微积分初步

数学补充知识A 微积分初步1 函数及其图形一、函数、自变量和因变量1函数：如果有两个相互联系的变量和，每当变量取定某个值以后，按照一定的规律就可确定的对应值，我们就称是的函数，记为 （1）同一问题中遇见不同形式的函数时，可以用不同记号表示函数形式，例：（2）常见函数举例：2自变量和因变量：为自变量。的变化范围：函数的定义域。：为因变量。所有取值范围：函数的值域。 物理学中函数与自变量视研究问题而定。例：中可以有两个变量；但若V一定时，；或。3常数：上例中： 均为常数a绝对常数：（确定不变的数）b任意常数：等。任意常数需要通过具体问题确定。常用确定方法：求斜率、截距的方法；非线性函数先进行变量变换，线性化后求斜率、截距的方法等。知道了函数的形式以后，即可确定与自变量任一特定值对应的函数值。例：。一般：时，4以上所介绍的为一元函数，还有二元函数，多元函数。5复合函数：若：，则称是的复合函数，记为。Z称为中间变量。例：简谐振动，为中间变量，的复合函数。二、函数的图形 图形优点：直观了解一个函数的特征；通过作图可以拟合物理规律。1平面中的曲线可以表示几何学或物理学中两变量间的函数关系2作图方法： 逐点描迹的方法。给一个值，求对应的值，确定（） 实验中，未知函数关系时，测量，然后逐点描迹。例： 变量变换，曲线变直线。例1：例2：这种方法对于确定任意常数极为方便，是实验中常用方法之一。3二元函数的图形是三维空间中的曲面三、物理学中函数实例：反映任何一个物理规律的公式都是表达变量与变量之间的函数关系。1匀速直线运动公式 常数 。反映了位置随时间的变化规律。为任意常数，为初位置，速度，与坐标原点选择有关，对每个匀速直线运动有一定值，对不同的匀速直线运动可以取不同的值。2匀变速直线运动公式 为任意常数，根据具体问题确定。例：自由落体运动，若取起始位置为坐标原点，则：。3玻意耳定律：一定质量的气体，在温度保持不变时， 4欧姆定律：a若讨论一段导体中电流随电压关系时，b讨论串联电路电压在各电阻元件上分配时，一定，c讨论并联电路电流在各支路分配时，一定，则：结论：自变量、因变量与常数，有时从公式本身并不能明确反映不出来，需要由具体问题分析确定。2 导数一、极限：1概念：当变量无限趋近某一数值时，函数的数值无限趋近某一确定的数值，则叫做 时函数的极限值，记为： 读作：“当时，的极限等于”。2特例：此例的目的在于说明极限的意义：，根据中学知识知道，用0除以0，一般无意义。0.90.990.9990.9999-0.47-0.0497-0.04997-0.0049997-0.1-0.01-0.001-0.00014.74.974.9974.99971.11.011.0011.00010.530.05030.0050030.000500030.10.010.0010.00015.35.035.0035.0003由表可以看出时，。这一特例说明了极限的概念。当然，此题有更为简单的方法，即： 二、物理学中极限的例子：1瞬时速度（率）（以直线运动为例）（1）平均速率：a一般公式：b匀变速直线运动：， 上式说明，愈小，愈能反映时刻的情况。（2）瞬时速率：对匀变速直线运动：2瞬时加速度（实际问题中需要描述速度变化的快慢）定义平均加速度：对匀变速直线运动： 一般的变速运动与有关，愈小，愈能反映时刻速度变化的快慢瞬时加速度：3坡度 三、导数函数的变化率以上三例的特点：反映了函数的变化趋势，变化快慢，变化率。1增量：变量由一个值变为另一个值时，后者减去前者叫增量，用表示。例：若，则自变量增量；函数（因变量）：，因变量增量： *：变量增加；变量减小。2平均变化率：3函数的导数或微商：函数在这一区间的平均变化率在自变量时的极限值叫的导数或微商，记为也可记为：4意义：导数代表函数在某一点（研究点）的变化率*：本身也可以是的函数，（即不同的自变量处变化率不同），因此可以再取它对的导数，叫做函数的二阶导数，记为或或 5物理学中的实例：瞬时速率：瞬时速率是研究某一时刻的位置对时间的变化率。瞬时加速度：水渠坡度：四、导数的几何意义：如图：研究曲线在 点的切线的斜率。 M （1）割线与切线为割线，若沿曲线趋于点时，变为，为曲线在点的切线，此时夹角一定。（2）斜率：直线与横轴夹角的正切。（3）一锐角，曲线上扬，钝角，曲线下斜，（指切线或割线与轴正向间的夹角）（4）割线的斜率 切线的斜率：导数的几何意义表示了曲线在某点的斜率。它反映了曲线在该点的变化趋势。3 导数的运算一、基本公式： 二、基本运算法则： 三、函数的极值点和极值：若函数在点附近（即在某一领域有定义）且比在领域内所有各点的值都大（或都小）。极大值 极小值 极值 极大点 极小点极值点极值条件：若函数在点附近有连续的导数1若， 则在处取极大值。2若， 则在处取极小值。四、微分：自变量的微分：就是自变量一个无限小的增量，用表示的微分函数在点处的微分：等于函数对自变量的导数乘以自变量的微分，记为（1）函数的微分是自变量微分的线性函数。（2）如图是曲线上两邻点y Q dyP1 yP0 Mx 结论：微分和增量有区别，微分是函数增量的线性主要部分；部分是非线性部分。仅当足够小时，例题：例题1：求的导数。解：例2 求的导数解：例3：求的导数解：令： 例4：求的导数 例5：求的导数。解：例6：求的导数令： 例7：求 的导数令： 作业：4 不定积分一、原函数例子：一维运动 ，若已知，如何求物体的运动坐标？这一问题的实质为：已知某函数的导数，如何求这个函数。1原函数：设是定义在某一区间上的函数，若存在函数，使得在这个区间上的每个点有 则称在该区间的一个原函数。2例：的一个原函数 的一个原函数3若的一个原函数，即， 所以也是的原函数。可见，只要函数有一个原函数，它就有无限多个原函数，彼此间相差一个常数，可统一用表示。二、不定积分：1不定积分：求函数的所有原函数叫求函数的不定积分，记为。设是的一个原函数，则 称为被积函数；为积分变量；称为被积式；：为积分号；：积分常数。*理解：（1）代表了无穷多个的原函数，每个相差一个常数，导数均为（2） 图线叫的一条积分曲线。（3）：积分曲线族。 确定处，所有曲线斜率相等。2不定积分的性质：（1）先作不定积分，再求导，仍为，（积分求导为互逆运算）（2）先求导，再积分，只差一个常数。对一个函数的导数积分，得到这个函数与一个常数之和。结论：求不定积分与求导互为逆运算。3基本积分公式见P412413三、不定积分的运算法则：若能找到函数使得，则只要求出，即可得，（换元法）可以把一些比较复杂的积分换成基本积分表中给出的现成结果。四、例题：例1：求 解：令 例2：求解： 令：则： 例3：求 解：令： 例4：求解：设： 。5 定积分一、定积分的概念：先看以下实例：1曲边梯形的面积：求轴围成的面积（1）将区间分成n等分，每个子区间（2）求第个狭条面积，在 高 （3）近似面积： （4）精确面积：2变速直线运动的位移匀速直线运动时 变速时（1）先将区间n等分，每个子区间（2）求第 个子区间内的路程，（近似为狭条面积） （3）总路程近似值，（4）精确值：3变力作功：若力与物体位移方向一致时，对恒力而言变力：（1）先将区间n等分，每个子区间（2）求第个子区间中，力的功 （面积）（3）功的近似值：（4）精确值：4定积分：设函数在区间上连续，用一系列分点 将变量区间等分为n个子区间，每个子区间为，在每个子区间任取一点（），则求和式 当即时的极限叫函数在区间的定积分，记为*（1）叫积分下限和上限，叫积分区间，其它同前。（2）定积分的几何意义：函数曲线，自变量坐标轴以及积分上、下限围成的面积。（3）定积分的值可以大于零，也可以小于零，由定积分定义可知，以上三例可以写为定积分， 类似：设 变加速直线运动速度二、定积分的主要性质 三、牛顿莱布尼茨公式设是函数在区间的一个原函数，即，则： 或： 例1：求匀变速直线运动位移公式解： 例2：若力与距离平方成反比，即： ，求从处外力作的功解： 例3：计算 解：令 例4：计算围成的面积解：两曲线交于两点