2015年全国高考文科数学试题及答案

绝密 启封并使用完毕前 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 全国卷 1 文科数学 本试卷分第 卷 选择题 和第 卷 非选择题 两部分 第 卷 1 至 3 页 第 卷 4 至 6 页 注意事项 1 答题前 考生务必将自己的准考证号 姓名填写在答题卡上 考生要认真核对答题卡上粘贴的 条形码的 准考证号 姓名 考试科目 与考生本人准考证号 姓名是否一致 2 第 卷每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改动 用橡 皮擦干净后 在选涂其他答案标号 第 卷必须用 0 5 毫米黑色签字笔书写作答 若在试题卷 上作答 答案无效 3 考试结束 监考员将试题卷 答题卡一并收回 第 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目 要求的 1 已知集合 A x x 3n 2 n N B 6 8 12 14 则集合 A B 中元素的个数为 A 5 B 4 C 3 D 2 2 已知点 A 0 1 B 3 2 向量 4 3 则向量 A C A 7 4 B 7 4 C 1 4 D 1 4 3 已知复数 z 满足 z 1 i i 1 则 z A 2 I B 2 I C 2 I D 2 i 4 如果 3 个整数可作为一个直角三角形三条边的边长 则称这 3 个数为一组勾股数 从 1 2 3 4 5 中任取 3 个不同的数 则 3 个数构成一组勾股数的概率为 A B C D 015012 5 已知椭圆 E 的中心在坐标原点 离心率为 E 的右焦点与抛物线 C y 8x 的焦点重合 A B 是 C 的准线与 E 的两个焦点 则 AB A 3 B 6 C 9 D 12 6 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著 书中有如下问题 今有委米依垣内角 下周八尺 高五尺 问 积及为米几何 其意思为 在屋内墙角处堆放米 如图 米堆为一个圆 锥的四分之一 米堆底部的弧度为 8 尺 米堆的高为 5 尺 问米堆的体积和堆放的米各为多少 已知 1 斛米的体积约为 1 62 立方尺 圆周率约为 3 估算出堆放斛的米约有 A 14 斛 B 22 斛 C 36 斛 D 66 斛 7 已知 是公差为 1 的等差数列 则 4 为 的前 项 和 8 4 10 A B C 10 D 12 172 192 8 函数 f x 的部分图像如图所示 则 f x 的单调递减区间为cos A k k k 14 34 A 2k 2k k 14 34 A k k k 14 34 A 2k 2k k 14 34 9 执行右面的程序框图 如果输入的 t 0 01 则输出的 n A 5 B 6 C 7 D 8 10 已知函数 且 f a 3 则 f 6 a 2 1 2 1 2 1 1 A B C D 745434 11 圆柱被一个平面截去一部分后与半球 半径为 r 组成一个几何体 该几何体三视图中的正 视图和俯视图如图所示 若该几何体的表面积为 16 20 则 r A 1 B 2 C 4 D 8 12 设函数 y f x 的图像关于直线 y x 对称 且 f 2 f 4 1 则 a A 1 B 1 C 2 D 4 第 卷 注意事项 第 卷共 3 页 须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答 若在试卷上作答 答案无效 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生都必须作答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求做答 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 13 在数列 a n 中 a 1 2 an 1 2an Sn为 a n 的前 n 项和 若 S n 126 则 n 14 已知函数 f x ax3 x 1 的图像在点 1 f 1 处的切线过点 2 7 则 a 15 x y 满足约束条件 则 z 3x y 的最大值为 16 已知 F 是双曲线 C x 2 1 的右焦点 P 是 C 的左支上一点 A 0 6 当 APF 周长8y 6 最小是 该三角形的面积为 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知 a b c 分别为 ABC 内角 A B C 的对边 sin 2B 2sinAsinC 若 a b 求 cosB 设 B 90 且 a 求 ABC 的面积2 18 本小题满分 12 分 如图 四边形 ABCD 为菱形 G 为 AC 与 BD 的交点 BE 平面 ABCD 证明 平面 AEC 平面 BED 若 ABC 120 AE EC 三棱锥 ACD 的体积为 求该三棱锥的侧面积36 19 本小题满分 12 分 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费 需了解年宣传费 x 单位 千元 对年销售量 y 单位 t 和年利润 z 单位 千元 的影响 对近 8 年的年宣传费 和年销售量 1 i 1 2 8 数据作了初步处理 得到下面的散点图及一些统计量的值 1 x y w 821 iix 821 iiw 81 iiixy 81 iiiwy 46 6 563 6 8 289 8 1 6 1469 108 8 表中 w1 1 1x 8iw 根据散点图判断 与 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的yabx ycdx 回归方程类型 给出判断即可 不必说明理由 根据 的判断结果及表中数据 建立 y 关于 x 的回归方程 以知这种产品的年利率 z 与 x y 的关系为 z 0 2y x 根据 的结果回答下列问题 i 年宣传费 x 49 时 年销售量及年利润的预报值是多少 ii 年宣传费 x 为何值时 年利率的预报值最大 附 对于一组数据 u 1 v1 u 2 v2 u n vn 其回归线 v u 的斜率和截距 的最小二乘估计分别为 20 本小题满分 12 分 已知过点 A 0 1 且斜率为 k 的直线 l 与圆 C x 2 2 y 3 2 1 交于 M N 两点 1 求 K 的取值范围 2 若 12 其中 0 为坐标原点 求 MN OM N 21 本小题满分 12 分 设函数 x 讨论 的导函数 零点的个数 f fx 证明 当 时 0a 2lna 请考生在第 22 23 24 题中任选一题作答 如果多做 则安所做的第一题计分 作答时请写 清题号 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 AB 是 的直径 AC 是 的切线 BC 交 于点 E OO 若 D 为 AC 的中点 证明 DE 是 的切线 若 CA CE 求 ACB 的大小 3 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系 中 直线 圆 以坐标原点为xOy1C2x 2 2211xy 极点 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 x I 求 的极坐标方程 1C2 II 若直线 的极坐标方程为 设 与 的交点为 求3 4R 2C3MN 的面积2MNA 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 1 2 0fxxa 当 时 求不等式 的解集 1a 1fx 若 的图像与 轴围成的三角形面积大于 6 求 的取值范围 fx a 参考答案 一 选择题 1 D 2 A 3 C 4 C 5 B 6 B 7 B 8 D 9 C 10 A 11 B 12 C 二 填空题 13 6 14 1 15 4 16 126 三 解答题 17 解 由题设及正弦定理可得 2bac 又 可得ab 由余弦定理可得 6 分 221cos4cBa 由 知 2b 因为 由勾股定理得90 22cb 故 得2ac ca 所以 的面积为 1 12 分ABC 18 解 因为四边形 ABCD 为菱形 所以 ACBD 因为 平面 所以 故 平面E EBED 又 平面 所以平面 平面 5 分AC 设 在菱形 中 由 可得Bx 120 3 2xGBGD 因为 所以在 中 可得AEC RtAEC32Gx 由 平面 知 为直角三角形 可得BE ACDEBG2BEx 由已知得 三棱锥 的体积 31634EACDVG A 故 9 分2x 从而可得 6AEC 所以 的面积为 3 的面积与 的面积均为AEC5 故三棱锥 的侧面积为 12 分D 25 19 解 由散点图可以判断 适宜作为年销售量 关于年宣传费 的回归方程类ycdx yx 型 2 分 令 先建立 关于 的线性回归方程 由于wx w8 12 108 6iiiiiyd 5638 10 cyw 所以 关于 的线性回归方程为 因此 关于 的线性回归方程 68yw yx 6 分 10 68yx 由 知 当 时 年销售量 的预报值49y 10 68576 y 年利润 的预报值z 9 分 57 249 3 根据 的结果知 年利润 的预报值z 0 168 1 620 zxx 所以 当 即 时 取得最大值 13 682x 46 2x z 故年宣传费为 46 24 千元时 年利润的预报值最大 12 分 20 解 由题设 可知直线 的方程为l1ykx 因为 与 交于两点 所以lC2 3 解得 473k 所以 的取值范围为 5 分47 3 设 12 MxyN 将 代入方程 整理得k 22 1xy 2 4 70 x 所以 7 分12122 kxk OMNy A2112 kxx 248 由题设可得 解得 所以 的方程为 1k kl1yx 故圆心 在 上 所以 12 分Cl MN 21 解 的定义域为 fx 0 2 0 xafe 当 时 没有零点 a fx 当 时 因为 单调递增 单调递增 所以 在 单调递增 又2ex fx 当 满足 且 时 故当 时 存在唯一零 0fa b4a 1b 0fb a fx 点 6 分 由 可设 在 的唯一零点为 当 时 当 fx 0 0 x0 0f 时 0 x 故 在 单调递减 在 单调递增 所以当 时 取得最小值 fx0 0 x0 x fx 最小值为 0 由于 所以02xae 002 lnl2afxxa 故当 时 12 分 lnf 22 解 连结 由已知得 AE AEBCA 在 中 由已知得 故RtCD EDC 连结 则OO 又 所以 90AB 90OB 故 是 的切线 5 分90ED A 设 由已知得1 Cx 223 1BEx 由射影定理可得 所以 即2Cx4210 可得 所以 10 分3x 60A 23 解 因为 所以 的极坐标方程为 的极坐标方cos iny 1cos2 C 程为 5 分240 将 代入 得 解得 2csi4 2340 故 即12 12 MN 由于 的半径为 1 所以 的面积为 10 分2C2CMNA12 24 解 当 时 化为a fx 0 x 当 时 不等式化为 无解 1 40 当 时 不等式化为 解得 3213x 当 时 不等式化为 解得x x 2 所以 的解集为 5 分 1f 由题设可得 2 1 3 afxx 所以函数 的图像与 轴围成的三角形的三个顶点分别为 f 21 0 3aA 的面积为 21 0Ba 1Ca AB2 1 3a 由题设得 故2 63 2a 所以 的取值范围为 10 分