4. 证明: 若函数f(x)在点x0连续且f(x0)0, 则存在x0的某一邻域U(x0), 当xU(x0)时, f(x)0. 证明 不妨设f(x0)0. 因为f(x)在x0连续, 所以, 由极限的局部保号性定理, 存在x0的某一去心邻域, 使当x时f(x)0, 从而当xU(x0)时, f(x)0. 这就是说, 则存在x0的某一邻域U(x0), 当xU(x0)时, f(x)0. 5. 试分别举出具有以下性质的函数f(x)的例子: (1)x=0, 1, 2, , , n, , 是f(x)的所有间断点, 且它们都是无穷间断点; 解 函数在点x=0, 1, 2, , , n, , 处是间断的,且这些点是函数的无穷间断点. (2)f(x)在R上处处不连续, 但|f(x)|在R上处处连续; 解 函数在R上处处不连续, 但|f(x)|=1在R上处处连续. (3)f(x)在R上处处有定义, 但仅在一点连续. 解 函数在R上处处有定义, 它只在x=0处连续.
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