概率论一二章习题详解

习题一 （A）1. 用三个事件的运算表示下列事件：（1）中至少有一个发生；（2）中只有发生；（3）中恰好有两个发生；（4）中至少有两个发生；（5）中至少有一个不发生；（6）中不多于一个发生.解：（1） （2） (3) (4) (5) (6) 2. 在区间上任取一数， 记 ，求下列事件的表达式：（1）； （2）； (3) .解：（1） （2） （3）3. 已知，求.解：, 4. 已知，求与.解：, , , 5.将13个分别写有的卡片随意地排成一行，求恰好排单词“”的概率.解：6. 从一批由45件正品、5件次品组成的产品中任取3件产品，求其中恰好有1件次品的概率.解：7. 某学生研究小组共有12名同学，求这12名同学的生日都集中在第二季度（即4月、5月和6月）的概率.解： :8. 在100件产品中有5件是次品，每次从中随机地抽取1件，取后不放回，求第三次才取到次品的概率.解：设表示第次取到次品， 9. 两人相约7点到8点在校门口见面，试求一人要等另一人半小时以上的概率.解：10. 两艘轮船在码头的同一泊位停船卸货，且每艘船卸货都需要6小时.假设它们在一昼夜的时间段中随机地到达，求两轮船中至少有一轮船在停靠时必须等待的概率.解：11. 任取两个不大于的正数，求它们的积不大于，且它们和不大于1的概率.解： ， ，所以 ， 12. 设 证明：.证明： 13. 有朋自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车和坐汽车的概率分别为 .若坐火车来，迟到的概率是；若坐船来，迟到的概率是；若坐汽车来，迟到的概率是；若坐飞机来，则不会迟到.求他迟到的概率.解：14. 设10个考题签中有4个难答，3人参加抽签，甲先抽，乙次之，丙最后.求下列事件的概率： （1）甲抽到难签； （2）甲未抽到难签而乙抽到难签； （3）甲、乙、丙均抽到难签.解；（1） （2） （3） 15. 发报台分别以概率0.6和0.4发出信号“”和“” .由于通信系统受到干扰，当发出信号“”时，收报台未必收到信号“”，而是分别以概率0.8和0.2收到信号“”和“”；同样，当发出信号“”时，收报台分别以0.9和0.1收到信号“”和“”.求：（1）收报台收到信号“”的概率；（2）当收到信号“”时，发报台确实是发出信号“”的概率.解：（1） （2）16. 设相互独立，求.解： , 17. 两两独立的三事件满足并且.若，求.解： , 18、证明：（1）若，则. （2）若，则事件与相互独立.证明：（1） , (2) , 19. 甲、乙、丙三人独立地向一架飞机射击.设甲、乙、丙的命中率分别为0.4，0.5，0.7. 又飞机中1弹，2弹，3弹而坠毁的概率分别为0.2，0.6，1. 若三人各向飞机射击一次，求：（1）飞机坠毁的概率；（2）已知飞机坠毁，求飞机被击中2弹的概率.解：（1） （2） 20. 三人独立破译一密码，他们能独立译出的概率分别为0.25，0.35，0.4.求此密码能被译出的概率.解： 21. 在试验中，事件发生的概率为，将试验独立重复进行三次，若在三次试验中“至少出现一次的概率为”，求.解：，22. 已知某种灯泡的耐用时间在1000小时以上的概率为0.2，求三个该型号的灯泡在使用1000小时以后至多有一个坏掉的概率.解：23. 设有两箱同种零件，在第一箱内装50件，其中有10件是一等品；在第二箱内装有30件，其中有18件是一等品.现从两箱中任取一箱，然后从该箱中不放回地取两次零件，每次1个，求：（1）第一次取出的零件是一等品的概率；（2）已知第一次取出的零件是一等品，第二次取出的零件也是一等品的概率.解： （1） (2) （B） 1.箱中有个白球和个黑球，从中不放回地接连取次球，每次1个.求最后取出的是白球的概率.解：2. 一栋大楼共有11层，电梯等可能地停在2层至11层楼的每一层，电梯在一楼开始运行时有6位乘客，并且乘客在2层至11层楼的每一层离开电梯的可能性相等，求下列事件的概率： （1）某一层有两位乘客离开； （2）没有两位及以上的乘客在同一层离开； （3）至少有两位乘客在同一层离开.解：（1） （2） (3) 3.将线段任意折成3折，求此3折线段能构成三角形的概率.解：， ， 4. 设平面区域由四点围成的正方形，现向内随机投10个点，求这10个点中至少有2个落在由曲线和直线所围成的区域的概率.解： ， 5. 设有来自三个地区的10名、15名、25名考生的报名表，其中女生的报名表分别为3份、7份、5份. 随机地取一个地区的报名表，从中先后抽取两份.（1）求先抽到的一份是女生表的概率；（2）已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的是女生表的概率.解：（ 1） （2） 6. (Banach问题)某数学家有两盒火柴，每盒装有根，每次使用时，他在任一盒中取一根，问他发现一空盒，而另一盒还有根火柴的概率是多少.解：习题二 （ A ）1同时抛掷3枚硬币，以表示出现正面的枚数，求的分布律。解：, 2. 一口袋中有6个球，依次标有数字，从口袋中任取一球，设随机变量为取到的球上标有的数字，求的分布律以及分布函数.解： 3.已知随机变量的分布函数为 ，求概率解： 4.设随机变量的分布函数为 求：（1）的值；（2）求.解：由于在点处右连续，所以,即 ， 。 5. 设离散型随机变量的分布律为 (1)(2)分别求出上述各式中的.解：（1）， (2) ，6.已知连续型随机变量的分布函数为 ，求常数和。解：，。7.已知连续型随机变量的概率密度为 ，求常数和概率.解： ， 8.已知连续型随机变量的概率密度为 ，求的分布函数。 解： 9.连续不断地掷一枚均匀的硬币，问至少掷多少次才能使正面至少出现一次的概率不少于0.99.解：， 10 .设每分钟通过某交叉路口的汽车流量服从泊松分布，且已知在一分钟内无车辆通过与恰有一辆车通过的概率相同，求在一分钟内至少有两辆车通过的概率.解：, ，。 11.设每次射击命中目标的概率为0.001，共射击5000次，若表示命中目标的次数。（1）求随机变量的分布律；（2）计算至少有两次命中目标的概率.解：（1） （2）, 12.设随机变量的密度函数为.（1）求常数；（2）求的分布函数。（3）求.解：（1）， （2） （3）13.证明：函数（为正常数）是某个随机变量的密度函数.证明：由于在内，且 ，所以，是某随机变量的概率密度。14.设随机变量的概率密度为，求：（1）的分布函数；（2）求.解：（1） , （2）.15.某种显像管的寿命（单位：千小时）的概率密度为 ，（1）求常数的值；（2）求寿命小于1千小时的概率.解：（1） （2）。16.设，（1）求，.（2）已知，,，求常数.解： （1） （2）查表知， 17.设，求：（1）；（2）；（3）.解： （1） （2） （3）18. 设随机变量服从参数为的泊松分布，记随机变量，求随机变量的分布律.解： .19. 设随机变量的概率密度为， 对独立重复观察三次，求至少有两次观察值不大于的概率.解：用表示观察值不大于的次数，则， 20. 已知电源电压服服从正态分布 ,在电源电压处于, 三种情况下，某电子元件损坏的概率分别为。（1） 求该电子元件损坏的概率；（2） 已知该电子元件损坏，求电压在的概率 解： (1) (2) 21. 假设自动生产线加工的某种零件的内径服从正态分布，内径小于10或大于12 为不合格品，其余为合格品，销售每件合格品获利，销售每件不合格品则亏损，若销售利润与销售零件的内径有下列关系 求的分布律.解： 22. 已知随机变量的分布律为，求的分布律。解： 23. 设随机变量服从上的均匀分布，求的概率密度.解： ， 24. 设随机变量服从参数为的指数分布，令，求随机变量的密度函数.解：， 。 由于，所以当时，；当时，；当时， ，于是 25. 设随机变量，求随机变量的密度函数.解： ， 当时，；当时， ，于是， （ B ）1. 某种电子元件的寿命（单位：小时）的概率密度为 ，（1）求该电子元件能正常使用小时以上的概率；（2）已知该电子元件已经使用了小时，求它还能只用小时的概率。解：（1）； （2） 。 2. 设连续型随机变量的密度函数是偶函数，证明：（1）和有相同的分布；（2）.证明：（1）令，则的分布函数 ，从而的概率密度为 ，所以与具有相同的概率密度。（2） ，令，则 ，所以 。3.设随机变量的概率密度为 ， ，求（1） 随机变量的概率密度。（2） 随机变量的概率密度。解： （1） 当时， ，当时，进而 。综上所述， ；（2）当时， ，于是的概率密度为 ；当时，；当时，于是 。4. 设一大型设备在任何长度为的时间间隔内发生故障的次数服从参数为（为常数）的泊松分布。(1) 求相继两次故障之间的时间间隔的概率密度；（2）求在设备已经无故障工作8小时的情形下再无故障工作8小时的概率。解： ，。（1）的分布函数为，当时，；当时， ，于是的概率密度为 。 （2）。16