北邮大版大学物理下册课后习题答案

1 大学物理下册课后习题答案 习题八 8 1 电量都是 q的三个点电荷 分别放在正三角形的三个顶点 试问 1 在这三角形的中 心放一个什么样的电荷 就可以使这四个电荷都达到平衡 即每个电荷受其他三个电荷的库 仑力之和都为零 2 这种平衡与三角形的边长有无关系 解 如题 8 1 图示 1 以 A处点电荷为研究对象 由力平衡知 q 为负电荷 2020 3 413cos 41aa 解得 q 2 与三角形边长无关 题 8 1 图 题 8 2 图 8 2 两小球的质量都是 m 都用长为 l的细绳挂在同一点 它们带有相同电量 静止时两 线夹角为2 如题8 2图所示 设小球的半径和线的质量都可以忽略不计 求每个小球所带 的电量 解 如题 8 2 图示 20 sin 41sincos lqFTmge 解得 ta4sin20mglq 8 3 根据点电荷场强公式 20rqE 当被考察的场点距源点电荷很近 r 0 时 则场强 这是没有物理意义的 对此应如何理解 解 02 4rqE 仅对点电荷成立 当 时 带电体不能再视为点电荷 再用上式 求场强是错误的 实际带电体有一定形状大小 考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不 会是无限大 8 4 在真空中有 A B两平行板 相对距离为 d 板面积为 S 其带电量分别为 q和 q 则这两板之间有相互作用力 f 有人说 f 204q 又有人说 因为 f E SE0 所以 f Sq0 2 试问这两种说法对吗 为什么 f到底应等于多少 解 题中的两种说法均不对 第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的 第二种说法 把合场强 0看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的 正确解答应为一 2 个板的电场为 SqE02 另一板受它的作用力 Sqf0 20 这是两板间相互作 用的电场力 8 5 一电偶极子的电矩为 lp 场点到偶极子中心O点的距离为 r 矢量 与 l的夹角为 见题8 5图 且 r 试证 P点的场强 E在 r方向上的分量 E和垂直于 r的分量 分别为 rE 302cos 304sinrp 证 如题 8 5 所示 将 p 分解为与 平行的分量 i和垂直于 r 的分量 sinp l 场点 P在 r方向场强分量 30 2cosrpEr 垂直于 方向 即 方向场强分量 3004in 题 8 5 图 题 8 6 图 8 6 长 l 15 0cm 的直导线AB上均匀地分布着线密度 5 0 x10 9C m 1 的正电荷 试求 1 在导线的延长线上与导线B端相距 1a 5 0cm处 P点的场强 2 在导线的垂直平分线上 与导线中点相距 2d 5 0cm 处 Q点的场强 解 如题 8 6 图所示 1 在带电直线上取线元 x 其上电量 qd在 点产生场强为 20 4xaEP 2dl 1 40lal 20la 用 15 lcm 91 1mC 5 c代入得2746PEN 方向水平向右 2 同理 20d d xQ 方向如题 8 6 图所示 3 由于对称性 lQxE0d 即 Q 只有 y分量 220d 41 xy 2 4 lQyyE 23 lx20d 2 l 以 910 5 1cmC 5c cm代入得6 4QyE1N 方向沿 y轴正向 8 7 一个半径为 R的均匀带电半圆环 电荷线密度为 求环心处 O点的场强 解 如 8 7 图在圆上取 dl 题 8 7 图 ddRlq 它在 O点产生场强大小为20 4E 方向沿半径向外 则 dsin 4sind0 x dcos 4 co 0REy 积分 REx 002dsin 4 dcos y x0 2 方向沿 x轴正向 8 8 均匀带电的细线弯成正方形 边长为 l 总电量为 q 1 求这正方形轴线上离中心为r 处的场强 E 2 证明 在 r 处 它相当于点电荷 产生的场强 E 解 如 8 8 图示 正方形一条边上电荷 4q在 P点产生物强 P d 方向如图 大小为 cosd201lrP 4 2cos1lr 12cs 24 d20lrlEP P 在垂直于平面上的分量 cosdPE 424 d220 lrllr 题 8 8 图 由于对称性 P点场强沿 O方向 大小为 2 4 d420lrlE lq 2 4 20rlEP 方向沿 OP 8 9 1 点电荷 q位于一边长为 a的立方体中心 试求在该点电荷电场中穿过立方体的一 个面的电通量 2 如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上 这时穿过立方体各面 的电通量是多少 3 如题8 9 3 图所示 在点电荷 q的电场中取半径为R的圆平面 q在 该平面轴线上的 A点处 求 通过圆平面的电通量 xarctn 解 1 由高斯定理 0d qSEs 立方体六个面 当 在立方体中心时 每个面上电通量相等 各面电通量 06e 2 电荷在顶点时 将立方体延伸为边长 a2的立方体 使 q处于边长 a2的立方体中心 则 边长 a2的正方形上电通量 0 qe 对于边长 的正方形 如果它不包含 所在的顶点 则 024 e 5 如果它包含 q所在顶点则 0 e 如题 8 9 a 图所示 题 8 9 3 图 题 8 9 a 图 题 8 9 b 图 题 8 9 c 图 3 通过半径为 R的圆平面的电通量等于通过半径为 2xR 的球冠面的电通量 球冠 面积 1 222xxS 420Rq 0 q R 关于球冠面积的计算 见题 8 9 c 图 0dsin rS2 co1 8 10 均匀带电球壳内半径6cm 外半径10cm 电荷体密度为2 510 C m 3求距球心 5cm 8cm 12cm 各点的场强 解 高斯定理 0d qSEs 02 4 qr 当 5 r时 8c 时 3p r 3内 20 4rE 内 4108 1CN 方向沿半径向外 12r cm 时 3 q 外 内 3r 42010 4 rE 内外 1 沿半径向外 8 11 半径为 1R和 的两无限长同轴圆柱面 单位长度上分别带有电量 和 试求 1 2 1 r 2R 3 r 2处各点的场强 解 高斯定理 0d qSs 取同轴圆柱形高斯面 侧面积 rl 6 则 rlES 2d 对 1 1Rr 0 q 2 2 l rE0 2 沿径向向外 3 2 0 q E 题 8 12 图 8 12 两个无限大的平行平面都均匀带电 电荷的面密度分别为 1 和 2 试求空间各处 场强 解 如题 8 12 图示 两带电平面均匀带电 电荷面密度分别为 与 两面间 nE 2120 1 面外 1 2 面外 n 220 n 垂直于两平面由 1 面指为 面 8 13 半径为 R的均匀带电球体内的电荷体密度为 若在球内挖去一块半径为 r R的 小球体 如题8 13图所示 试求 两球心 O与 点的场强 并证明小球空腔内的电场是 均匀的 解 将此带电体看作带正电 的均匀球与带电 的均匀小球的组合 见题 8 13 图 a 1 球在 O点产生电场 01 E 球在 点产生电场 d 43020O r 点电场 d30r 2 在 O 产生电场 43001E 球在 产生电场 2 点电场 0 7 题 8 13 图 a 题 8 13 图 b 3 设空腔任一点 P相对 O 的位矢为 r 相对 O点位矢为 r 如题 8 13 b 图 则 03 EP O 0003 3 drEPOP 腔内场强是均匀的 8 14 一电偶极子由 q 1 0 10 6C 的两个异号点电荷组成 两电荷距离d 0 2cm 把这电 偶极子放在1 0 10 5N C 1 的外电场中 求外电场作用于电偶极子上的最大力矩 解 电偶极子 p 在外场 E中受力矩 pM qlM max代入数字 4536 10 20 1210 mN 8 15 两点电荷 1 5 10 8C q 3 0 10 8C 相距 r 42cm 要把它们之间的距离变 为 2r 25cm 需作多少功 解 221 02101 4drrFA 2r65 J 外力需作的功 65 J 题 8 16 图 8 16 如题8 16图所示 在 A B两点处放有电量分别为 q 的点电荷 AB间距离为 2R 现将另一正试验点电荷 0q从 O点经过半圆弧移到 C点 求移动过程中电场力作的 功 解 如题 8 16 图示 0 41 OU R3q0 6 qAoCO00 8 17 如题8 17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为 的正电荷 两直导线的长度和半 圆环的半径都等于 R 试求环中心 点处的场强和电势 8 解 1 由于电荷均匀分布与对称性 AB和 CD段电荷在 O点产生的场强互相抵消 取 dRl 则 q产生 O点 E d 如图 由于对称性 点场强沿 y轴负方向 题 8 17 图 cos 4dd220 REyR0 4 sin i 2 2 AB电荷在 O点产生电势 以 U AB0001 2ln 4d 4Rxx 同理 CD产生 2ln2 半圆环产生 0034 R 0321 42ln UO 8 18 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2 10 4m s 1的匀速率作圆周运动 求带电直线 上的线电荷密度 电子质量 0m 9 1 10 31kg 电子电量 e 1 60 10 19C 解 设均匀带电直线电荷密度为 在电子轨道处场强rE0 2 电子受力大小 eFe rvm 20 得 1305 e1C 8 19 空气可以承受的场强的最大值为 E 30kV cm 1 超过这个数值时空气要发生火花放 电 今有一高压平行板电容器 极板间距离为 d 0 5cm 求此电容器可承受的最高电 压 解 平行板电容器内部近似为均匀电场 4105 d UV 8 20 根据场强 E 与电势 的关系 求下列电场的场强 1 点电荷 q的电场 2 总电量为 q 半径为 R的均匀带电圆环轴上一点 3 偶极子 lp 的 lr 处 见题 9 8 20图 解 1 点电荷 rqU0 4 题 8 20 图 20rE 为 方向单位矢量 2 总电量 q 半径为 R的均匀带电圆环轴上一点电势 20 4xq iixUE 3 3 偶极子 lqp 在 lr 处的一点电势 200 4cos cs21 cos2 4 rqll 30 rpUEr 4sin 8 21 证明 对于两个无限大的平行平面带电导体板 题8 21图 来说 1 相向的两面上 电荷的面密度总是大小相等而符号相反 2 相背的两面上 电荷的面密度总是大小相等而 符号相同 证 如题 8 21 图所示 设两导体 A B的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为 1 2 3 4 题 8 21 图 1 则取与平面垂直且底面分别在 A B内部的闭合柱面为高斯面时 有 0 d32 SSEs 说明相向两面上电荷面密度大小相等 符号相反 2 在 A内部任取一点 P 则其场强为零 并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加 而成的 即 022403201 又 14 说明相背两面上电荷面密度总是大小相等 符号相同 10 8 22 三个平行金属板 A B和 C的面积都是200cm 2 A和 B相距4 0mm A与 C相距 2 0 mm B 都接地 如题8 22图所示 如果使 板带正电 3 0 10 7C 略去边缘效应 问 板和 C板上的感应电荷各是多少 以地的电势为零 则 板的电势是多少 解 如题 8 22 图示 令 板左侧面电荷面密度为 1 右侧面电荷面密度为 2 题 8 22 图 1 ABCU 即 Ed 221ACB 且 1 2Sq 得 32A A3 而 7110 Cqq C2 SB 2 301 dACACEU V 8 23 两个半径分别为 1R和 2 2 的同心薄金属球壳 现给内球壳带电 q 试 计算 1 外球壳上的电荷分布及电势大小 2 先把外球壳接地 然后断开接地线重新绝缘 此时外球壳的电荷分布及电势 3 再使内球壳接地 此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量 解 1 内球带电 q 球壳内表面带电则为 q 外表面带电为 q 且均匀分布 其电 势 题 8 23 图 2200 4dRRRqrrEU 2 外壳接地时 外表面电荷 q 入地 外表面不带电 内表面电荷仍为 q 所以球壳电 势由内球 q 与内表面 产生 42020 11 3 设此时内球壳带电量为 q 则外壳内表面带电量为 q 外壳外表面带电量为 qq 电荷守恒 此时内球壳电势为零 且 0 4 4 22010 RqRUA 得 外球壳上电势 201202020 4 4 RqqRqB 8 24 半径为 R的金属球离地面很远 并用导线与地相联 在与球心相距为 Rd3 处有 一点电荷 q 试求 金属球上的感应电荷的电量 解 如题 8 24 图所示 设金属球感应电荷为 q 则球接地时电势 OU 8 24 图 由电势叠加原理有 OU03 4 0 Rq 得 8 25 有三个大小相同的金属小球 小球1 2带有等量同号电荷 相距甚远 其间的库仑力 为 0F 试求 1 用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1 2后移去 小球1 2之间的库仑力 2 小球3依次交替接触小球1 2很多次后移去 小球1 2之间的库仑力 解 由题意知 200 4rqF 1 小球 接触小球 后 小球 3和小球 1均带电 小球 3再与小球 2接触后 小球 2与小球 均带电q4 此时小球 1与小球 间相互作用力 002201 83 FrF 2 小球 3依次交替接触小球 很多次后 每个小球带电量均为 32q 小球 1 2间的作用力 00294 32Fr qF 12 8 26 如题8 26图所示 一平行板电容器两极板面积都是S 相距为 d 分别维持电势AU B 0不变 现把一块带有电量 q的导体薄片平行地放在两极板正中间 片的面 积也是S 片的厚度略去不计 求导体薄片的电势 解 依次设 C 从上到下的 6个表面的面电荷密度分别为 1 2 3 4 5 6 如图所示 由静电平衡条件 电荷守恒定律及维持 UAB 可得以下 6个方程 题 8 26 图 6543215406543 0211 dUSqdCSqBA 解得 Sq6dU2032 54 所以 CB间电场 SqE002 2d 1d02SqUUCB 注意 因为 片带电 所以 若 片不带电 显然 C 8 27 在半径为 1R的金属球之外包有一层外半径为 2R的均匀电介质球壳 介质相对介电 常数为 r 金属球带电 Q 试求 1 电介质内 外的场强 2 电介质层内 外的电势 3 金属球的电势 解 利用有介质时的高斯定理 qSD d 1 介质内 21Rr 场强 303 4 rQEr 内 介质外 2r场强 13 303 4 rQErD 外 2 介质外 2Rr 电势 rU0rd 外 介质内 21r 电势 2020 4 1 4RQrq r 3 金属球的电势 rd221 RREU外内 22 00 44 rRQ 1 21rr 8 28 如题8 28图所示 在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为 r 的电介 质 试求 在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值 解 如题 8 28 图所示 充满电介质部分场强为 2E 真空部分场强为 1E 自由电荷面密度 分别为 2 与 1 由 0dqSD 得 1 D 2 而 01 0r d2UE r 1 题 8 28 图 题 8 29 图 8 29 两个同轴的圆柱面 长度均为 l 半径分别为 1R和 2 1 且 l 2R 1 两柱面之间充有介电常数 的均匀电介质 当两圆柱面分别带等量异号电荷 Q和 时 求 1 在半径 r处 1R 2 厚度为dr 长为 l的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和 整个薄壳中的电场能量 rd rEU外内 14 2 电介质中的总电场能量 3 圆柱形电容器的电容 解 取半径为 r的同轴圆柱面 S 则 rlD 2d 当 21R 时 Qq rl 1 电场能量密度 2 2 8w 薄壳中 rllrlW 4dd2 2 电介质中总电场能量 21 12ln RVRQl 3 电容 C ln 21W 8 30 金属球壳 A和 B的中心相距为 r A和 B原来都不带电 现在 A的中心放一点电 荷 1q 在 的中心放一点电荷 2q 如题8 30图所示 试求 1 对 2作用的库仑力 有无加速度 2 去掉金属壳 求 1作用在 上的库仑力 此时 2q有无加速度 解 1 1作用在 2的库仑力仍满足库仑定律 即 210 4rqF 但 2q处于金属球壳中心 它受合力为零 没有加速度 2 去掉金属壳 B 1q作用在 2上的库仑力仍是 210 4rqF 但此时 2受合力不为 零 有加速度 题 8 30 图 题 8 31 图 8 31 如题8 31图所示 1C 0 25 F 2 0 15 F 3C 0 20 F 1上电压为 50V 求 ABU 解 电容 1上电量 1UQ 电容 2C与 3并联 323 其上电荷 1Q 15 3502123 CUQ86 1 AB V 8 32 1C和 2两电容器分别标明 200 pF 500 V 和 300 pF 900 V 把它们串联起来后等 值电容是多少 如果两端加上1000 V 的电压 是否会击穿 解 1 与 串联后电容 1203201 C pF 2 串联后电压比 12U 而 21U 60 V 402 即电容 1C电压超过耐压值会击穿 然后 也击穿 8 33 将两个电容器 1和 2C充电到相等的电压 以后切断电源 再将每一电容器的正极 板与另一电容器的负极板相联 试求 1 每个电容器的最终电荷 2 电场能量的损失 解 如题 8 33 图所示 设联接后两电容器带电分别为 1q 2 题 8 33 图 则 211212021UCqUCq 解得 1 Cq21221 2 电场能量损失 W 0 2 2 11 qU 21C 8 34 半径为 1R 2 0cm 的导体球 外套有一同心的导体球壳 壳的内 外半径分别为2 4 0cm和 3 5 0cm 当内球带电荷 Q 3 0 10 8C 时 求 1 整个电场储存的能量 2 如果将导体壳接地 计算储存的能量 3 此电容器的电容值 解 如图 内球带电 外球壳内表面带电 外表面带电 Q 16 题 8 34 图 1 在 1Rr 和 32r区域 0 E 在 21时 31 4rQ 3r 时 02 在 21R 区域 21 d 4 20RrrW 21 1 8 d2RRQ 在 3Rr 区域 32 3002 4 Rrr 总能量 1 83211 RW 4 J 2 导体壳接地时 只有 21rR 时 30rQE 2 W 4210 21 1 8 Q J 3 电容器电容 42102RWC29 F 习题九 9 1 在同一磁感应线上 各点 B 的数值是否都相等 为何不把作用于运动电荷的磁力方向 定义为磁感应强度 的方向 解 在同一磁感应线上 各点 的数值一般不相等 因为磁场作用于运动电荷的磁力方向 不仅与磁感应强度 的方向有关 而且与电荷速度方向有关 即磁力方向并不是唯一由磁 场决定的 所以不把磁力方向定义为 的方向 题 9 2 图 9 2 1 在没有电流的空间区域里 如果磁感应线是平行直线 磁感应强度 B 的大小在沿磁 17 感应线和垂直它的方向上是否可能变化 即磁场是否一定是均匀的 2 若存在电流 上述结论是否还对 解 1 不可能变化 即磁场一定是均匀的 如图作闭合回路 abcd可证明 21B 0d21IbcBalabc 2 若存在电流 上述结论不对 如无限大均匀带电平面两侧之磁力线是平行直线 但B 方向相反 即 21B 9 3 用安培环路定理能否求有限长一段载流直导线周围的磁场 答 不能 因为有限长载流直导线周围磁场虽然有轴对称性 但不是稳恒电流 安培环路 定理并不适用 9 4 在载流长螺线管的情况下 我们导出其内部 nIB0 外面 B 0 所以在载流螺线管 外面环绕一周 见题9 4图 的环路积分 外L dl 0 但从安培环路定理来看 环路L中有电流I穿过 环路积分应为 外 dl I0 这是为什么 解 我们导出 nlB0 内 外 有一个假设的前提 即每匝电流均垂直于螺线管轴 线 这时图中环路 L上就一定没有电流通过 即也是 LIlB0d 外 与 Llld 外 是不矛盾的 但这是导线横截面积为零 螺距为零的理想模型 实 际上以上假设并不真实存在 所以使得穿过 的电流为 I 因此实际螺线管若是无限长时 只是 外B的轴向分量为零 而垂直于轴的圆周方向分量 r 20 为管外一点到螺线管 轴的距离 题 9 4 图 9 5 如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转 能否肯定这个区域中没有磁场 如果它 发 生偏转能否肯定那个区域中存在着磁场 解 如果一个电子在通过空间某一区域时不偏转 不能肯定这个区域中没有磁场 也可能 存在互相垂直的电场和磁场 电子受的电场力与磁场力抵消所致 如果它发生偏转也不能 肯定那个区域存在着磁场 因为仅有电场也可以使电子偏转 9 6 已知磁感应强度 0 2 BWb m 2 的均匀磁场 方向沿 x轴正方向 如题 9 6 图所 示 试求 1 通过图中 abcd面的磁通量 2 通过图中 befc面的磁通量 3 通过图中aefd 面的磁通量 解 如题 9 6 图所示 题 9 6 图 18 1 通过 abcd面积 1S的磁通是 24 03 021 SB Wb 2 通过 ef面积 2的磁通量 22 3 通过 ad面积 3S的磁通量 4 05 30cos5 03 B b 或曰 24 0 b 题 9 7 图 9 7 如题9 7图所示 AB CD为长直导线 CB 为圆心在 O点的一段圆弧形导线 其 半径为 R 若通以电流 I 求 O点的磁感应强度 解 如题 9 7 图所示 点磁场由 三部分电流产生 其中AB 产生 01 CD 产生 I2 方向垂直向里 段产生 231 60sin9 i403 RIR 方向 向里 231 03210 IB 方向 向里 9 8 在真空中 有两根互相平行的无限长直导线 1L和 2 相距0 1m 通有方向相反的电 流 1I 20A 2 10A 如题9 8图所示 A B两点与导线在同一平面内 这两点与导线2L 的距离均为5 0cm 试求 两点处的磁感应强度 以及磁感应强度为零的点的位 置 题 9 8 图 解 如题 9 8 图所示 AB 方向垂直纸面向里 42010 10 5 2 II T 2 设 0 在 2L外侧距离 为 r处 则 2 1 0 rII 解得 r m 19 题 9 9 图 9 9 如题9 9图所示 两根导线沿半径方向引向铁环上的 A B两点 并在很远处与电源 相连 已知圆环的粗细均匀 求环中心 O的磁感应强度 解 如题 9 9 图所示 圆心 点磁场由直电流 和 及两段圆弧上电流 1I与 2所产 生 但 A和 B在 点产生的磁场为零 且 2121RI电 阻电 阻 1I 产生 方向 纸面向外 01B 2I 产生 B方向 纸面向里 202RI 1 12 IB 有 020 9 10 在一半径 R 1 0cm 的无限长半圆柱形金属薄片中 自上而下地有电流 I 5 0 A通 过 电流分布均匀 如题9 10图所示 试求圆柱轴线任一点 P处的磁感应强度 题 9 10 图 解 因为金属片无限长 所以圆柱轴线上任一点 P的磁感应强度方向都在圆柱截面上 取 坐标如题 9 10 图所示 取宽为 ld的一无限长直电流 lRId 在轴上 P点产生 B d 与R 垂直 大小为 IIRB2002 Rx dcossd Iy 20in co 50202 137 6 si ns IIRIBx Td 22 RBy i 51037 6 T 20 9 11 氢原子处在基态时 它的电子可看作是在半径 a 0 52 10 8cm的轨道上作匀速圆周 运动 速率 v 2 2 108cm s 1 求电子在轨道中心所产生的磁感应强度和电子磁矩的值 解 电子在轨道中心产生的磁感应强度 304veB 如题 9 11 图 方向垂直向里 大小为 120a T 电子磁矩 mP 在图中也是垂直向里 大小为 242 9 evTm 2mA 题 9 11 图 题 9 12 图 9 12 两平行长直导线相距 d 40cm 每根导线载有电流 1I 2 20A 如题9 12图所示 求 1 两导线所在平面内与该两导线等距的一点 A处的磁感应强度 2 通过图中斜线所示面积的磁通量 1r 3 10cm l 25cm 解 1 520104 2 dIIBA T 方向 纸面向外 2 取面元 rlSd 612010110 02 3lnl3ln2 21 IIIlIIr Wb 9 13 一根很长的铜导线载有电流10A 设电流均匀分布 在导线内部作一平面 S 如题9 13图所示 试计算通过S平面的磁通量 沿导线长度方向取长为1m的一段作计算 铜的磁导 率 0 解 由安培环路定律求距圆导线轴为 r处的磁感应强度 l IB0d 2Rr 20IrB 题 9 13 图 磁通量 6002 14 IdrRISdBsm Wb 9 14 设题9 14图中两导线中的电流均为 8A 对图示的三条闭合曲线 a c 分别写出安 培环路定理等式右边电流的代数和 并讨论 1 在各条闭合曲线上 各点的磁感应强度 B 的大小是否相等 21 2 在闭合曲线 c上各点的 B 是否为零 为什么 解 al08d b cl 1 在各条闭合曲线上 各点 B 的大小不相等 2 在闭合曲线 C上各点 不为零 只是 的环路积分为零而非每点 0 B 题 9 14 图 题 9 15 图 9 15 题9 15图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面 内 外半径分别为 a b 导体内载有沿轴线方向的电流 I 且 均匀地分布在管的横截面上 设导体的磁导率0 试证明导体内部各点 bra 的磁感应强度的大小由下式给出 raIB220 解 取闭合回路 rl 2 则 lBd 22 abIrI 20B 9 16 一根很长的同轴电缆 由一导体圆柱 半径为 和一同轴的导体圆管 内 外半径分 别 为 b c 构成 如题9 16图所示 使用时 电流 I从一导体流去 从另一导体流回 设电 流都是均匀地分布在导体的横截面上 求 1 导体圆柱内 r a 2 两导体之间 a r 3 导体圆筒内 b r c 以及 4 电缆外 c 各点处磁感应强度的大小 解 LIlB0d 1 a 20RIrB 20RIr 2 br Ir0rIB 0 3 cr bcrIB0202 2bcrI 4 cr r0 B 22 题 9 16 图 题 9 17 图 9 17 在半径为 R的长直圆柱形导体内部 与轴线平行地挖成一半径为 r的长直圆柱形空 腔 两轴间距离为 a 且 r 横截面如题9 17图所示 现在电流I沿导体管流动 电流 均匀分布在管的横截面上 而电流方向与管的轴线平行 求 1 圆柱轴线上的磁感应强度的大小 2 空心部分轴线上的磁感应强度的大小 解 空间各点磁场可看作半径为 电流 1I均匀分布在横截面上的圆柱导体和半径为 r电 流 2I 均匀分布在横截面上的圆柱导体磁场之和 1 圆柱轴线上的 O点 B的大小 电流 1产生的 01 电流 2I 产生的磁场 2020rRIaI 0 2 空心部分轴线上 O 点 B的大小 电流 2I产生的 02 电流 1产生的 2rRIa 20rIa 0R 题 9 18 图 9 18 如题9 18图所示 长直电流 1I附近有一等腰直角三角形线框 通以电流 2I 二者 共面 求 ABC的各边所受的磁力 解 ABlF d2daIIaFAB 2102 方向垂直 向左 Cl 方向垂直 向下 大小为 adACdaIrIFln2102 同理 BCF 方向垂直 向上 大小 adBcrIl102 45osl 23 adBC daIrIFln245cos21010 题 9 19 图 9 19 在磁感应强度为 B 的均匀磁场中 垂直于磁场方向的平面内有一段载流弯曲导线 电 流为 I 如题9 19图所示 求其所受的安培力 解 在曲线上取 ld 则 baF l与 夹角 l 2 不变 B 是均匀的 baba IIBI d 方向 向上 大小 F 题 9 20 图 9 20 如题9 20图所示 在长直导线 AB内通以电流 1I 20A 在矩形线圈 CDEF中通有电 流 2I 10 A B与线圈共面 且 CD EF都与 平行 已知a 9 0cm b 20 0cm d 1 0 cm 求 1 导线 的磁场对矩形线圈每边所作用的力 2 矩形线圈所受合力和合力矩 解 1 CDF 方向垂直 向左 大小 4102 8 dIbFCD N 同理 FE方向垂直 向右 大小 51020 aIIFE CF 方向垂直 向上 大小为 adCF dIrI 5210210 12 9ln NED 方向垂直 向下 大小为 5 9 CFED 2 合力 CFECD 方向向左 大小为 4102 7 合力矩 BPMm 线圈与导线共面 24 BPm 0 M 题 9 21 图 9 21 边长为 l 0 1m 的正三角形线圈放在磁感应强度 B 1T 的均匀磁场中 线圈平面与 磁场方向平行 如题9 21图所示 使线圈通以电流 I 10A 求 1 线圈每边所受的安培力 2 对 O 轴的磁力矩大小 3 从所在位置转到线圈平面与磁场垂直时磁力所作的功 解 1 0 BlIFbc lIab 方向 纸面向外 大小为 86 012sin IlFab Nlca 方向 纸面向里 大小 i lca 2 ISPm BM 沿 O 方向 大小为 22103 4 BlISM mN 3 磁力功 12 IA 0 l22 103 4 BlIJ 9 22 一正方形线圈 由细导线做成 边长为 a 共有 N匝 可以绕通过其相对两边中点 的一个竖直轴自由转动 现在线圈中通有电流 I 并把线圈放在均匀的水平外磁场 B 中 线圈对其转轴的转动惯量为 J 求线圈绕其平衡位置作微小振动时的振动周期 T 解 设微振动时线圈振动角度为 Pm 则 sinsin2BIaM 由转动定律 NIatJ22d 即 0 N 振动角频率 JBI 2 周期 INaT2 9 23 一长直导线通有电流 1I 20A 旁边放一导线 b 其中通有电流 2I 10A 且两者共 25 面 如题9 23图所示 求导线 ab所受作用力对 O点的力矩 解 在 ab上取 rd 它受力F d 向上 大小为 I 210 对 O点力矩 FrM 方向垂直纸面向外 大小为 rIrd2d10 babaI610 3 mN 题 9 23 图 题 9 24 图 9 24 如题9 24图所示 一平面塑料圆盘 半径为 R 表面带有面密度为 剩余电荷 假 定圆盘绕其轴线 A 以角速度 rad s 1 转动 磁场 B 的方向垂直于转轴 A 试证磁 场作用于圆盘的力矩的大小为 4M 提示 将圆盘分成许多同心圆环来考虑 解 取圆环 rSd2 它等效电流 qTId2 rS 等效磁矩 rIrPmd32 受到磁力矩 BM 方向 纸面向内 大小为 rBPmdd3 40RR 9 25 电子在 70 10 4T 的匀强磁场中作圆周运动 圆周半径 r 3 0cm 已知 B 垂直 于纸面向外 某时刻电子在 A点 速度 v 向上 如题9 25图 1 试画出这电子运动的轨道 2 求这电子速度 v 的大小 3 求这电子的动能 kE 题 9 25 图 解 1 轨迹如图 26 2 rvmeB 2 710 3 v1s 3 62KE J 9 26 一电子在 B 20 10 4T 的磁场中沿半径为 R 2 0cm 的螺旋线运动 螺距 h 5 0cm 如题9 26图 1 求这电子的速度 2 磁场 的方向如何 解 1 eBmv cos cos2veBmh 题 9 26 图 6221057 ehR1sm 2 磁场 B 的方向沿螺旋线轴线 或向上或向下 由电子旋转方向确定 9 27 在霍耳效应实验中 一宽1 0cm 长4 0cm 厚1 0 10 3cm 的导体 沿长度方向载有 3 0A的电流 当磁感应强度大小为 1 5T的磁场垂直地通过该导体时 产生1 0 10 5V的 横向电压 试求 1 载流子的漂移速度 2 每立方米的载流子数目 解 1 evBEH lBUEvH 为导体宽度 0 1lcm 42 57 6 lv 1s 2 nevSI 52419107 60 3 28 m 9 28 两种不同磁性材料做成的小棒 放在磁铁的两个磁极之间 小棒被磁化后在磁极间处 于不同的方位 如题9 28图所示 试指出哪一个是由顺磁质材料做成的 哪一个是由抗磁 质材料做成的 解 见题 9 28 图所示 27 题 9 28 图 题 9 29 图 9 29 题9 29图中的三条线表示三种不同磁介质的 HB 关系曲线 虚线是 B H0 关系 的曲线 试指出哪一条是表示顺磁质 哪一条是表示抗磁质 哪一条是表示铁磁质 答 曲线 是顺磁质 曲线 是抗磁质 曲线 是铁磁质 9 30 螺绕环中心周长 L 10cm 环上线圈匝数 N 200匝 线圈中通有电流 I 100 mA 1 当管内是真空时 求管中心的磁场强度 和磁感应强度 0 2 若环内充满相对磁导率 r 4200的磁性物质 则管内的 B和 各是多少 3 磁性物质中心处由导线中传导电流产生的 0和由磁化电流产生的 各是多少 解 1 IlHl dNL21mA 405 B T 2 20 H 1mA or 3 由传导电流产生的 0 即 1 中的 401 由磁化电流产生的 9 31 螺绕环的导线内通有电流20A 利用冲击电流计测得环内磁感应强度的大小是1 0 Wb m 2 已知环的平均周长是40cm 绕有导线400匝 试计算 1 磁场强度 2 磁化强度 3 磁化率 4 相对磁导率 解 1 4102 IlNnH 1mA 2 5076 BM 3 8 3xm 4 相对磁导率 8 391 mrx 9 32 一铁制的螺绕环 其平均圆周长 L 30cm 截面积为1 0 cm 2 在环上均匀绕以300匝 导线 当绕组内的电流为0 032安培时 环内的磁通量为2 0 10 6Wb 试计算 1 环内的平均磁通量密度 2 圆环截面中心处的磁场强度 解 1 210 SB T 2 dNIlH 30L1mA 28 题 9 33 图 9 33 试证明任何长度的沿轴向磁化的磁棒的中垂面上 侧表面内 外两点1 2的磁场强 度 H相等 这提供了一种测量磁棒内部磁场强度 H的方法 如题9 33图所示 这两点的 磁感应强度相等吗 解 磁化棒表面没有传导电流 取矩形回路 abcd 则 0d21 ll 2 这两点的磁感应强度 01 BH 21 习题十 10 1 一半径 r 10cm 的圆形回路放在 0 8T的均匀磁场中 回路平面与 B 垂直 当回路 半径以恒定速率 td 80cm s 1 收缩时 求回路中感应电动势的大小 解 回路磁通 2 rBSm 感应电动势大小 40 d d2 tt V 10 2 一对互相垂直的相等的半圆形导线构成回路 半径 R 5cm 如题10 2图所示 均匀 磁场 B 80 10 3T 的方向与两半圆的公共直径 在 Oz轴上 垂直 且与两个半圆构成 相等的角 当磁场在5ms内均匀降为零时 求回路中的感应电动势的大小及方向 解 取半圆形 cba法向为 i 题 10 2 图 则 cos2 1BRm 同理 半圆形 d法向为 j 则 s2 B 与 i夹角和 与 j夹角相等 45 则 cos 2RBm21089 dd tt V 方向与 cbad相反 即顺时针方向 29 题 10 3 图 10 3 如题10 3图所示 一根导线弯成抛物线形状 y 2ax 放在均匀磁场中 B 与xOy 平面垂直 细杆 CD平行于 x轴并以加速度 从抛物线的底部向开口处作平动 求CD 距 点为 处时回路中产生的感应电动势 解 计算抛物线与 组成的面积内的磁通量 aym yBxBS0 232d 2d vtt 121 ayv 2 1 则 ByayBi 821 i 实际方向沿 ODC 题 10 4 图 10 4 如题10 4图所示 载有电流 I的长直导线附近 放一导体半圆环 MeN与长直导线共 面 且端点 MN的连线与长直导线垂直 半圆环的半径为 b 环心 O与导线相距 a 设半 圆环以速度 v平行导线平移 求半圆环内感应电动势的大小和方向及 两端的电压 U 解 作辅助线 则在 e回路中 沿 v 方向运动时 0d m 0 MeN 即 又 baMN baIvlvBln2dcos0 所以 MeN 沿 方向 大小为 baIln20 点电势高于 点电势 即 IvUNM l0 题 10 5 图 30 10 5如题10 5所示 在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈 两导线中的电 流方向相反 大小相等 且电流以 tId的变化率增大 求 1 任一时刻线圈内所通过的磁通量 2 线圈中的感应电动势 解 以向外磁通为正则 1 ln l 2 2000 dabIrlIrlIabadm 2 tat n 10 6 如题10 6图所示 用一根硬导线弯成半径为 r的一个半圆 令这半圆形导线在磁场 中以频率 f绕图中半圆的直径旋转 整个电路的电阻为 R 求 感应电流的最大值 题 10 6 图 解 cos 2 0 trBSm Bfrfrrtm i 222 ind RIm 10 7 如题10 7图所示 长直导线通以电流 5A 在其右方放一长方形线圈 两者共 面 线圈长 b 0 06m 宽 a 0 04m 线圈以速度 v 0 03m s 1 垂直于直线平移远离 求 d 0 05m时线圈中感应电动势的大小和方向 题 10 7 图 解 AB CD运动速度 v 方向与磁力线平行 不产生感应电动势 产生电动势 ADIvbBld2d 01 产生电动势 02 aIlvCB 回路中总感应电动势 8021 16 1 dIb V 31 方向沿顺时针 10 8 长度为 l的金属杆 ab以速率v在导电轨道 abcd上平行移动 已知导轨处于均匀磁场B 中 的方向与回路的法线成60 角 如题10 8图所示 B 的大小为 kt 为正常 设 t 0时杆位于 cd处 求 任一时刻 t导线回路中感应电动势的大小和方向 解 22160osklvtltBlvSm tm d 即沿 abcd方向顺时针方向 题 10 8 图 10 9 一矩形导线框以恒定的加速度向右穿过一均匀磁场区 B 的方向如题10 9图所示 取 逆时针方向为电流正方向 画出线框中电流与时间的关系 设导线框刚进入磁场区时t 0 解 如图逆时针为矩形导线框正向 则进入时 0d t 题 10 9 图 a 题 10 9 图 b 在磁场中时 0d t 出场时 故 tI 曲线如题 10 9 图 b 所示 题 10 10 图 10 10 导线 ab长为 l 绕过 O点的垂直轴以匀角速 转动 aO 3l磁感应强度 B平行于 转轴 如图10 10所示 试求 1 两端的电势差 2 两端哪一点电势高 解 1 在 b上取 dr 一小段 则 32029dlOblBr 同理 18 la 226 llObb 32 2 0 ab 即 0 baU b点电势高 题 10 11 图 10 11 如题10 11图所示 长度为 b2的金属杆位于两无限长直导线所在平面的正中间 并 以速度 v 平行于两直导线运动 两直导线通以大小相等 方向相反的电流 I 两导线相距2a 试求 金属杆两端的电势差及其方向 解 在金属杆上取 rd距左边直导线为 r 则 baIvraIvlBvbaAB lnd 21 00 AB 实际上感应电动势方向从 即从图中从右向左 bIvUln0 题 10 12 图 10 12 磁感应强度为 B 的均匀磁场充满一半径为 R的圆柱形空间 一金属杆放在题10 12 图中位置 杆长为2 R 其中一半位于磁场内 另一半在磁场外 当 tBd 0时 求 杆两 端的感应电动势的大小和方向 解 bcac tRBttab d43 d21 21 2 tRacd 43 2 0 tB ac即 从 c 10 13 半径为R的直螺线管中 有 dt 0的磁场 一任意闭合导线 abc 一部分在螺线管 内绷直成 ab弦 两点与螺线管绝缘 如题10 13图所示 设 R 试求 闭合导 线中的感应电动势 解 如图 闭合导线 ca内磁通量 436 22RBSm ti d2 2 33 0d tB 0 i 即感应电动势沿 acb 逆时针方向 题 10 13 图 题 10 14 图 10 14 如题10 14图所示 在垂直于直螺线管管轴的平面上放置导体 ab于直径位置 另一 导体 cd在一弦上 导体均与螺线管绝缘 当螺线管接通电源的一瞬间管内磁场如题10 14 图示方向 试求 1 ab两端的电势差 2 两点电势高低的情况 解 由 l StBE d旋 知 此时 旋E 以 O为中心沿逆时针方向 1 ab是直径 在 ab上处处 旋 与 ab垂直 l0旋 0ab 有 baU 2 同理 d lEcd 旋 0 c即 cU 题 10 15 图 10 15 一无限长的直导线和一正方形的线圈如题10 15图所示放置 导线与线圈接触处绝缘 求 线圈与导线间的互感系数 解 设长直电流为 I 其磁场通过正方形线圈的互感磁通为 32001 2ln daIarI l12IM 10 16 一矩形线圈长为 a 20cm 宽为 b 10cm 由100匝表面绝缘的导线绕成 放在一无限 长导线的旁边且与线圈共面 求 题10 16图中 a 和 b 两种情况下 线圈与长直导线间的 互感 解 a 见题 10 16 图 a 设长直电流为 I 它产生的磁场通过矩形线圈的磁通为 2ln d2 d00 12 IaraSBb 618 ln NIM H b 长直电流磁场通过矩形线圈的磁通 12 见题 10 16 图 b 0 34 题 10 16 图 题 10 17 图 10 17 两根平行长直导线 横截面的半径都是 a 中心相距为 d 两导线属于同一回 路 设两导线内部的磁通可忽略不计 证明 这样一对导线长度为 l的一段自感为 lL0 In d 解 如图 10 17 图所示 取 rSd 则 ad ad adIlrrIllIr I ln 2 1 2 2 0000 Iln0 adlIL n0 10 18 两线圈顺串联后总自感为1 0H 在它们的形状和位置都不变的情况下 反串联后总 自感为0 4H 试求 它们之间的互感 解 顺串时 M21 反串联时 L2 L4 15 0H 10 19 图 10 19 一矩形截面的螺绕环如题10 19图所示 共有N匝 试求 1 此螺线环的自感系数 2 若导线内通有电流 I 环内磁能为多少 解 如题 10 19 图示 1 通过横截面的磁通为 baabNIhrIln 2d200 磁链 IhNln 20 abhILln 20 2 1IWm 35 abhINWmln 4 20 10 20 一无限长圆柱形直导线 其截面各处的电流密度相等 总电流为 I 求 导线内部 单位长度上所储存的磁能 解 在 Rr 时 20 IBr 420 2 8RrIBwm 取 rVd 导线长 1l 则 R IrIW00204362 习题十一 11 1 圆柱形电容器内 外导体截面半径分别为 1和 2R 1 2 中间充满介电常数为 的电介质 当两极板间的电压随时间的变化 ktU d时 为常数 求介质内距圆柱轴线 为 r处的位移电流密度 解 圆柱形电容器电容 12lnRC 12lnRUq 1212llrSD 12lnRrktj 11 2 试证 平行板电容器的位移电流可写成 tUCId 式中 为电容器的电容 U是 电容器两极板的电势差 如果不是平板电容器 以上关系还适用吗 解 q SD0 CU 不是平板电容器时 0 仍成立 tUCIDd 还适用 ttId 36 题 11 3 图 11 3 如题11 3图所示 电荷 q以速度 v 向 O点运动 q到 点的距离为 x 在 O点处 作半径为 a的圆平面 圆平面与 垂直 求 通过此圆的位移电流 解 如题 11 3 图所示 当 离平面 x时 通过圆平面的电位移通量 1 22axD 此结果见习题 8 9 3 23 dxvqtI 题 11 4 图 11 4 如题11 4图所示 设平行板电容器内各点的交变电场强度 E 720sin t 510V m 1 正 方向规定如图 试求 1 电容器中的位移电流密度 2 电容器内距中心联线 r 10 2m的一点 P 当 t 0和 5102 s时磁场强度的大小及方向 不考虑传导电流产生的磁场 解 1 tDj E0 tttEjD 505500 1cos72 1sin72 2mA 2 0ddSDl jIH 取与极板平行且以中心连线为圆心 半径 r的圆周 rl 则jr2 D0 t 时 050516 3172 rHP 1mA 512 s 时 P 11 5 半径为 R 0 10m的两块圆板构成平行板电容器 放在真空中 今对电容器匀速充电 使两极板间电场的变化率为 tEd 1 0 1013 V m 1 s 1 求两极板间的位移电流 并计算 电容器内离两圆板中心联线 r R 处的磁感应强度 Br以及 R处的磁感应强 度 B 解 1 ttDj 0 8 2 jSI A 37 2 SjIlHDl dd0 取平行于极板 以两板中心联线为圆心的圆周 rl 2 则 202tEjr d trHBr200 当 Rr 时 601 5d2 tERB T 11 6 一导线 截面半径为10 2m 单位长度的电阻为3 10 3 m 1 载有电流25 1 A 试 计算在距导线表面很近一点的以下各量 1 H的大小 2 E在平行于导线方向上的分量 3 垂直于导线表面的 S分量 解 1 IlH d 取与导线同轴的垂直于导线的圆周 r 2 则 2104 I 1mA 2 由欧姆定律微分形式 Ej 得 253 7 1 IRS 1V 3 HES 沿导线轴线 垂直于轴线 垂直导线侧面进入导线 大小 1 0H2W 11 7 有一圆柱形导体 截面半径为 a 电阻率为 载有电流 0I 1 求在导体内距轴线为 r处某点的 E的大小和方向 2 该点 的大小和方向 3 该点坡印廷矢量 S 的大小和方向 4 将 3 的结果与长度为 l 半径为 r的导体内消耗的能量作比较 解 1 电流密度 Ij0 由欧姆定律微分形式 E 0得20aIjE 方向与电流方向一致 2 取以导线轴为圆心 垂直于导线的平面圆周 rl 2 则 由 SljH d0可得 20aIH 20arI 方向与电流成右螺旋 3 ES 38 S 垂直于导线侧面而进入导线 大小为 420arIEHS 4 长为 l 半径为 ar 导体内单位时间消耗能量为 420220012 lrIrlIRIW 单位时间进入长为 l 半径为 r导体内的能量 402alIlS 21W 说明这段导线消耗的能量正是电磁场进入导线的能量 11 8 一个很长的螺线管 每单位长度有 n匝 截面半径为 载有一增加的电流 i 求 1 在螺线管内距轴线为 r处一点的感应电场 2 在这点的坡印矢量的大小和方向 解 1 螺线管内 niB0 由 StBlEl d 取以管轴线为中心 垂直于轴的平面圆周 rl 2 正绕向与 B成右螺旋关系 则2tr dtintBrE20 方向沿圆周切向 当 0d ti时 E 与 成右螺旋关系 当0d ti 时 与 成左旋关系 题 11 8 图 2 HES 由 与 方向知 S 指向轴 如图所示 大小为 tirnEiHd20 11 9 一平面电磁波的波长为3 0cm 电场强度的振幅为30V m 1 试问该电磁波的频率为 多少 磁场强度的振幅为多少 对于一个垂直于传播方向的面积为0 5m 2的全吸收面 该电磁 波的平均幅射压强是多大 解 频率 10 c z 利用 0002HESErr 和 可得 70 10 B T 由于电磁波具有动量 当它垂直射到一个面积为 A的全吸收表面时 这个表面在t 时间内所吸收的电磁动量为 tgAc 于是该表面所受到的电磁波的平均辐射压强为 39 92001 42 CEHCSgP Pa 可见 电磁波的幅射压强 包括光压 是很微弱的 习题十二 12 1 某单色光从空气射入水中 其频率 波速 波长是否变化 怎样变化 解 不变 为波源的振动频率 n空 变小 nu 变小 12 2 在杨氏双缝实验中 作如下调节时 屏幕上的干涉条纹将如何变化 试说明理由 1 使两缝之间的距离变小 2 保持双缝间距不变 使双缝与屏幕间的距离变小 3 整个装置的结构不变 全部浸入水中 4 光