2014高考直线与圆的方程综合题、典型题

直线与圆的方程综合题、典型题、高考题主讲：曹老师 2012年4月301、已知，直线：和圆：（1）求直线斜率的取值范围；（2）直线能否将圆分割成弧长的比值为的两段圆弧？为什么？解析：（1）直线的方程可化为，直线的斜率，因为，所以，当且仅当时等号成立所以，斜率的取值范围是 （2）不能由（1）知的方程为，其中圆的圆心为，半径圆心到直线的距离 由，得，即从而，若与圆相交，则圆截直线所得的弦所对的圆心角小于所以不能将圆分割成弧长的比值为的两段弧2、已知圆C：，是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在求出直线l的方程，若不存在说明理由。解析：圆C化成标准方程为假设存在以AB为直径的圆M，圆心M的坐标为（a，b）由于CMl，kCMkl= 1 kCM=，即a+b+1=0，得b= a1 直线l的方程为yb=xa，即xy+ba=0CM=以AB为直径的圆M过原点，把代入得，当此时直线l的方程为xy4=0；当此时直线l的方程为xy+1=0故这样的直线l是存在的，方程为xy4=0 或xy+1=0评析：此题用,联立方程组，根与系数关系代入得到关于b的方程比较简单 3、已知点A(2，1)和B(2，3)，圆C：x2y2 = m2，当圆C与线段AB没有公共点时，求m的取值范围. 解：过点A、B的直线方程为在l：xy1 = 0, 作OP垂直AB于点P，连结OB.由图象得：|m|OP或|m|OB时，线段AB与圆x2y2 = m2无交点. （I）当|m|OP时，由点到直线的距离公式得：，即. （II）当OB时, ,即 . 当和时，圆x2y2 = m2与线段AB无交点.4、已知动圆与轴相切，且过点.求动圆圆心的轨迹方程；设、为曲线上两点，求点横坐标的取值范围. 解： 设为轨迹上任一点，则 （4分） 化简得： 为求。 （6分） 设， （8分） 或 为求 （12分）5、将圆按向量平移得到圆，直线与圆相交于、两点，若在圆上存在点，使求直线的方程.解：由已知圆的方程为，按平移得到.即.又，且，. 设， 的中点为D.由，则，又.到的距离等于.即，.直线的方程为：或.6、已知平面直角坐标系中O是坐标原点，圆是的外接圆，过点（2，6）的直线被圆所截得的弦长为（1）求圆的方程及直线的方程；（2）设圆的方程，过圆上任意一点 作圆的两条切线，切点为，求的最大值.解：因为，所以为以为斜边的直角三角形，所以圆：（2）1）斜率不存在时，：被圆截得弦长为，所以：适合 2）斜率存在时，设： 即因为被圆截得弦长为，所以圆心到直线距离为2所以 综上，：或（3）设，则在中，由圆的几何性质得， 所以，由此可得 则的最大值为.7、已知圆，直线过定点。（1）若与圆相切，求的方程；（2）若与圆相交于丙点，线段的中点为，又与的交点为，判断是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由。解：（1）若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意。 2分 若直线斜率存在，设直线为，即。由题意知，圆心以已知直线的距离等于半径2，即：， 解之得 5分所求直线方程是， 6分（2）解法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为由得 8分又直线与垂直，由得 11分 13分 为定值。 故是定值，且为6。 15分8、已知过点,且与:关于直线对称.()求的方程；()设为上的一个动点,求的最小值；()过点作两条相异直线分别与相交于,且直线和直线的倾斜角互补,为坐标原点,试判断直线和是否平行?请说明理由. 解:()设圆心,则,解得(3分)则圆的方程为,将点的坐标代入得,故圆的方程为(5分)()设,则,且=,(7分)所以的最小值为(可由线性规划或三角代换求得)(10分)()由题意知, 直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设, 由,得 (11分) 因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得 同理,所以= 所以,直线和一定平行(15分)9、NCMQPOAxylml第17题已知过点的动直线与圆：相交于、两点，是中点，与直线：相交于.（）求证：当与垂直时，必过圆心；（）当时，求直线的方程；（）探索是否与直线的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由.NCMQPOAxylml第17题解析：（）与垂直，且，故直线方程为，即2分圆心坐标（0，3）满足直线方程，当与垂直时，必过圆心 4分（）当直线与轴垂直时, 易知符合题意6分当直线与轴不垂直时, 设直线的方程为，即，8分则由，得, 直线：. 故直线的方程为或10分（）, 12分 当与轴垂直时，易得，则,又,14分当的斜率存在时，设直线的方程为，则由，得（）,则= 综上所述，与直线的斜率无关，且.16分10、已知圆O的方程为且与圆O相切。（1） 求直线的方程；（2） 设圆O与x轴交与P,Q两点，M是圆O上异于P,Q的任意一点，过点A且与x轴垂直的直线为，直线PM交直线于点，直线QM交直线于点。求证：以为直径的圆C总过定点，并求出定点坐标。解析：（1）直线过点，且与圆：相切，设直线的方程为，即，2分则圆心到直线的距离为，解得，直线的方程为，即 4分（2）对于圆方程,令，得,即又直线过点且与轴垂直，直线方程为，设，则直线方程为解方程组,得同理可得, 10分以为直径的圆的方程为， 又，整理得， 12分若圆经过定点，只需令，从而有，解得，圆总经过定点坐标为 14分11、已知以点为圆心的圆经过点和，线段的垂直平分线交圆于点和，且.(1)求直线的方程；求圆的方程；设点在圆上，试问使的面积等于8的点共有几个？证明你的结论.解：直线的斜率 ，中点坐标为 ， 直线方程为 （4分） 设圆心，则由在上得： 又直径,又 （7分）由解得或圆心 或 圆的方程为 或 （9分） ， 当面积为时 ，点到直线的距离为 。 又圆心到直线的距离为，圆的半径 且 圆上共有两个点使 的面积为 . （14分）12、在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A的入射光线l1被直线l：反射，反射光线l2交y轴于B点圆C过点A且与l1、l2相切（1）求l2所在的直线的方程和圆C的方程；xyOABl2l1l（2）设P、Q分别是直线l和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标解析（）直线设 的倾斜角为，2分反射光线所在的直线方程为 即4分已知圆C与圆心C在过点D且与垂直的直线上， 6分又圆心C在过点A且与垂直的直线上，由得，圆C的半径r=3故所求圆C的方程为 10分（）设点关于的对称点，则 12分得固定点Q可发现，当共线时，最小，故的最小值为为 14分，得最小值 16分13、设圆的方程为，直线的方程为（1）求关于对称的圆的方程；（2）当变化且时，求证：的圆心在一条定直线上，并求所表示的一系列圆的公切线方程解：（1）圆C1的圆心为C1（2，3m+2），设C1关于直线l对称点为C2（a，b）则解得：圆C2的方程为（2）由消去m得a2b+1=0即圆C2的圆心在定直线x2y+1=0上。设直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，则即直线y=kx+b与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的m值都成立，所以有：解之得：所以所表示的一系列圆的公切线方程为：14、已知过点A（0，1），且方向向量为，相交于M、N两点.（1）求实数的取值范围；（2）求证：；（3）若O为坐标原点，且.解：（1）2分由5分9分11分1214分15、如图，在平面直角坐标系中，设的外接圆圆心为E（1）若E与直线CD相切，求实数a的值；（第16题） ABCDExyO（2）设点在圆上，使的面积等于12的点有且只有三个，试问这样的E是否存在，若存在，求出E的标准方程；若不存在，说明理由.解：（1）直线方程为，圆心，半径.由题意得，解得.6分（2），当面积为时，点到直线的距离为，又圆心E到直线CD距离为(定值)，要使的面积等于12的点有且只有三个，只须圆E半径，解得，此时，E的标准方程为14分16、已知：和定点，由外一点向引切线，切点为，且满足(1) 求实数间满足的等量关系；(2) 求线段长的最小值；(3) 若以为圆心所作的与有公共点，试求半径取最小值时的方程解：（1）连为切点，由勾股定理有又由已知，故.即：.化简得实数a、b间满足的等量关系为：. （3分） （2）由，得. =.故当时，即线段PQ长的最小值为 （7分）（3）设P 的半径为，P与O有公共点，O的半径为1，即且.而，故当时，此时, ，.得半径取最小值时P的方程为 （12分）P0l解法2：P与O有公共点，P半径最小时为与O外切（取小者）的情形，而这些半径的最小值为圆心O到直线l的距离减去1，圆心P为过原点与l垂直的直线l 与l的交点P0.r = 1 = 1.又l：x2y = 0,解方程组，得.即P0( ,).所求圆方程为. （12分）17、已知以点为圆心的圆与轴交于点，与轴交于点、，其中为原点。（1） 求证：的面积为定值；（）设直线与圆交于点，若，求圆的方程。.解 （1）， 设圆的方程是 令，得；令，得 ，即：的面积为定值 （2）垂直平分线段 ，直线的方程是 ，解得： 当时，圆心的坐标为， 此时到直线的距离，圆与直线相交于两点w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当时，圆心的坐标为，此时到直线的距离圆与直线不相交，不符合题意舍去圆的方程为18、已知圆，点，直线.求与圆相切，且与直线垂直的直线方程；在直线上（为坐标原点），存在定点（不同于点），满足：对于圆上任一点，都有为一常数，试求所有满足条件的点的坐标.解：设所求直线方程为，即，直线与圆相切，得，所求直线方程为 -5分方法1：假设存在这样的点，当为圆与轴左交点时，；当为圆与轴右交点时，依题意，解得，（舍去），或。 -8分下面证明 点对于圆上任一点，都有为一常数。设，则， ，从而为常数。 -15分方法2：假设存在这样的点，使得为常数，则，将代入得，即对恒成立， -8分，解得或（舍去），所以存在点对于圆上任一点，都有为常数。 -15分19、已知圆通过不同的三点，且圆C在点P处的切线的斜率为1.（1）试求圆的方程；（2）若点A、B是圆C上不同的两点，且满足，试求直线AB的斜率；若原点O在以AB为直径的圆的内部，试求直线AB在轴上的截距的范围。x解析.（1）设圆方程为，CQPOy第 18 题R则圆心，且PC的斜率为-12分所以6分解得，所以圆方程为8分（2），所以AB斜率为112分设直线AB方程为，代入圆C方程得设，则原点O在以AB为直径的圆的内部，即14分整理得，1620、如图，在矩形中，以为圆心1为半径的圆与交于（圆弧为圆在矩形内的部分）（）在圆弧上确定点的位置，使过的切线平分矩形ABCD的面积；（）若动圆与满足题（）的切线及边都相切，试确定的位置，使圆为矩形内部面积最大的圆.解（）以A点为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系设，圆弧的方程切线l的方程：（可以推导：设直线的斜率为，由直线与圆弧相切知：，所以，从而有直线的方程为，化简即得）设与交于可求F（），G（），l平分矩形ABCD面积， 又 解、得：（）由题（）可知：切线l的方程：，当满足题意的圆面积最大时必与边相切，设圆与直线、分别切于，则（为圆的半径），由点坐标为注意：直线与圆应注意常见问题的处理方法，例如圆的切线、弦长等，同时应注重结合图形加以分析，寻找解题思路。21、已知圆的方程为，直线的方程为，点在直线上，过点作圆的切线，切点为（1）若，试求点的坐标；（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于两点，当时，求直线的方程；（3）求证：经过三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.解：（1）设，由题可知，所以，解之得：故所求点的坐标为或4分（2）设直线的方程为：，易知存在，由题知圆心到直线的距离为，所以，6分解得，或，故所求直线的方程为：或8分（3）设，的中点，因为是圆的切线所以经过三点的圆是以为圆心，以为半径的圆，故其方程为：10分化简得：，此式是关于的恒等式，故解得或所以经过三点的圆必过定点或.14分22、已知圆：，设点是直线：上的两点，它们的横坐标分别是，点在线段上，过点作圆的切线，切点为（1）若，求直线的方程；（2）经过三点的圆的圆心是，求线段长的最小值解：（1）设解得或（舍去）由题意知切线PA的斜率存在，设斜率为k所以直线PA的方程为，即直线PA与圆M相切，解得或直线PA的方程是或（2）设与圆M相切于点A，经过三点的圆的圆心D是线段MP的中点的坐标是设当，即时，当，即时，当，即时则23、（2009年江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：和圆C2：.（）若直线l过点A(4, 0)，且被圆C1截得的弦长为，求直线l的方程；（）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标. 解：（）由于直线x4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在, 设直线l的方程为, 圆心C1到直线l的距离为d , 因为直线l被圆C1截得的弦长为, 所以 , , k0或 所求直线l的方程为y0或7x24y280（）设点P(a, b) 直线l1：；l2： 因为圆C1、圆C2的半径相等，且分别被直线l1、l2截得的弦长相等，所以圆心C1到直线l1的距离、圆心C2到直线l2的距离相等. , (a3)k(1b)(5b)k(4a) 或 (a3)k(1b)(5b)k(4a) k的取值有无穷多个 或 解得 或 或24. （2008年江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f (x)x22xb（xR）的图像与两个坐标轴有三个交点，经过这三点的圆记为C. （）求实数b的取值范围； （）求圆C的方程；（）问圆C是否经过定点（其坐标与b无关）？请证明你的结论.解一：（）若b0，则f (x)x22x 与坐标轴只有两个交点（0, 0）和（2 ,0）, 矛盾！ b0 , 二次函数的图象与y轴有一个非原点的交点(0 ,b）, 故它与x轴必有两个交点，方程x22xb0有两个不相等的实数根，0， 44b0 , b1且b0 b的取值范围是（, 0）(0 ,1）. （）由方程x22xb0得 ,函数的图象与坐标轴的交点为（0 ,b）,(1, 0）, (1, 0）, 设圆C：x2y2DxEyF0 圆C的方程为x2y22x(b1)yb0（）圆C的方程为 (x2y22xy)b (1y)0b1且b0 圆C过定点（0,1）和（2,1）.解二：（）令x0，得抛物线于y轴的交点是（0，b）令f(x)0，得x22xb0，由题意b0且0，解得b1且b0（）设所求圆的一般方程为x2y2DxEyF0令y0，得x2DxF0，这与x22xb0是同一个方程，故D2，Fb令x0，得y2Eyb0，此方程有一个根为b，代入得Eb1所以圆C的方程为x2y22x (b1)yb0（）圆C必过定点（0, 1），（2, 1）证明如下：将（0, 1）代入圆C的方程，得左边 021220-(b1)1b0，右边0所以圆C必过定点（0, 1）；同理可证圆C必过定点（2, 1）.25、如图平面上有A(1 , 0)、B(1 , 0)两点，已知圆C的方程为.（）在圆C上求一点P1使ABP1面积最大并求出此面积；（）求使取得最小值时的圆C上的点P的坐标. 解：（）三角形的面积只与底长和高有关系, 又|AB|2为定值, 在圆上只要找到最高点即可. 又圆心C坐标为(3, 4) ,半径为2 P1横坐标为3, 纵坐标为426 P1 (3, 6), （）设P(x , y), 则由两点之间的距离公式知=2要使取得最小值只要使最小即可又P为圆上的点，所以 （为半径） 此时直线 由解得 或 （舍去）点P的坐标为