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五、（导）函数的零点（方程的根或曲线与轴的交点）1、函数方程的根三种语言：函数的零点，曲线与轴的交点，方程的根常用方法： 存在性 闭区间上连续函数的介值定理 唯一性 单调性(导数的符号); 反证法；简单作图（单调区间，极值），分析与轴的相对位置（1） 设常数，在内零点个数为 （2） 当取何值时，恰好有两个不同零点 2 4 6 8（3）若，则方程 无实根 有唯一实根 有三个不同实根 有五个不同实根（4）设函数在连续，且，则在内的根是 0 1 2 无穷多个（5）在内，方程 无实根 有且仅有唯一实根 有且仅有两个实根 有无穷多个实根（6）证明 在内有且仅有两个不同实根（7）讨论 的零点个数（8）讨论曲线与的交点个数 （2003,2） （9）就的不同取值，确定方程在内根的个数，并证明你的结论（10）求方程不同实根的个数，其中为参数 （2011,1）（11）设有方程，其中为正整数，证明此方程存在唯一正实根 （2004,1） (12)证明方程恰有2个实根 （2011,3）第三部分 一元函数积分学一 、基本要求1掌握不定积分的基本性质和基本积分公式2掌握不定积分的换元与分部积分法 3会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分(数一、二)4理解定积分的概念和基本性质，掌握定积分中值定理5理解积分上限函数，并会求其导数6会计算反常积分7掌握定积分计算平面图形的面积，旋转体的体积和函数的平均值；（仅数一、二要求）掌握用定积分计算平面曲线的弧长，旋转体的侧面积，平行截面面积已知的立体体积；功引力、压力等；（仅数三要求）利用定积分求解简单的经济应用问题二 、重点1不定积分与定积分的概念、性质、计算2 各种类型的变限积分问题3和定积分相关的证明4 定积分的应用问题三 、难点1和定积分相关的证明2 定积分的应用问题四 、内容小结1 原函数（不定积分）存在定理连续函数必有原函数注：含间断点的函数也可能存在原函数如， ，在不连续，但显然是的一个原函数，因为是只有一个间断点的有界函数，所以可积，且2 不定积分的性质上 其中 3 基本公式（熟） 4 基本积分法 重要 凑微分法: 熟悉常见的凑微分因子换元法: 三角代换 、根式代换、倒代换、指数代换、其他代换 分部积分法: 适用于两种不同类型函数乘积的积分 注：，等在初等函数范围内没有原函数！5 定积分定义 连续可积，即 特例： ，即 等分 如，（1）（2）（3）（4）（2004,2） 等于 （5）6 定积分性质 （1） （2） （3）线性性质、可加性 （4） 以上性质用于计算！ （5）比较定理 若在可积且，则 事实上，若在连续，且，只要不恒等于，则 推论： 若在可积，且，则 若在可积，则在可积，且 常考！若是上非负的连续函数， 只要不恒等于零，则必有 （6）估值定理 设的最小值与最大值分别为和， 则 （7）定积分中值定理 常用于证明！ 若在连续，则在上至少存在一点， 使 或 称 上式为在的平均值公式 （8）如果在连续，且不变号，则至少存在一点，使7重要公式、定理（1） ； ； （2）变限积分的性质及其导数若在可积，则在上连续； 若在连续，则在上可导 证明定积分有关命题时使用！注：变限积分只要存在就是连续的！ 设是连续函数， （3）当为奇函数，为偶函数； 当为偶函数，为奇函数； 奇函数的所有原函数都是偶函数； 偶函数的所有原函数只有一个是奇函数（4） 定积分存在的充分条件：在连续或在上有界且只有有限个间断点，则存在，也称在可积定积分存在的必要条件：可积函数必有界.即若存在，则在上必有界 （5）微积分基本公式 （牛顿-莱布尼兹公式） ， 注：在连续，揭示了不定积分和定积分的联系 在积分区间上只有有限个间断点的被积函数，只要其在上存在原函数，牛顿-莱布尼兹公式依然成立（6）换元公式：条件：在连续，在连续，且， 通常取为单调函数注： 换元必换限！分部积分公式：（7）在连续，则 （8） ；（9）设是连续函数，则 利用换元法证明（10） 概率积分 （11）设是以为周期的连续函数，则，其中为任意常数（12）三角函数系在正交，即任意两个不同函数在上的积分值等于零 ，为正整数 （13）广义积分（反常积分） 其中 其中 其中 一般是看分母为零的点!但也有例外: 是瑕积分而不是广义积分,因为几个重要的广义积分： 记法:将看作倒代换后利用上面的结果可得: （14）定积分的应用典型例题：一、不定积分1、 原函数与不定积分的概念（1），且，则（2）已知，求2、 不定积分的计算基本积分法 （重要！） 凑微分：熟悉常见的凑微分因子（1）（2）（3）（4）（5）（6）（1） 练习凑微分： ， 换元法：根式代换、三角代换、指数代换、倒代换、其他代换（反三角或对数代换）等（2） （3） （4） （5） （6） 分部积分法：适用于两种不同类型函数乘积的积分，也常用于递推公式的推导（7） （8） （9）（10）（11） （2011,3）（12） 有理函数（分子、分母都是多项式函数）的不定积分（13） （14） 三角有理式（由正、余弦函数及常数经过有限次四则运算得到的函数）的不定积分（数三不要求）（15） （16）（17） （不全为零）（18） （19）简单无理函数的不定积分（20） （21）抽相函数的不定积分 （22）（23），其中的原函数为分段函数的不定积分（24）二、定积分、反常积分、变限积分1、 定积分的性质 （1）比较，（2）设，则 （3）设，则 为正常数 为负常数 恒为零 不为常数（4）设 2、 定积分的计算（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9） （10）设在区间上连续，为偶函数，且满足条件(为常数) 证明 利用的结论计算抽象函数的定积分（1） 设，求（2） ，及求 对称区间奇、偶函数的积分；周期函数的积分（1）（2）（3）（4）（5）特殊形式的积分（1）设在满足，且，求分段函数的定积分（1） ，求（2）（3）（4）杂例（1）设连续，且，则（2） 在上的平均值为（3）会读图！递推公式：常用分部积分法！（1） , 求（2） ， 3、变限积分（1） 设连续，且，已知，求（2）设为连续函数，求（3）设为连续函数，其中，则的值 依赖于 依赖于和 依赖于不依赖于 依赖于不依赖于（4）设 ，问在处 不连续 连续但不可导 可导且 可导但未必等于（5）设，则 的单调性是 的奇偶性是 图形的拐点是 凸凹区间是 水平渐近线是4、广义积分（反常积分）（1）（2）已知，则注：对称区间上奇、偶函数的反常积分与对称区间上奇、偶函数的定积分比较，多了一个条件：收敛！如果不满足这个条件，结论不成立！反例：是发散的，即认为是错的！（3）（4）当为何值时，收敛；为何值，发散；为何值，反常积分取得最小值三、定积分的应用（微元法）1、几何方面（1）位于曲线下方，轴上方的无界图形的面积是（2）曲线与轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积（3）曲线与轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的体积 （4）设有曲线，过原点做其切线，求由此曲线、切线及轴围成的平面图形绕轴旋转一周所得旋转体的表面积（5）过原点作曲线的切线，该切线与曲线 及轴围成平面图形， 求的面积； 求绕直线旋转一周所得旋转体的体积（6）求曲线与轴围成的封闭图形绕直线旋转一周所得旋转体的体积（7）设星形线，求面积；全长；绕轴旋转得旋转面的全面积；绕轴旋转得旋转体的体积（8）双纽线所围成区域的面积可表示为 （9）曲线的弧长 （2011,1,2）（10）当时，对数螺线的弧长为 （2010,2） (11)设封闭曲线的极坐标方程为，则所围平面图形的面积是(12)设曲线在的部分与轴所围成的平面区域记为，试求平面区域绕轴旋转所得的旋转体体积 2、物理方面（1）某建筑工地打地基时，需用汽锤将桩打进土层，汽锤每次击打，都将克服土层对桩的阻力而做功，设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比，比例系数为，汽锤第一次击打桩打进地下米，根据设计方案，要求汽锤每次击打桩时所做的功与前一次击打时所做的功之比为常数，问汽锤击打桩次后，可将桩打进地下多深？若击打次数不限，汽锤至多能将桩打进地下多深？（2）证明：把质量为的物体从地球表面升高到处所做的功是，其中是重力加速度，是地球半径（3）如图所示：轴上有一线密度为常数，长度为的细杆，有一质量为的质点到杆右端的距离为，已知引力系数为，则质点和细杆之间引力的大小为 （4）设一半径为，中心角为的圆弧形细棒，其线密度为常数，在圆心处有一个质量为的质点，试求细棒对质点的引力（5）某闸门形状与大小如图示：其中为对称轴，闸门的上部为矩形，下部由二次抛物线与线段围成，当水面与闸门的上端相平时，欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为，闸门矩形部分的高应用多少米？（6）一容器的内侧是由图中曲线绕轴旋转一周而成的曲面，该曲线由与连接而成，求容器的容积；若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？（长度单位:,重力加速度为，水的密度为） 3、 经济方面四、关于定积分的证明问题35
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