2020年高考数学《二次函数及指、对数函数问题的探究》专项训练及答案解析

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资源描述
二次函数及指、对数函数问题的探究一、基础检测1、(2019南京、盐城一模)已知yf(x)为定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)ex1,则f(ln2)的值为_【答案】3【解析】因为f(x)为奇函数,所以f(ln2)f(ln2)(eln21)(21)3.2、(2016常州期末) 函数f(x)log2(x22)的值域为_【答案】. 【解析】由题意可得x220,即x22(0,2,故所求函数的值域为.3、(2018南京、盐城、连云港二模)函数f(x)lg(2x)的定义域为_【答案】. (,2)【解析】由题意得2x0,即x0,解得00,得2xa.显然a0,所以xlog2a.由题意,得log2a,即a.解法2 (秒杀解法)当x时,必有10,解得a.7、 (2018苏北四市、苏中三市三调)已知函数f(x)x2axb(a,bR)的图像与x轴相切,若直线yc与yc5分别交f(x)的图像于A,B,C,D四点,且四边形ABCD的面积为25,则正实数c的值为_【答案】4【解析】:由题意得a24b.又由x2axbc得AB|x1x2|2.同理CD2.因为四边形ABCD为梯形,所以25(22)5,解得c4.8、(2017徐州、连云港、宿迁三检)如图,已知正方形的边长为,平行于轴,顶点,和分别在函数,和()的图象上,则实数的值为 _ yxOADBC【答案】 【解析】设(),因为正方形的边长为2,所以,则,即,解之得,即所求的实数的值为9、(2017徐州、连云港、宿迁三检)已知对于任意的,都有,则实数的取值范围是 【答案】 【解析】 当,即,时,满足题意;当,即,或时,则,解之得,所以,又因为或,所以,综上所述,实数的取值范围为。10、(2017苏北四市一模)已知函数f(x)|x24|a|x2|,x3,3若f(x)的最大值是0,则实数a的取值范围是_【答案】 (,5【解析】思路分析1 通过去绝对值进行分类讨论来求解思路分析2 注意到函数f(x)可以转化为f(x)|x2|(|x2|a),而|x2|0,因此,需要|x2|a0在3,3上恒成立,这样问题就转化为一个简单的恒成立问题了解法1 因为函数f(x)的最大值为0,故f(x)0在3,3上恒成立,从而f(3)0,解得a5.又f(x)因为a5,所以,当时,画出f(x)的草图,结合图像,可知函数f(x)在上单调递减,在上单调递增,在上单调递减,在上单调递增因为f(2)0,故f(3)0且f(3)0,解得a5.当3,即a6时,f(x)在上单调递增,在上单调递减,且f(2)0,所以f(x)0恒成立故a5.解法2 因为f(x)|x2|(|x2|a),|x2|0,且函数f(x)的最大值为0,故|x2|a0在3,3上恒成立,从而a|x2|在3,3上恒成立因为(|x2|)min5,故a5.解后反思 解法1是通过去绝对值的方法来进行分类讨论求解的,在求解的过程中,应用了一般与特殊的关系来简化了问题的讨论过程,已知函数最大值或最小值,这当中就隐含着一个恒成立,即f(x)M或f(x)M,有效地利用它可以简化问题;解法2是通过将二次函数问题通过应用函数的特殊特征,将问题转化为了一次函数来加以解决,简化了问题当然,本题也可以通过直接对a进行讨论来解决问题,但这样做要讨论的情形就要比解法1的解法繁琐得多二、拓展延伸题型一、一元二次函数最值问题的探究知识点拨:解决二次函数最值的关键是抓住图象的开口方向、对称轴与区间的相对位置;不等式恒成立问题关键是看不等式的特点,灵活运用函数的性质,如二次不等式恒成立问题可运用图象、分离变量运用函数值域法等;已知含参数的方程的解的个数求参数的取值范围时根据方程的特点,可运用函数的图象处理.例1、 (2018年泰州中学期末试题)求二次函数在区间上的最大值【解析】 ,对称轴为当时()当时,即时,;()当时,即时,;当时,()当时,即时,;()当时,即时,综上所述,【变式1】(2018年金沙中学期中测试试题)已知函数f(x)4x24mxm22m2在区间0,2上有最小值3,求实数m的取值范围解析:本题是二次函数在给定区间上的最值问题,主要考查用分类讨论思想解决问题的能力,即具体要考虑二次函数的对称轴x与给定区间0,2的三种位置关系【解析】:由题意知f(x)42m2的图象开口向上,对称轴为x,从而有或或解得或 或 m5或m1.综上所述,实数m的取值范围是m1或5.点评:本题考查了二次函数的性质、配方法、图象法及分类讨论的思想;要注意函数的定义域,要考虑对称轴是否在函数所给的定义域内【变式2】、(2017年金陵中学期调研)已知函数f(x)x22ax1a在x0,1时有最大值2,求a的值.【解析】函数f(x)x22ax1a(xa)2a2a1,对称轴方程为xa.(1)当a1时,f(x)maxf(1)a,a2.综上可知,a1或a2.【关联1】、(2016年徐州开学初调研)已知函数y2sin2x2asin x3有最小值,记作g(a)(1) 求g(a)的解析式;(2) 求g(a)的最大值解:令sin xt,则t1,1,则原题转化为求二次函数f(t)2t22at3在t1,1上的最小值(1) 由题意知函数f(t)的对称轴方程是t,根据二次函数的对称轴与题设区间的相对位置分类讨论: 当1,即a2时,g(a)f(1)2a5; 当11,即2a2时,g(a)f3; 当1,即a2时,g(a)f(1)52a.综上可知,函数g(a)的解析式为g(a)(2) 当a2时,g(a)1;当2a0)在区间1,2上有两个不同的零点,则的取值范围为_【答案】0,1) 由两个零点来表示,所以可设二次函数的零点式 利用二次函数的零点分布知识得到a,b,c的约束条件,将问题转化为线性规划问题解决解法1(二次函数的零点式) 设f(x)a(xx1)(xx2),其中1x1x22,则(x11)(x21)因为0x110),当x1,3时,函数f(x)的值域为A,若A8,16,则a的值是_【答案】15 题设“当x1,3时,函数f(x)的值域为A,若A8,16”等价于“对于任意的x1,3,不等式8x16恒成立解法1(分离变量法) 由题意,对于任意的x1,3,不等式8x16恒成立,也就是说,不等式x(8x)ax(16x)恒成立,故x(8x)maxax(16x)min,即15a15,所以a15.解法2(特值法) 由题意,当x1,3时,即所以a15.【变式2】(2018苏锡常镇调研) 已知函数f(x)(e是自然对数的底)若函数yf(x)的最小值是4,则实数a的取值范围为_【答案】 e4,)解法1 在x1时,f(x)minf(2)4.所以当x1时,aex4恒成立转化为aex4对x1恒成立因为ex4在(,1)上的值域为(4,e4),所以ae4.解法2 当xae,当x1时,f(x)x4,当且仅当x,即x2时,取“”,故函数f(x)的值域是e4,) . 解法1中,因为ex4在x1上没有最大值,所以要特别注意边界值e4能否取到【变式3】、(2017苏锡常镇调研) 已知f(x)是定义在2,2上的奇函数,当x(0,2时,f(x)2x1,函数g(x)x22xm.如果x12,2,x22,2,使得g(x2)f(x1),则实数m的取值范围是_【答案】5,2解析:因为x(0,2,函数f(x)2x1,所以f(x)的值域为(0,3又因为f(x)是2,2上的奇函数,所以x0时,f(0)0,所以在2,2上f(x)的值域为3,3而在2,2上g(x)的值域为m1,8m如果对于任意的x12,2,都存在x22,2,使得g(x2)f(x1),则有3,3m1,8m,所以即所以5m2.11、(2016南通一模)已知函数f(x)x,若存在x,使得f(x)2,则实数a的取值范围是_答案: (1,5)解法1 当x1,2时,f(x)2,等价于|x3ax|2,即2x3ax2,即x32axx32,得到x2ax2,即minamax,得到1a5.解法2 原问题可转化为先求:对任意x1,2,使得f(x)2时,实数a的取值范围则有x|x2a|2,即|ax2|.(1) 当a4时,ax2225,得到a5.(2) 当a1时,x2a,有ax211,得到a1.(3) 当1a0矛盾那么有a1或a5,故原题答案为1a5. 对于存在性问题,可以直接转化为相应函数的最值问题,也可以参数和变量分离后再转化为函数的最值问题(如解法1);也可以转化为命题的否定即恒成立问题来处理(如解法2)12、(2016苏锡常镇调研)已知函数f(x)ex1x2(e为自然对数的底数),g(x)x2axa3,若存在实数x1,x2,使得f(x1)g(x2)0,且|x1x2|1,则实数a的取值范围是_. 答案: 2,3解析:易知函数f(x)ex1x2为单调递增函数,且f(1)e0120,从而x11.因为|x1x2|1,所以|1x2|1,所以0x22.题意也就可转化为存在实数x0,2,使得x2axa30成立,即存在实数x0,2,使得a成立令tx1(t1,3),则g(t)t22 22,当且仅当t,即t2,x1时取等号又因为g(t)maxmaxg(1),g(3)3,所以函数g(t)t2的值域为2,3,从而实数a的取值范围是2,3解后反思 本题的突破口是利用函数f(x)的单调性求出x11,然后转化成求函数值域问题,那么求实数a的取值范围就属于常规问题了,考生要特别关注这种创新与传统相结合的试题
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