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二次函数及指、对数函数问题的探究一、基础检测1、(2019南京、盐城一模）已知yf(x)为定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)ex1，则f(ln2)的值为_【答案】3【解析】因为f(x)为奇函数，所以f(ln2)f(ln2)(eln21)(21)3.2、(2016常州期末） 函数f(x)log2(x22)的值域为_【答案】. 【解析】由题意可得x220，即x22(0,2，故所求函数的值域为.3、(2018南京、盐城、连云港二模）函数f(x)lg(2x)的定义域为_【答案】. (，2)【解析】由题意得2x0，即x0，解得00，得2xa.显然a0，所以xlog2a.由题意，得log2a，即a.解法2 (秒杀解法)当x时，必有10，解得a.7、 (2018苏北四市、苏中三市三调）已知函数f(x)x2axb(a，bR)的图像与x轴相切，若直线yc与yc5分别交f(x)的图像于A，B，C，D四点，且四边形ABCD的面积为25，则正实数c的值为_【答案】4【解析】：由题意得a24b.又由x2axbc得AB|x1x2|2.同理CD2.因为四边形ABCD为梯形，所以25(22)5，解得c4.8、(2017徐州、连云港、宿迁三检）如图，已知正方形的边长为，平行于轴，顶点，和分别在函数，和()的图象上，则实数的值为 _ yxOADBC【答案】 【解析】设（），因为正方形的边长为2，所以，则，即，解之得，即所求的实数的值为9、(2017徐州、连云港、宿迁三检）已知对于任意的，都有，则实数的取值范围是 【答案】 【解析】 当，即，时，满足题意；当，即，或时，则，解之得，所以，又因为或，所以，综上所述，实数的取值范围为。10、(2017苏北四市一模）已知函数f(x)|x24|a|x2|，x3,3若f(x)的最大值是0，则实数a的取值范围是_【答案】 (，5【解析】思路分析1 通过去绝对值进行分类讨论来求解思路分析2 注意到函数f(x)可以转化为f(x)|x2|(|x2|a)，而|x2|0，因此，需要|x2|a0在3,3上恒成立，这样问题就转化为一个简单的恒成立问题了解法1 因为函数f(x)的最大值为0，故f(x)0在3,3上恒成立，从而f(3)0，解得a5.又f(x)因为a5，所以，当时，画出f(x)的草图，结合图像，可知函数f(x)在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增因为f(2)0，故f(3)0且f(3)0，解得a5.当3，即a6时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，且f(2)0，所以f(x)0恒成立故a5.解法2 因为f(x)|x2|(|x2|a)，|x2|0，且函数f(x)的最大值为0，故|x2|a0在3,3上恒成立，从而a|x2|在3,3上恒成立因为(|x2|)min5，故a5.解后反思 解法1是通过去绝对值的方法来进行分类讨论求解的，在求解的过程中，应用了一般与特殊的关系来简化了问题的讨论过程，已知函数最大值或最小值，这当中就隐含着一个恒成立，即f(x)M或f(x)M，有效地利用它可以简化问题；解法2是通过将二次函数问题通过应用函数的特殊特征，将问题转化为了一次函数来加以解决，简化了问题当然，本题也可以通过直接对a进行讨论来解决问题，但这样做要讨论的情形就要比解法1的解法繁琐得多二、拓展延伸题型一、一元二次函数最值问题的探究知识点拨：解决二次函数最值的关键是抓住图象的开口方向、对称轴与区间的相对位置；不等式恒成立问题关键是看不等式的特点，灵活运用函数的性质，如二次不等式恒成立问题可运用图象、分离变量运用函数值域法等；已知含参数的方程的解的个数求参数的取值范围时根据方程的特点，可运用函数的图象处理.例1、 （2018年泰州中学期末试题）求二次函数在区间上的最大值【解析】 ，对称轴为当时（）当时，即时，；（）当时，即时，；当时，（）当时，即时，；（）当时，即时，综上所述，【变式1】（2018年金沙中学期中测试试题）已知函数f(x)4x24mxm22m2在区间0，2上有最小值3，求实数m的取值范围解析：本题是二次函数在给定区间上的最值问题，主要考查用分类讨论思想解决问题的能力，即具体要考虑二次函数的对称轴x与给定区间0，2的三种位置关系【解析】：由题意知f(x)42m2的图象开口向上，对称轴为x，从而有或或解得或 或 m5或m1.综上所述，实数m的取值范围是m1或5.点评：本题考查了二次函数的性质、配方法、图象法及分类讨论的思想；要注意函数的定义域，要考虑对称轴是否在函数所给的定义域内【变式2】、（2017年金陵中学期调研）已知函数f(x)x22ax1a在x0,1时有最大值2，求a的值.【解析】函数f(x)x22ax1a(xa)2a2a1，对称轴方程为xa.(1)当a1时，f(x)maxf(1)a，a2.综上可知，a1或a2.【关联1】、（2016年徐州开学初调研）已知函数y2sin2x2asin x3有最小值，记作g(a)(1) 求g(a)的解析式；(2) 求g(a)的最大值解：令sin xt，则t1，1，则原题转化为求二次函数f(t)2t22at3在t1，1上的最小值(1) 由题意知函数f(t)的对称轴方程是t，根据二次函数的对称轴与题设区间的相对位置分类讨论： 当1，即a2时，g(a)f(1)2a5； 当11，即2a2时，g(a)f3； 当1，即a2时，g(a)f(1)52a.综上可知，函数g(a)的解析式为g(a)(2) 当a2时，g(a)1；当2a0)在区间1，2上有两个不同的零点，则的取值范围为_【答案】0，1) 由两个零点来表示，所以可设二次函数的零点式 利用二次函数的零点分布知识得到a，b，c的约束条件，将问题转化为线性规划问题解决解法1(二次函数的零点式) 设f(x)a(xx1)(xx2)，其中1x1x22，则(x11)(x21)因为0x110)，当x1，3时，函数f(x)的值域为A，若A8，16，则a的值是_【答案】15 题设“当x1，3时，函数f(x)的值域为A，若A8，16”等价于“对于任意的x1，3，不等式8x16恒成立解法1(分离变量法) 由题意，对于任意的x1，3，不等式8x16恒成立，也就是说，不等式x(8x)ax(16x)恒成立，故x(8x)maxax(16x)min，即15a15，所以a15.解法2(特值法) 由题意，当x1，3时，即所以a15.【变式2】(2018苏锡常镇调研） 已知函数f(x)(e是自然对数的底)若函数yf(x)的最小值是4，则实数a的取值范围为_【答案】 e4，)解法1 在x1时，f(x)minf(2)4.所以当x1时，aex4恒成立转化为aex4对x1恒成立因为ex4在(，1)上的值域为(4，e4)，所以ae4.解法2 当xae，当x1时，f(x)x4，当且仅当x，即x2时，取“”，故函数f(x)的值域是e4，) . 解法1中，因为ex4在x1上没有最大值，所以要特别注意边界值e4能否取到【变式3】、(2017苏锡常镇调研） 已知f(x)是定义在2,2上的奇函数，当x(0,2时，f(x)2x1，函数g(x)x22xm.如果x12,2，x22,2，使得g(x2)f(x1)，则实数m的取值范围是_【答案】5，2解析：因为x(0,2，函数f(x)2x1，所以f(x)的值域为(0,3又因为f(x)是2,2上的奇函数，所以x0时，f(0)0，所以在2,2上f(x)的值域为3,3而在2,2上g(x)的值域为m1,8m如果对于任意的x12,2，都存在x22,2，使得g(x2)f(x1)，则有3，3m1,8m，所以即所以5m2.11、(2016南通一模）已知函数f(x)x，若存在x，使得f(x)2，则实数a的取值范围是_答案： (1,5)解法1 当x1,2时，f(x)2，等价于|x3ax|2，即2x3ax2，即x32axx32，得到x2ax2，即minamax，得到1a5.解法2 原问题可转化为先求：对任意x1,2，使得f(x)2时，实数a的取值范围则有x|x2a|2，即|ax2|.(1) 当a4时，ax2225，得到a5.(2) 当a1时，x2a，有ax211，得到a1.(3) 当1a0矛盾那么有a1或a5，故原题答案为1a5. 对于存在性问题，可以直接转化为相应函数的最值问题，也可以参数和变量分离后再转化为函数的最值问题(如解法1)；也可以转化为命题的否定即恒成立问题来处理(如解法2)12、(2016苏锡常镇调研）已知函数f(x)ex1x2(e为自然对数的底数)，g(x)x2axa3，若存在实数x1，x2，使得f(x1)g(x2)0，且|x1x2|1，则实数a的取值范围是_. 答案： 2,3解析：易知函数f(x)ex1x2为单调递增函数，且f(1)e0120，从而x11.因为|x1x2|1，所以|1x2|1，所以0x22.题意也就可转化为存在实数x0,2，使得x2axa30成立，即存在实数x0,2，使得a成立令tx1(t1,3)，则g(t)t22 22，当且仅当t，即t2，x1时取等号又因为g(t)maxmaxg(1)，g(3)3，所以函数g(t)t2的值域为2,3，从而实数a的取值范围是2,3解后反思 本题的突破口是利用函数f(x)的单调性求出x11，然后转化成求函数值域问题，那么求实数a的取值范围就属于常规问题了，考生要特别关注这种创新与传统相结合的试题
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