《材料力学》第3章-扭转-习题解

1 第三章 扭转 习题解 习题 3 1 一传动轴作匀速转动 转速 轴上装有五个轮子 主动轮 II 输min 20r 入的功率为 60 从动轮 I III IV V 依次输出 18 12 22 和kWkWk 8 试作轴的扭图 k 解 1 计算各轮的力偶矩 外力偶矩 nNTke5 9 外力偶矩计算 kW 换算成 kN m 题目编号 轮子编号 轮子作用 功率 kW 转速 r min Te kN m I 从动轮 18 200 0 859 II 主动轮 60 200 2 865 III 从动轮 12 200 0 573 IV 从动轮 22 200 1 051 习题 3 1 V 从动轮 8 200 0 382 2 作扭矩图 习题 3 2 一钻探机的功率为 10kW 转速 钻杆钻入土层的深度 min 180r ml40 如土壤对钻杆的阻力可看作是均匀分布的力偶 试求分布力偶的集度 并作钻杆的扭矩 图 解 1 求分布力偶的集度 m 530 18549 9kNnNMke 设钻杆轴为 轴 则 x xMeml 013 45 mkNl 2 作钻杆的扭矩图 T 图 kN m 2 xxlMmxTe013 40 0 5 4 mkNTe 扭矩图如图所示 习题 3 3 圆轴的直径 转速为 120r min 若该轴横截面上的最大切应力等于md50 60 试问所传递的功率为多大 MPa 解 1 计算圆形截面的抗扭截面模量 245149 361 333 mWp 2 计算扭矩 2max 0mNTp 473 11476045 632 mkN 3 计算所传递的功率 9 mkNnMTke 5 184 20473 1WNk 习题 3 4 空心钢轴的外径 内径 已知间距为 的两横Dd50 ml7 2 截面的相对扭转角 材料的切变模量 试求 o GPa 1 轴内的最大切应力 2 当轴以 的速度旋转时 轴所传递的功率 min 80r 解 1 计算轴内的最大切应力 920387 5 1 01459 32 1 3 4444 mDIp 66 33W 式中 d pGIlT mmNl 270920387 81 459 381 4 mN 560 k 3 MPamNWTp 518 46184075 633max 2 当轴以 的速度旋转时 轴所传递的功率in r 56 8059 9mkNMTkke 74 1 80563 WNk 习题 3 5 实心圆轴的直径 长 其两端所受外力偶矩 mdl mkNMe 14 材料的切变模量 试求 GPa 1 最大切应力及两端面间的相对转角 2 图示截面上 A B C 三点处切应力的数值及方向 3 C 点处的切应变 解 1 计算最大切应力及两端面间的相对转角 peWMT max 式中 故 196340145 361 33 mdp MPaNpe 2 7936max pGIlT 式中 故 9817460145 3231 444 md op radmNIlT 02 1025 9876 084129 2 求图示截面上 A B C 三点处切应力的数值及方向 MPaA32 71ax 由横截面上切应力分布规律可知 BC6 50 521 A B C 三点的切应力方向如图所示 3 计算 C 点处的切应变 343 106 1057 1086 MPaG 4 习题 3 6 图示一等直圆杆 已知 md40 a0GPa80 oDB1 试求 1 最大切应力 2 截面 A 相对于截面 C 的扭转角 解 1 计算最大切应力 从 AD 轴的外力偶分布情况可知 eCDABMT 0BC pepepCBpDpi GIaMIaGIlTIlGIl 0 ae 式中 故 251374019 3231 44 mdIp NmNaGMe 8296 80 peWmax 式中 故 12564019 361 333 md MPamNMpe 8 258793max 2 计算截面 A 相对于截面 C 的扭转角 oDBpeppepBCpABpiC GIaIGIlTIlGIlT 220 习题 3 7 某小型水电站的水轮机容量为 50 转速为 300r min 钢轴直径为 75mm kW 若在正常运转下且只考虑扭矩作用 其许用切应力 试校核轴的强度 MPa2 解 1 计算最大工作切应力 peTWM max 式中 592 1305 94 mkNnNke 5 12567149 361 333 mdWp 故 MPamNMpe 82503max 2 强度校核 因为 即 所以轴的强度足够 Pa19 ax 20 max 不会发生破坏 习题 3 8 已知钻探机钻杆 参看题 3 2 图 的外径 内径 功率D60 md50 转速 钻杆入土深度 钻杆材料的kWP35 7 min 80rl4 许用切应力 假设土壤对钻杆的阻力是沿长度均匀分布的 GMa80Ma4 试求 1 单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度 2 作钻杆的扭矩图 并进行强度校核 3 两端截面的相对扭转角 解 1 求单位长度上土壤对钻杆的阻力矩集度 m 390 185 749 5 9kNnNMke 设钻杆轴为 轴 则 x xMeml 0975 43 mkNl 2 作钻杆的扭矩图 并进行强度校核 作钻杆扭矩图 xxmxT0975 43 40 0 3 mkNMTe 扭矩图如图所示 强度校核 peW max 式中 21958 60 1 1459 36 1 6 34343 mD MPamNMpe 7 295803max 6 因为 即 所以轴的强度足够 MPa761 max a40 max 不会发生破坏 3 计算两端截面的相对扭转角 40 pGIdxT 式中 65872 0 1 61459 32 1 32 4444 mD 400 122640 089 97 xmkNxdIIdxTpp 05 8 1 ra 习题 3 9 图示绞车由两人同时操作 若每人在手柄上沿着旋转的切向作用力 F 均为 0 2kN 已知轴材料的许用切应力 MPa40 试求 1 AB 轴的直径 2 绞车所能吊起的最大重量 解 1 计算 AB 轴的直径 AB 轴上带一个主动轮 两个手柄所施加的外力偶 矩相等 08 42 mkNMee 右左 16 右主 动 轮 扭矩图如图所示 由 AB 轴的强度条件得 3max dWepe右右 mNMde 7 21 40159 86 1633 右 2 计算绞车所能吊起的最大重量 主动轮与从动轮之间的啮合力相等 35 0 从 动 轮主 动 轮 ee 28 162 mkNMe 从 动 轮 由卷扬机转筒的平衡条件得 从 动 轮eP 5 0 7 28 05 P 1 kN 习题 3 10 直径 的等直圆杆 在自由端截面上承受外力偶 而md mkNMe 6 在圆杆表面上的 A 点将移动到 A1 点 如图所示 已知 圆杆材料的弹As31 性模量 试求泊松比 提示 各向同性材料的三个弹性常数 E G 间GPaE210 存在如下关系 E 解 整根轴的扭矩均等于外力偶矩 设 两截面之间的相对对转mkNMTe 61 O 角为 则 2ds s GIlTP 式中 61359201459 3231 444 mdIp GPaMamNsIlTp 487 17 86024 由 得 1 EG29 017 21 G 习题 3 11 直径 的钢圆杆 受轴向拉 60kN 作用时 在标距为 200mm 的长度d5 内伸长了 0 113mm 当其承受一对扭转外力偶矩 时 在标距为 200mm 的mkNe 长度内相对扭转了 0 732 的角度 试求钢材的弹性常数 G G 和 o 解 1 求弹性模量 E ANl GPaMamNl 48 2168 216473 02514 306 2 求剪切弹性模量 G 8499 314dIp 由 得 PIlT 8 GPaMmNIlTGp 7 8136 814349 180 732 0 26 3 泊松比 由 得 1 E25 06 2 G 习题 3 12 长度相等的两根受扭圆轴 一为空心圆轴 一为实心圆轴 两者的材料相同 受力情况也一样 实心轴直径为 d 空心轴的外径为 D 内径为 d0 且 试求当8 空心轴与实心轴的最大切应力均达到材料的许用切应力 扭矩 T 相等时的重 max 量比和刚度比 解 1 求空心圆轴的最大切应力 并求 D pWT max 式中 故 1 643 D 27 8 0 343max T空 1 273 T 1 求实心圆轴的最大切应力 pW max 式中 故 316d 3max T实 3 d 69375 1 27 3 TD 19 d 3 求空心圆轴与实心圆轴的重量比 9 512 09 360 8 01 25 0 222220 dDdDldW 实空 4 求空心圆轴与实心圆轴的刚度比 4445 8 1 3Ip 空 022dd 实 192 5904 594 31 44 DGIp实空 习题 3 13 全长为 两端面直径分别为 的圆台形杆 在两端各承受一外力偶矩l 21 deM 如图所示 试求杆两端面间的相对扭转角 解 如图所示 取微元体 则其两端面之间的扭dx 转角为 PeGId 式中 4321dp lxr 12 2121dxlrl 12ldd 4124 uxl dlu 12 x12 故 lelelelpelpe udGMduluGMdxIdGMI 041212040400 332 10 lelele dxldGlMudGlMudG 03121203120412 3 3 3213212131212 3 ddldl eee 习题 3 14 已知实心圆轴的转速 传递的功率 轴材料的许min 0r kWp0 用切应力 切变模量 若要求在 2m 长度的相对扭转角不超过MPa60 GPa8 试求该轴的直径 o1 解 1 pePGIllT 式中 故 504 13549 9mkNnNke 4321dIp GlMIep 180 lde324 mmNGle 29 1 8014 3205218042642 取 md3 习题 3 15 图示等直圆杆 已知外力偶 kMA 9 kNB 0 7 许用切应力 许可单位长度扭转角 切变kNMC 21 4Pa70 o 1 模量 试确定该轴的直径 GPa80 d 解 1 判断危险截面与危险点 作 AC 轴的扭矩图如图所示 因最大扭矩出出在 BC 段 所以危险截面出现在 BC 段 危险点出现在圆周上 2 计算危险点的应力 最大工作切应力 并代入剪 切强度条件求 d 163max dTWBCp mNdB 42 67 7014 2 32631 11 3 计算最大单位长度扭转角 出现在 BC 段 并代入扭转刚度条件求 d 4 确定 值d 4 7 max 21m 习题 3 16 阶梯形圆杆 AE 段为空心 外径 内径 BC 段为mD140 md10 实心 直径 外力偶矩 d0kNMA 8 许用切应力 许可单位长度扭转角kNMB 32kC 14Pa 切变模 试校核该轴的强度和刚度 mo 1 GPa8 解 1 AB 段的强度与刚度校核 kNTAB 1 pWmax 式中 3985 140 1459 36 1 6 3343 mDp 符合度条件 MPaamNTpAB 6 80 3max 1 pABABGIl 式中 278931 140 459 32 1 32 444 mDIp mmNGITl oopABAB 2 1 62 02783 108 429 12 符合刚度条件 2 BC 段的强度与刚度校核 mkNMTCB 14 pBWmax 式中 196340145 361 33 md 符合度条件 MPaamNTpBCA 80 2 7903max 18 pBBCGIl 式中 981746045 323 444 mdIp mmNITl oopBCB 2 1 02 13 180 41229 符合刚度条件 综合 1 2 可知 该轴符合强度与刚度条件 习题 3 17 习题 3 1 中所示的轴 材料为钢 其许用切应力 切变模MPa20 许可单位长度扭转角 试按强度条件及刚度条件选择圆轴的GPa80 mo 5 2 直径 解 1 由强度条件选择直径 轴的扭矩图如图所示 因为最大扭矩出现在 II III 轮之间 所以危险截面出现在 此段内 危险点在此段的圆周上 163max dTWIpI mNdI 80 2014 3263 2 由刚度条件选择直径 18032180 4 dGTIp 13 10808326 2 49 d 故选用 习题 3 18 一直径为 d 的实心圆杆如图所示 在承受扭转力偶 后 测得圆杆表面与eM 纵向线成 的方向上的线应变为 试导出以 d 和 表示的切变模量 G 的表达式 045 e 解 圆杆表面贴应变片处的切应力为 圆杆扭转时处于纯剪切状态 图 a 切应变 1 对角线方向线应变 2 式 2 代入 1 习题 3 19 有一薄壁厚为 内径为 的空心薄壁圆管 其长度为 作用m25250m1 在轴两端面内的外力偶矩为 试确定管中的最大切应力 并求管内的应变能 kN 180 已知材料的切变模量 GPa 图 a 14 解 1 求管中的最大切应力 pIrT max 习题 3 20 一端固定的圆截面杆 AB 承受集度为 的均布外力偶作用 如图所示 试求m 杆内积蓄的应变能 已矩材料的切变模量为 G 解 dxxmGIdxTVp 42422 163 pl GIlmdldlxd621616 3243242024 习题 3 21 簧杆直径 的圆柱形密圈螺旋弹簧 受拉力 作用 弹簧m18 kNF5 0 的平均直径为 材料的切变模量 试求 D25Pa80 1 簧杆内的最大切应力 2 为使其伸长量等于 所需的弹簧有效圈数 6 解 故 因为 15 故 圈 习题 3 22 一圆锥形密圈螺旋弹簧承受轴向拉力 F 如图 簧丝直径 材料的md10 许用切应力 切变模量为 G 弹簧的有效圈数为 试求 MPa50 n 1 弹簧的许可切应力 2 证明弹簧的伸长 1621214Rdn 解 1 求弹簧的许可应力 用截面法 以以簧杆的任意截面取出上面部分为截离 体 由平衡条件可知 在簧杆横截面上 剪力 FQ 扭矩 RT 最大扭矩 2max 41 614232322ax ax RdFdRFWTAp NmRdF 957 104 106 5 3 41 6 223 因为 所以上式中小括号里的第二项 即由 0 D Q 所产生的剪应力可以忽略不计 此时 NNRdF 25 981106 5 3 41 6 23223 2 证明弹簧的伸长 21214Gdn 外力功 FW21pIdTU 16 dnRGIFdRIFGIdRFUnpnpnp 320121203202 12 44Ip W 124421RGInFp 621214124 RdnFIp 习题 3 23 图示矩形截面钢杆承受一对外力偶 已知材料的切变模量mkNMe 3 试求 GPa80 1 杆内最大切应力的大小 位置和方向 2 横截面短边中点处的切应力 3 杆的单位长度扭转角 解 1 求杆内最大切应力的大小 位置和方 向 由表得 长边中点处的切应力 在上面 由外指向里 2 计算横截面短边中点处的切应力 MPa 17 短边中点处的切应力 在前面由上往上 3 求单位长度的转角 单位长度的转角 习题 3 24 图示 T 形薄壁截面杆的长度 在两端受扭转力矩作用 材料的切变模ml2 量 杆的横截面上和扭矩为 试求杆在纯扭转时的最大切应力GPa80 kNT 0 及单位长度扭转角 解 1 求最大切应力 MPamNhTii 25102 033621maxax 2 求单位长度转角 92012315 31 4323 mhIiit mNGITi 56 1 38 08 00412290 习题 3 25 图示为一闭口薄壁截面杆的横截面 杆在两端承受一外力偶 材料的许eM 用切应力 试求 MPa6 1 按强度条件确定其许可扭转力偶矩 eM 2 若在杆上沿母线切开一条纤缝 则其许可扭转力偶矩 将减至多少 e 解 1 确定许可扭转力偶矩 e 2min0in0max AT i Me min0 2809 5 10 25 13 2mA 18 371 0 10372462809 mkNNMe mkN 37 1 3 求开口薄壁时的 emaxax teIax teM 70923 927 314mIt 1 148 06kNNe kM 2 习题 3 26 图示为薄壁杆的的两种不同形状的横截面 其壁厚及管壁中线的周长均相同 两杆的长度和材料也相同 当在两端承受相同的一对扭转外力偶矩时 试求 1 最大切应力之比 2 相对扭转角之比 解 1 求最大切应力之比 开口 teIM 开 口max 303021 rrIt 依题意 故 a4 3303042 arrIt 23max MIMeete 开 口 闭口 20ax aAee闭 口 3432max Me 闭 口开 口 19 3 求相对扭转角之比 开口 33030421 arrIt 3 GMITetet开 口 闭口 342020 4aAsseee 闭 口 23 4 aMGaee 闭 口开 口