范德蒙行列式的证明及其应用

范德蒙德行列式的证明及其应用摘 要：介绍了阶范德蒙行列式的定义,用递推法和拉普拉斯定理两种方法证明了范德蒙行列式,辅以实例研究了它在高等代数中的一些应用.向量空间理论用来解决线性问题;在线性变换理论、多项式理论和微积分理论中,主要用它构造线性方程组,进而应用克拉默法则或相关定理判断根的情况;在行列式计算中,主要运用范德蒙行列式的结论简化阶行列式的计算过程.探究范德蒙行列式的历史及相关应用,为更进一步钻研其相关性质与应用奠定了良好的基础.关键词：范德蒙德行列式;向量空间;线性变换;应用1引言行列式本身有着长远的历史发展过程.它的理论最早可追溯到十七世纪末,在十九世纪末,其理论体系已基本形成.1683年,定义行列式概念的是日本数学家关孝和.同一年,德国数学家莱布尼茨首先开始使用指标数的系数集合来表示有三个未知数的三个一次方程组的系数.他这种解决方程组的思维方式为行列式理论的深入研究工作打下了坚实地基础.1771年,范德蒙创造性的在深入研究行列式理论的基础上,尝试解线性方程组.他这种勇于创新、敢于探索的精神为大家所认可,被公认为行列式的奠基人.他以现在被大家所熟悉的拉格朗日著作中的相关知识为理论基础,进行了反复的钻研,为后来研究群的概念奠定了良好的基础.第一个阐述行列式的数学家便是范德蒙.他运用自己的聪明才智、活跃的思维、批判的科研态度给出了现代代数书中二阶子式及余子式的定义,经过推理,演绎这一系列严谨的过程,完善了行列式的概念,并给出了行列式的数学符号记录.1772年,皮埃尔-西蒙.拉普拉斯在范德蒙著作和自身灵感的启示下,思维方法发生了变化,得出了子类型的概念.自此起,人们对行列式展开了单独的研究.人们为了深入了解行列式理论的本质特征,在19世纪展开了更深层次的研究.柯西积极吸收前人的劳动成果的同时,首次给出了行列式的系统理论.包括双重组标记法、行列式的乘法定理等.1832年至1833年,问卡尔.雅可给出了一个特殊的行列式的计算结果.基于此,1839年,卡塔兰发现了Jacobian行列式.范德蒙行列式整齐、完美的结构形式让我们体验到数学之美.简单探索它的应用,感悟数学的魅力.如果我们能够深入探索范德蒙行列式并灵活运用它,未来将更广泛的应用在数学各个领域.2范德蒙行列式的定义及证明2.1定义行列式 (1)称为阶的范德蒙（Vandermonde）行列式.由范德蒙行列式的定义,我们可以得出结论:对任意的阶范德蒙行列式等于这个数的所有可能的差的乘积.2.2范德蒙德行列式的证明2.2.1用递推法证明上式仿上做法,有再递推下去,直到.故2.2.2用Laplace定理证明已知在级行列式中,除第 行（或第列）的元素以外,行列式中其余元素全是零,则由Laplace定理得:此行列式等于与它的代数余子式的乘积,在中，从最后一行开始，每一行减去它相邻前一行的倍,得根据上述定理把每列的公因子提出来,得等式右边的第二个因子是阶行列式,用表示,则上式中同样地,可以得到此处是一个阶范德蒙行列式,一直继续下去,得3范德蒙德行列式的应用3.1在向量空间理论中的应用在解析几何中,直观上我们经常认为一维、二维、三维向量空间是有意义的.当时,就没有直接的现实意义,但在高等代数这门课程中,维向量空间却是很常见的.当涉及线性相关问题时,通常我们通过构造同构映射的方法,将其转化为范德蒙行列式的问题,进而利用该行列式是否为零判断线性相关性.例1.设是数域上的维向量空间,任给正整数,则在中存个向量,其中任取个向量都线性无关.证明:因为,所以只须在中考虑.取令是范德蒙行列式且,所以线性无关.3.2在线性变换中的应用线性变换是代数学中的一个重要概念,它的抽象性使我们在掌握这个概念时比较困难.此时,我们可以应用线性变换的定义及性质,考虑构造新函数,运用方程思想解决此类问题.例2.设数域上的维向量的线性变换有个互异的特征值,则与可交换的的线性变换是的线性组合,这里为恒等变换.证明:由题意,由于是维向量上的线性变换,由线性变换的定义得,假设是的不变子空间.根据不变子空间的特点,是与可交换的线性变换.令且,则有以下方程组 （2）由于线性方程组的系数矩阵的行列式,所以方程组（2）有唯一解,即就是这个向量线性无关,题目得证.3.3多项式理论中的应用在多项式理论中,许多题目涉及求根问题.一般情况下,我们可以用综合除法解决这类问题,但是在不知道多项式函数最高次项系数和常数项系数的条件下,我们可根据题意列出线性方程组.通过计算该线性方程组对应的系数矩阵的行列式是否为零判断根的情况,进而得出结论.例3.设.若至少有个不同的根,则.证明:取为的个不同的根.则有由齐次线性方程组 (3)其中看作未知量.且.由于该方程组的等式右端的数均为零,由变形后的定理得:此方程组的解全为零.从而.即是零多项式.3.4微积分中的应用例4.设在上连续,在内存在2阶导数.证明:在上有.这里证明:在上构造函数是范德蒙行列式,而函数满足中值定理条件:因.由中值定理,在内存在，使.故存在,使.即就是.按行列式定义展开,即得所证.3.5行列式计算中的应用涉及行列式计算问题时,经常运用行列式的性质解决问题,但其复杂多变的形式给行列式的计算增加了难度.对于具体的行列式,我们可以根据它的性质和定义解决.但对于那些结构特殊的、抽象的行列式,可通过观察、归纳总结,我们可以用特殊的方法迅速解决问题.(1)用提取公因式计算行列式例5.计算解:由观察得到:该行列式中每行元素都分别是同一个数的不同方幂,并且其方幂次数从左至右依次增加,但它的次数是由1递加至,由行列式的相关性质,得仔细观察,我们在右边的行列式中,从第2行开始,每行的1都写成该行中这个自然数的零次幂的形式,则它为阶范德蒙行列式,故 (2）对换行列式中每一行(或每一列)的次序例6.计算分析:遇到这类问题,我们经常考虑运用行列式的六条性质来解决.为此,我们可以调换该行列式的次序,将它化为标准形式.解:把行依次与上面的每一行交换至第1行,第行依次与上面的每一行交换至第2行,以此类推,由自然数排列的逆序原则,共经过次交换得到阶范德蒙行 (3)用拆行（列）计算行列式阶行列式中的行(列)由两个互异元素构成,且任意相邻两行(列)都含有共同元素,那么我们可以利用行列式的初等变换原则,通过消去一些分行中某一元素的方法,巧妙运用范德蒙行列式结论.例7.计算4阶行列式分析:观察此行列式,我们可以看出:该行列式满足拆项行(列)计算行列式的特点,因此我们可以用该方法来解决这个问题.解:消去此行列式第二行每一项中的数字1,得: (4)消去行列式 (4)第三行中加号前的元素,得: (5)再从行列式(5)中消去第4行中与第三行一样的元素得:因为该行列式为4阶范德蒙行列式,故(4)用加边法计算行列式行列式的各行（或列）有明显范德蒙行列式定义的特点,但共同元素的方幂并不是按连续的自然数的顺序依次增加,此时我们可以考虑用加边法.例8.计算4级行列式分析：D不是范德蒙德行列式,但具有该行列式的特点,可考虑构造5级的范德蒙德行列式,再利用范德蒙德行列式的结果,间接求出D的值.解：构造5阶范德蒙行列式按第五列展开得其中的系数为又利用范德蒙行列式的结果得其中的系数为故4结束语范德蒙德行列式还可以应用于数学其他科目上.例如:在数学分析中,我们可以用它来构造高阶无穷小量,在线性代数中,我们可以用它来解决向量组线性相关性的证明问题.范德蒙行列式广泛的作用更加激发了我们深入探索它的欲望.我们希望在掌握相关的基础课程和基本理论之上，研究范德蒙行列式,用科学技术指导实践,更好的服务社会,促进经济发展. 参考文献:1范臣君.范德蒙行列式在构造高阶无穷小的应用J.吉林师范大学学报,2015.2(1)2万勇,李兵.线性代数M.上海:复旦大学出版社,2006.3何江妮.范德蒙德行列式的证明及其应用J.科教文化.4Kenneth CLoudenCompiler Construction Principles and PracticeM北京:机械工业出版社,2002.5徐杰.范德蒙行列式的应用J.科技信息,2009（17）.6SERGE Lang.Linear Algebra(2nd ed)M.NeW York:Columbia University,1988.7刘彦信.高等代数(第三版)M.西北工业大学出版社,2004.8北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版）M.北京:高等教育出版社，2003.9北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第三版）M.北京：高等教育出版社，2003.Proof of Fandemengde Determinant and its Application Abstract: This paper introduces the definition of n-order Vandermonde determinant. We proved Vandermonde determinant by recurisive method and Laplasse theorem , and explored its application in the higher algebra by some examples.Vector space theory is used to solve linear problem; It was used to structure linear equcations in linear transformation theory, polynomial theory and calculus theory , and judge the situation of root by Cramers rule or related theorem; In the calculation process of determinant calculation,It is maily used to simplify the n-order determinant. It laid a good foundation for further studying its properties and application by exploring the history of Vandermonde determinant and related applications.Keywords: fandemeng determinant; vectort space; linear trasformation; application- 10 -