2012年上海市中考数学试卷及答案.docx

www.viponlyedu.com.cn2012年初中毕业统一学业考试（上海卷）试卷及分析数学注重双基 体现新意 适度区分 稳中求新一、整体评价 2012年上海市初中毕业统一学业考试数学卷与往年相比，在题量、题型、难度等方面保持稳定，确保较高的及格率，兼顾适当区分，既体现对双基的考查，又适度体现对思维过程的分析能力的要求。1、 注重双基的考查试题考查重要的数学概念、性质和方法，包括双基和教材内容的考查，考查重要而常用的计算方法，没有繁琐的计算。考查学生最基本的条理性思维和表达能力。2、 体现新意 与前几年相比，今年试卷在广度、深度、难度等方面保持稳定的同时，体现了对能力的重现，体现了对思维过程的分析能力的要求。3、 整卷难度铺设合理 在试卷结构方面，基础题、中档题和较难题分值的配比为8：1：1，中档题和较难题分散在不同试题中，既有利于适当区分，又有利于合理考查学生解决问题过程的认知水平和差异。二、考试题型及注意事项 中考数学考试题型题型分值主要内容注意事项选择题6道/24分考纲知识点均有涉及；主要考查概念、性质的直接运用，体现学生初中数学知识的知道、模仿、理解等能力水平。18题的图形翻折、旋转、平移知识点稍难，需要多加思考。主要问题：漏解（运动时会有多种情况）；坐标轴内运动要注意点所在的象限，易漏掉负号；容易遗漏全等性与对称性。填空题12道/48分计算题2道/10分实数的四则混合运算；代数式化简求值；因式分解；幂的运算；根式的运算；解方程（组）；解不等式（组）；计算题很简单也很容易出错，学生计算出错的主要问题：抄错题目；正负号运算出错；主观错误意识；解方程未验根；计算方法复杂。应用证明题1道/10分方程（组）、不等式（组）应用题；函数应用题；几何应用题（主要是圆）；体现数学与生活的实际联系，解题思路非常简单，关键是学生能否将实际生活与数学方法联系起来。统计概率1道/10分统计概率的基本概念；统计与概率的实际应用。统计概率的中考题型相对简单，学生很容易忽略，主要出现的问题：统计的概念混淆（如加权平均数、频数等）；频数分布直方图和频率分布直方图的画法。几何证明题1道/12分涉及三角形、四边形、圆的几何证明与计算，有时还会考察图形的运动，内容包括：线段的数量关系与位置关系；角度的数量关系；周长，面积的计算；23题是一个难点，主要证明方法包括全等、相似、各类定理等。学生要多加练习，要做到能从题中已知条件立刻想到许多结论，如遇到中点，会考虑中位线定理、斜边中线定理、重心性质等。考试中出现的主要问题：证明步骤的逻辑性不强；滥用定理，乱用课本和考纲上没有涉及到的定理。压轴题11道/12分函数的综合应用：一般两到三问，第一二问考察函数的基本性质，如求解析式、交点坐标等；第三问会涉及与几何的综合考察，需分情况讨论。压轴题是中考数学卷难点，第一问相对稍易，主要为二三问的解题思路指定方向；第二问是关键，可能要分情况讨论，有时还要做辅助线；第三问与第二问关系密切，要多角度思考。动点问题猜想类问题存在性问题压轴题21道/14分几何的综合应用：一般两到三问，第一问求证几何图形的性质，第二问列几何图形之间的函数关系式；第三问一般会考三种类型的题型：动点问题、猜想类问题与存在性问题。三、逐题分析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1在下列代数式中，次数为3的单项式是（ ）.； .； ； 【正确答案】A.【考查内容】单项式.【难度等级】基础.【解题思路】单项式的次数是指单项式中所有字母的指数的和A选项的次数为3，符合题意；B选项不是单项式，不符合题意；C选项的次数为4，不符合题意；D选项的次数为2，不符合题意.故选A.2. 数据5,7,5,8,6,13,5的中位数是（ ） 5； 6； 7 ； 8【正确答案】B.【考查内容】中位数.【难度等级】基础.【解题思路】将该组数据按从小到大排列，找到位于中间位置的数即可将数据5，7，5，8，6，13，5按从小到大依次排列为：5，5，5，6，7，8，13，位于中间位置的数为6故中位数为6故选B3不等式组的解集是（ ）； ； ； 【正确答案】C.【考查内容】一元一次不等式组.【难度等级】基础.【解题思路】先分别求出两个不等式的解集，再求出解集的公共部分即可解得：x-3，解得：x2，所以不等式组的解集是x2故选C4在下列各式中，二次根式的有理化因式（ ）； ； ； 【正确答案】C.【考查内容】分母有理化.【难度等级】基础.【解题思路】二次根式的有理化因式就是将原式中的根号化去，即可得出答案因为=，所以二次根式的有理化因式是：.故选C.5. 在下列图形中，为中心对称图形的是（ ）等腰梯形； 平行四边形； 正五边形； 等腰三角形【正确答案】B.【考查内容】中心对称图形.【难度等级】基础.【解题思路】中心对称图形，即把一个图形绕一个点旋转180后能和原来的图形重合，A、C、D都不符合，平行变形的对称中心是两条对角线的交点.故选B.6. 如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（ ）外离； 相切； 相交； 内含【正确答案】D.【考查内容】圆与圆的位置关系.【难度等级】基础.【解题思路】圆与圆的位置关系有5种，需要通过两个半径与圆心距之间数量关系进行判定.因为两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3,可得36-2，所以这两个圆的位置关系式内含.故选D.二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7计算 【正确答案】.【考查内容】绝对值；有理数的减法.【难度等级】基础.【解题思路】正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数，所以原式=.8. 因式分解 【正确答案】.【考查内容】因式分解-提公因式法.【难度等级】基础.【解题思路】因式分解的方法有：提取公因式法、十字相乘法、公式法、分组分解法，原题中的两项含有公因式，提取公因式即可，所以原式=.9 已知正比例函数，点在函数上，则随的增大而 （增大或减小）【正确答案】减小.【考查内容】正比例函数的性质；待定系数法求一次函数解析式.【难度等级】基础.【解题思路】根据正比例函数的性质可知，当k0时，y随x的增大而增大，当k0时，y随x的增大而减小.因为点（2，-3）在正比例函数的图像上，所以2k=-3，解得.因为k0，所以y随x的增大而减小.10 方程的根是 【正确答案】.【考查内容】无理方程.【难度等级】基础.【解题思路】解无理方程的基本思想为把无理方程转化为整式方程，基本方法为平方.方程两边同时平方得x+1=4，解得x=3.检验：x=3时，左边=，则左边=右边，故x=3是原方程的解.11 如果关于的一元二次方程（是常数）没有实根，那么的取值范围是 【正确答案】c9.【考查内容】一元二次方程根的判别式.【难度等级】基础.【解题思路】一元二次方程根的情况与根的判别式有关，当0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程没有实数根.因为原方程没有实数根，所以=，即36-4c0，c9.12将抛物线向下平移2个单位，所得抛物线的表达式是 【正确答案】.【考查内容】二次函数图像与几何变换.【难度等级】基础.【解题思路】抛物线的平移遵循上加下减、左加右减的法则.因为抛物线向下平移2个单位，所以所得抛物线的表达式为-2.13 布袋中装有3个红球和6个白球，它们除颜色外其他都相同，如果从布袋里随机摸出一个球，那么所摸到的球恰好为红球的概率是 【正确答案】.【考查内容】概率.【难度等级】基础.【解题思路】因为布袋里有3个红球和6个白球，所以摸出一个红球的概率为.14某校500名学生参加生命安全知识测试，测试分数均大于或等于60且小于100，分数段的频率分布情况如表所示（其中每个分数段可包括最小值，不包括最大值），结合表1的信息，可测得测试分数在8090分数段的学生有 名分数段60707080809090100频率0.20.250.25【正确答案】150.【考查内容】频数（率）分布表.【难度等级】基础.【解题思路】8090分数段的频率为：1-0.2-0.25-0.25=0.3，所以该分数段的人数为5000.3=150人.15如图，已知梯形，如果，那么 （用，表示）【正确答案】.【考查内容】平面向量.【难度等级】基础.【解题思路】在梯形中，所以，因为，所以.16在中，点、分别在、上，如果，的面积为4，四边形的面积为5，那么的长为 【正确答案】3.【考查内容】相似三角形的判定与性质.【难度等级】基础.【解题思路】因为，是公共角，所以ADEACB，所以，因的面积为4，四边形的面积为5，所以ABC的面积为9，因为AE=2，所以，解得AB=3.17 我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距，在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形，如果当它们的一边重合时，重心距为2，那么当它们的一对角成对顶角时，重心距为 为4，四边形的面积为5，那么的长为 【正确答案】4.【考查内容】三角形的重心；等边三角形的性质.【难度等级】中等.【解题思路】设等边三角形的中线长为，则其重心到对边的距离为，因为它们的一边重合时（如图1），重心距为2，所以，解得.所以当它们的一对角成对顶角时（如图2），重心距为.18如图，在中，点在上，将沿直线翻折后，将点落在点处，如果，那么线段的长为 【正确答案】.【考查内容】翻折变换；折叠问题.【难度等级】难.【解题思路】在RtABC中，C=90，A=30，BC=1，AC=，将ADB沿直线BD翻折后，将点A落在点E处，ADB=EDB，DE=AD，ADED，CDE=ADE=90，EDB=ADB=135，CDB=EDBCDE=13590=45，C=90，CBD=CDB=45，CD=BC=1，DE=AD=ACCD=1三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19（本题满分10分）【正确答案】3.【考查内容】二次根式的混合运算；分数指数幂；负整数指数幂.【难度等级】基础.【解题思路】原式=320（本题满分10分）解方程：【正确答案】.【考查内容】分式方程.【难度等级】基础.【解题思路】方程的两边同乘（x+3）（x3），得x（x3）+6=x+3，整理，得x24x+3=0，解得x1=1，x2=3经检验：x=3是方程的增根，x=1是原方程的根，故原方程的根为x=121(本题满分10分，第（1）小题满分4分第（2）小题满分6分）如图在中，是边的中点，垂足为点己知， （1）求线段的长；（2）求的值【正确答案】12.5；.【考查内容】解直角三角形；直角三角形斜边上的中线.【难度等级】基础.【解题思路】（1）AC=15，cosA=，=，AB=25，ACB为直角三角形，D是边AB的中点，CD=（或12.5）；（2）AD=BD=CD=，设DE=x，EB=y，则，解得x=，sinDBE=22(本题满分10分，第（1）小题满分4分第（2）小题满分6分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本（万元/吨）与生产数量（吨）的函数关系式如图所示（1）求关于的函数解析式，并写出它的定义域；（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量 （注：总成本=每吨的成本生产数量）【正确答案】；40.【考查内容】一次函数的应用.【难度等级】中等.【解题思路】（1）利用图象设y关于x的函数解析式为y=kx+b，将（10，10）（50，6）代入解析式得：，解得：，所以y=x+11（10x50）（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，x（x+11）=280，解得：x1=40，x2=70（不合题意舍去），23（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）己知：如图，在菱形中，点、分别在边、， =，与交于点 （1）求证： （2）当要=时，求证：四边形是平行四边形【正确答案】略.【考查内容】平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定；菱形的性质.【难度等级】中等.【解题思路】（1）四边形ABCD是菱形，AB=AD，ABC=ADF，BAF=DAE，BAFEAF=DAEEAF，即BAE=DAFBAEDAFBE=DF；（2），FGBCDGF=DBC=BDCDF=GFBE=GF四边形BEFG是平行四边形24（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分4分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点、，与轴交于点，点在线段上，点在第二象限，垂足为 （1）求这个二次函数的解析式； （2）求线段、的长（用含的代数式表示）； （3）当 =时，求的值【正确答案】；.【考查内容】相似三角形的判定与性质；待定系数法求二次函数解析式；全等三角形的判定与性质；勾股定理.去年第24题第2问太易、第3问颇难，所以今年第2问稍难，第3问难度略微降低，所以今年在作图上基本没有障碍，就看学生发挥，本题平均分基本和去年持平。【难度等级】难.【解题思路】（1）二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（1，0），解得，这个二次函数的解析式为：y=2x2+6x+8；（2）EFD=EDA=90DEF+EDF=90，EDF+ODA=90，DEF=ODAEDFDAO ，同理，DF=2，OF=t2（3）抛物线的解析式为：y=2x2+6x+8，C（0，8），OC=8 如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点ECA=OAC，OAC=GCA（等角的余角相等）；在CAG与OCA中，CAGOCA，CG=4，AG=OC=8如图，过E点作EMx轴于点M，则在RtAEM中，EM=OF=t2，AM=OA+AM=OA+EF=4+t，由勾股定理得：AE2=AM2+EM2=；在RtAEG中，由勾股定理得：EG=在RtECF中，EF=t，CF=OCOF=10t，CE=CG+EG=+4由勾股定理得：EF2+CF2=CE2，即，解得t1=10（不合题意，舍去），t2=6，t=625（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分5分，第（3）小题满分6分）如图，在半径为2的扇形中，点是弧上的一个动点（不与点、重合），垂足分别为、 （1）当时，求线段的长； （2）在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由； （3）设，的面积为，求关于的函数关系式，并写出它的定义域【正确答案】；存在，；.【考查内容】垂径定理；勾股定理；三角形中位线定理.2012年第25题的出题方式与往年中考及模考题型差异较大，且不涉及分类讨论。 本题第3问很不错，不落俗套，考察能力，有相当区分度，去年第25题最后一问困难主要在于两解中一解求不出，不过也就损失2-3分，但今年如果最后一问不会做，损失就是6分，有点残酷。【难度等级】难.【解题思路】（1）如图（1），ODBC，BD=BC=，OD=；（2）如图（2），存在，DE是不变的连接AB，则AB=2，D和E是中点，DE=AB=；（3）如图（3），BD=x，OD=，1=2，3=4，2+3=45，过D作DFOEDF=，EF=x，y=DFOE=（0x）【小结】总的来说，除了第17题、第22题、第23题属于中等难度，第18题、第24题、第25题较难外，其余的都比较容易。其实，决定中考数学胜负的不是压轴题而是能不能把简单题做对，毕竟考场上考生们的心理压力是很大的，而且把简单题做对也和压轴题解答得顺利与否关系密切。四、典型考题（一）旋转翻折问题 例：（2012年上海中考第18题）如图2所示，中，点为边上的一动点，将沿直线BD翻折，点A落在点E处，如果时，那么 。 解法点拨：旋转翻折问题要从以下几方面考虑：根据图形变换，画出正确的图；注意点落的位置，有可能有多种答案；坐标系中考虑点坐标的正负性与对称性；解题过程中充分利用边与角的关系，从勾股定理、相似与三角比思考解题思路。翻折问题要注意隐藏的条件，对应点的连线段被对称轴垂直平分。解：如图3所示，根据翻折性质得，所以，所以。变式拓展：如图4所示，在中，点D为AB上任意一点，联接CD，以CD为折痕，将翻折，得到，CE交AB于点F，若此时，则= 。（答案：1：3。）（二）动点问题 动点问题注意事项有：先确定题目中定点与动点，特别是动点移动的范围；第二问求函数关系式时，若没有思路，可先将动点线段与定点线段表示出来。其中，动点线段的表达式一定要根据动点移动的方向和范围确定。定义域的确定不要仅仅看一个动点移动的范围，如果题目中有两个或两个以上的定点，还要注意其它动点是否会影响该动点。动点问题常常伴随存在性问题，有可能会有多种答案，由于动点的移动范围，答案会受到限制，要通过反复画图和计算对答案进行取舍；动点问题常用的知识点有平行比例、相似三角形的性质、锐角三角比、两点之间距离公式，很多学生觉得用两点之间距离公式计算较为繁琐，喜欢用平行比例和锐角三角比，但容易遗漏答案，学生因结合自身选用适当的方法解题。 例：（2012年上海中考第25题）已知扇形AOB中，为上的动点，且不与、重合，于，于。 （1）若，求的长； （2）在中，是否存在长度保持不变的边，若存在，求出该边的长；若不存在，请说明理由； （3）设，的面积为，求与的函数关系式及定义域； 解法点拨：本题基本图形是扇形，即圆的一部分，解题思路要从圆的性质出发。在圆中上海出题者最主要的思路是构造三角形用勾股定理。另外，还包括圆的对称性等。本题第一问较简单，直接用勾股定理，第二问较难，考察定理问题，需要进行条件分析，根据垂径定理得点D、E分别是中点，再联想到中位线定理求得。第三问是与第二问紧密联系的，根据垂径定理除了得到中点线索之外，还得到角平分线索，从而发现。解：（1）在中，。 （2）如图6，根据垂径定理得，BD=DC，CE=EA。联结AB，在中，。 （3）如图7所示，由题意知，过点D作OE的垂线交于点F，在中，在中，；在中，所以，（）。变式拓展：今年这道题让我们想起了十二年前上海中考压轴题，基本图形有惊人相似之外，问法与考题类型都很像，大家思考一下这道题应该怎么做呢？ 如图，在半径为6，圆心角为90度的扇形OAB的弧AB上，有一个动点P，垂足为H，的重心为G。 （1）当点P在弧AB上运动时，线段GO、GP、GH中，有无长度保持不变的线段？如果有，请指出这样的线段，并求出相应的长度； （2）设，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域； （3）如果是等腰三角形，试求出线段PH的长。 答案：（1）2；（2）；（3）或2；【小结】数学的学习不仅是会做“这”道题，是要明白题的解题思路，并会运用到学习中。应对中考数学的复习，最重要的还是两点：重视课本、打好扎实基础；学会总结归纳、提高解决问题能力。四、总体概括纵观整套数学试卷，我们发现：在选择题和填空题部分主要考了以下的知识点：单项式的概念、中位数、一元一次不等式组求解方法、有理化因式的定义、中心对称图形、两圆位置关系、绝对值、因式分解的方法、正比例函数的图象和性质、无理方程、一元二次方程根的判定式、二次函数图像的平移、概率、统计图表中的频率和频数、向量的加减法及涉及到梯形的特殊辅助线、相似三角形及相似三角形的相似比、新的定义“重心距”、图形的翻折、等腰直角三角形。在解答题部分主要考查了：实数的混合运算、解分式方程、锐角三角比、一次函数及其应用、菱形和比例线段、二次函数的解析式、相似三角形及勾股定理、垂径定理及中位线定理或直角三角形斜边上的中线定理以及如何添加辅助线。整套试卷与往年相比，在题量上保持稳定，题型略有一点变化，难度方面有增加，总体来说是稳中求变，变中有新。具体表现在以下几个方面：一、基本知识基本技能没有改变 这次考试注重数学基础知识和基本技能，注重了近几年中考的主干知识，并没有因为时间的改变而改变。考的还是原来那些知识点，这就要求我们下一届的毕业班同学注重基本知识和基本技能的掌握，通过对课本里面每一章节重点的概念、定理、性质以及典型的例题、习题的梳理，掌握它们之间的内在联系。二、新考点的出现 与往年相比，第17题、第22题和第25题的第二问上有所改变。第17题考了一个新定义“重心距，要求学生在理解重心距概念时能够正确把相应的图形画出来，求出不同状态下的重心距。这考查了学生对于新概念的把握，有点新意。这也说明上海中考题型有向全国中考题型靠拢的趋势；第22题以往是一道统计图表题，而这次换了一道一次函数及其应用的题型，难度不大，只要能正确理解题意求出一次函数的解析式，其他问题就好解决了。第25题的第二问以往是求在动点运动情况下的函数解析式，今年是求一个定值。很多学生对求定值的题型接触得少，因而也在无形中增加了难度。另外，圆的问题考起来是比较活的，所以很多同学对于有关圆方面的题目总是或多或少的感觉不顺，不太善于把圆的问题和三角形的中位线结合起来考虑，而实际上这一问也可以用直角三角形中线的概念去解决。总之这一问和以往第25题的第二问是完全不同的，能够真正地考查学生应对新问题的能力。三、难度略有增加 在今年中考试卷的23题第二问和24题第三问以及25题第三问均有反映。在23题的第二问中，加入了对应线段成比例来判定两直线平行的方法，这一点颠覆了学生以往对第23题的认识，以往第23题纯粹是四边形的内容，而这一次和相似三角形挂上了钩，因而有很多学生不适应，觉得无从下手。第24题的第三问引入了一个变量t，用t的代数式表达未知线段，解题方法有代数法和几何法，代数法好想，但不好计算，几何方法难想，但好算。但无论是什么方法，用未知数来表达未知线段这一条是不变的，而这一点是大部分初三学生的软肋，一旦碰上，很容易败下阵来。第25题第三问实际上考查了学生用已知的边角解三角形的能力，但前提是必须突破有一个锐角是45度的封锁才行，并且还有一个添辅助线的问题，在这个问题上感觉题目出得不太好，思路太窄，没有什么别的方法，只能一条路走到底，除此之外别无它法，并且求出的解析式也比较复杂，大部分学生有的是看都没时间看，或是看了根本找不到北，再或是一动手发现式子很复杂，因而纷纷放弃。通过以上分析，我们发现在今后的中考中，要注重培养学生对基本知识和基本技能的运用，提高计算能力，提高分析和解决问题的能力。要加强与社会实际和学生生活的联系，注重提高学生对学科知识与技能、过程与方法的掌握情况，特别要注重提高在具体情景中综合运用所学知识分析和解决简单问题的能力，杜绝偏题和怪题。 总之，2012年上海中考数学试卷注重双基，体现新意，适度区分，稳中求新，对本市初中课堂数学起到积极的导向作用，进一步体现了二期课改的精神。14