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高中数学必修二第1章 空间几何体1.1空间几何体的结构1、 棱柱 定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。2、 棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示:用各顶点字母,如五棱锥几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。3、 棱台 定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示:用各顶点字母,如四棱台ABCDABCD几何特征:上下底面是相似的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点4、 圆柱 定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特征:底面是全等的圆;母线与轴平行;轴与底面圆的半径垂直;侧面展开图是一个矩形。5、 圆锥定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体几何特征:底面是一个圆;母线交于圆锥的顶点;侧面展开图是一个扇形。6、圆台定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分几何特征:上下底面是两个圆;侧面母线交于原圆锥的顶点;侧面展开图是一个弓形。球体定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体几何特征:球的截面是圆;球面上任意一点到球心的距离等于半径。空间几何体的结构特征:面(侧面、上底面、下底面)、棱、顶点、轴1.2空间几何体的三视图和直观图1、 中心投影与平行投影中心投影:把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。平行投影:在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。2、 三视图 正视图:从前往后 侧视图:从左往右 俯视图:从上往下画三视图的原则:长对齐、高对齐、宽相等3、直观图:斜二测画法斜二测画法的步骤:(1).平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;(2).平行于y轴的线长度变半,平行于x,z轴的线长度不变;(3).画法要写好。用斜二测画法画出长方体的步骤:(1)画轴(2)画底面(3)画侧棱(4)成图1.3空间几何体的表面积与体积(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。(2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,为斜高,l为母线) (3)柱体、锥体、台体的体积公式 (4) 球体的表面积和体积公式:V= ; S=点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系平面:公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线线线关系:1 空间的两条直线有如下三种关系:共面直线 相交直线:同一平面内,有且只有一个公共点;平行直线:同一平面内,没有公共点;异面直线: 不同在任何一个平面内,没有公共点。公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行。符号表示为:设a、b、c是三条直线=acabcb强调:公理4实质上是说平行具有传递性,在平面、空间这个性质都 适用。 公理4作用:判断空间两条直线平行的依据线面位置关系(1)直线在平面内 有无数个公共点(2)直线与平面相交 有且只有一个公共点(3)直线在平面平行 没有公共点指出:直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外,可用a 来表示 a a=A a 面面关系平行没有公共点;相交有一条公共直线。b2.2直线、平面平行的判定及其性质1、 线面平行判定定理:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。作用:直线与平面的判定定理2、 面面平行定理:一个平面内的两条相交直线与另一平面平行,则这两个平面平行。作用:证面面平行2.3直线、平面垂直的判定及其性质1、 线面垂直定理:一条直线与一个平面内的两条直线都垂直,则该直线与此平面垂直。作用:证线面垂直线面角:平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角。在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息:(1)斜线上一点到面的垂线;(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线。2、 面面垂直(1)定理:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。作用:证面面垂直(2)二面角:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。(3)二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角。(4)直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角(5)求二面角的方法定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面两个面的交线所成的角为二面角的平面角3、 垂直关系的性质定理线面垂直性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。面面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0180(2)直线的斜率定义:倾斜角不是90的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当时,; 当时,; 当时,不存在。过两点的直线的斜率公式: 注意:(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90;(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。3.2直线的方程点斜式:直线斜率k,且过点注意:当直线的斜率为0时,k=0,直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1。斜截式:,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b两点式:()直线两点,截矩式:其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。一般式:(A,B不全为0)注意:各式的适用范围 特殊的方程如:平行于x轴的直线:(b为常数); 平行于y轴的直线:(a为常数); (5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线(一)平行直线系平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系:(C为常数)(二)过定点的直线系()斜率为k的直线系:,直线过定点;()过两条直线,的交点的直线系方程为(为参数),其中直线不在直线系中。(6)两直线平行与垂直当,时,;注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。3.3直线的交点坐标与距离公式1、两条直线的交点 相交交点坐标即方程组的一组解。方程组无解 ; 方程组有无数解与重合2、两点间距离公式:设是平面直角坐标系中的两个点,则 3、点到直线距离公式:一点到直线的距离4、两平行直线距离公式在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。第2章 圆与方程4.1圆的方程1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。2、圆的方程(1)标准方程,圆心,半径为r;(2)一般方程当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为当时,表示一个点; 当时,方程不表示任何图形。(3)求圆方程的方法:一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。4.2直线、圆的位置关系1、直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况,基本上由下列两种方法判断:(1)设直线,圆,圆心到l的距离为,则有;(2) 设直线,圆,先将方程联立消元,得到一个一元二次方程之后,令其中的判别式为,则有;注:如果圆心的位置在原点,可使用公式去解直线与圆相切的问题,其中表示切点坐标,r表示半径。 (3)过圆上一点的切线方程:圆x2+y2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2 2、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。设圆,两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。当时两圆外离,此时有公切线四条;当时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;当时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;当时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;当时,两圆内含; 当时,为同心圆。4.3空间直角坐标系(1)定义:如图,是单位正方体.以A为原点,分别以OD,O,OB的方向为正方向,建立三条数轴。这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz.1) O叫做坐标原点 2) x 轴,y轴,z轴叫做坐标轴.3) 过每两个坐标轴的平面叫做坐标面。(2) 右手表示法: 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时,可能形成的位置。大拇指指向为x轴正方向,食指指向为y轴正向,中指指向则为z轴正向,这样也可以决定三轴间的相位置。(3)任意点坐标表示:空间一点M的坐标可以用有序实数组来表示,有序实数组 叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作(x叫做点M的横坐标,y叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标)(4)空间两点距离坐标公式:
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