迭代法的设计和运行.doc

数值实验报告：迭代法的设计和运行姓 名：孙 闯学 号：P200909071实验报告数值实验1.1 迭代法的设计和运行 姓名：孙闯 学号：P200909071 一、实验目的迭代法是解各种方程(含方程组)的基本方法, 它常通过构造一个定常的迭代格式，重复计算而产生一个收敛的解的序列（标量序列，向量序列等），逐步逼近问题的真解。对同一个问题，常可设计不同的迭代格式，这些格式的计算效果可能相差很大，对初始值的选择的要求不同，收敛速度也不同。二、实验题求方程在1，1.5内的根, 设计下列3个迭代格式：(1) ； (2) ；(3) 三、实验步骤和要求 (1) 选取若干个可行的初始值, 分别用3种迭代格式进行计算, 记录每步的计算结果, 并在坐标纸上画出, 分析其变化趋势,判别其收敛性;(2) 观察和分析迭代法结果关于初始值的依赖关系; (3) 你还能设计出新的迭代格式吗?四、实验结果（1）取初始值x0=1.10，迭代结果如下迭代步数n迭代格式1 4.9289999999999991.4721582795338281.4002800840280102-2.020014210889998e+0021.3047475779514131.36079234494813138.079171661661471e+0061.3945287527281701.3657949658048234-5.273521520393093e+0201.3498190038521361.36515814053526051.466567876063306e+0621.3730089642613391.3652391578493736-3.154325477210480e+1861.3612188643181131.36522884997455271.3672760056485991.36523016143783981.36418057074659291.365766768990587101.364955079617933111.365370733269326121.365157960973024131.365266899027172141.365211128768512151.365239681452983161.365225063708751171.365232547459919发散收敛收敛（2）取初始值x0=1.25，迭代结果如下迭代步数n迭代格式123456789101112131415163.046875000000000-52.3724174499511721.326368855327903e+005-2.333490535726542e+0151.270627151578478e+046-2.051419097135232e+138Inf1.4183507147387771.3366635022588991.3794767424336421.3578398600116361.368987870356384 1.3632994708712001.3662166229369891.3647244488432561.3654887225372861.3650975328383201.3652978300701201.3651952917475411.3652477889942691.3652209128569421.3652346725077521.3652276281284381.3801311186847091.3633380946752001.3654707847825841.3651993812478311.3652339107429841.365229517559543发散收敛收敛（3）取初始值x0=1.30，迭代结果如下：迭代步数n迭代格式123456789101112131415 2.343000000000000-22.4778436070000019.323516446902724e+003-8.108219573345890e+011 5.330605009160471e+035-1.514710057873552e+107 Inf1.3966925216381741.348647661864871 1.373591233274327 1.360916308043531 1.367429720635338 1.364101566687551 1.365807135043137 1.364934392575762 1.365381318675585 1.365152540199034 1.365269673871691 1.3652097080555861.365240408776732 1.3652246913402981.3652327380963381.373605639486890 1.3641656335521121.365365453979880 1.365212781718142 1.3652322057977511.365229734478521发散收敛收敛 （4）取初始值x0=1.35，迭代结果如下：迭代步数n迭代格式123456789101112131.599624999999998 -2.728696237447233 -2.194548379150916 -0.889680276517144 6.648405259779069 -4.540248702677044e+0029.276704496659131e+007 -7.983276783143062e+023 5.087958496701220e+071 -1.317136182179706e+2151.372918879613796 1.361265644820378 1.367252230974365 1.364192788092528 1.365760526179413 1.364958278834917 1.365369096217715 1.365158799295786 1.365266469894964 1.365211348482401 1.365239568971871 1.3652251212957411.3652325179778781.367171854049327 1.364983021234603 1.365261439166450 1.3652260151519791.365230522110880发散收敛收敛（5）取初始值x0=1.40，迭代结果如下：迭代步数n迭代格式12345678910111213140.8160000000000027.609237503999985 -6.545713651042345e+002 2.787455514286298e+008 -2.165827389138137e+025 1.015948104902566e+076 -1.048611397131342e+2281.346848172586651 1.374483304275448 1.360452145192081 1.367665374147659 1.363980405747051 1.365869029182214 1.364902669703743 1.365397550251570 1.365144227823156 1.365273928846953 1.365207529505614 1.365241524066006 1.3652241203438951.3652330304213571.360827634879543 1.365790470333855 1.365158712401375 1.365239085089733 1.3652288592316941.365230160260058发散收敛收敛 五、实验分析选取迭代初值为1.35，迭代结果如图1所示。由图可明显知道，第一种迭代方式发散，第二种和第三种收敛。但是第二种迭代方式迭代的步数多，因为其迭代所得的值是忽大忽小的，所以迭代所需的步数多。第三种迭代方式步数最少。所以选择合适的迭代方式非常重要。图1 初始值为1.35的迭代结果图取不同的迭代初值，迭代的步数是不一样的。如果取得初值越接近方程的根，则迭代所需的步数越少。比如本题方程的根是1.36523，取初始值1.35迭代时，第二种和第三种收敛的迭代格式步数均是最少的。但是对于第一种发散的迭代格式，不管迭代初值如何，仍然是发散的。该方程的根为1.36523。迭代误差小于迭代初值迭代步数1.101771.251661.301561.351351.40146六、实验拓展1设计新的迭代格式和，取迭代初值为x0=1.40迭代步数n迭代格式11.2926608140191311.35816618911174821.4912246256274611.36669133333052431.0338407095517601.36492882562862141.7888918319131611.36529213786356050.704774834213240+ 1.220705820753264i1.36521720135122762.468416038638107- 0.379515051007131i1.36523265576040771.365229468463052发散收敛2用Newton法（切线法）设计迭代格式：由于f(x)=x3+4x2-10，所以f(x)=3x2+8x,根据Newton法迭代 得到新的迭代格式为 取迭代初值x0=1.10，结果如下迭代步数n迭代格式11.40804505229284021.36610134082686531.36523038537962241.36523001341416556收敛，且且收敛速度较快在1，1.5内取不同迭代初值，Newton迭代法的迭代步数相差不大，而且收敛速度都很快。迭代初值迭代步数1.1041.2541.3031.3531.403附录：MATLAB程序如下主程序：function A=diedai(x,max)%输入量-x0是初始值，k是迭代步数；输出量-矩阵A，包含迭代步数、偏差和迭代值xkformat longA=zeros(max,3)；%预置MAX*3零矩阵k=1;x(k)=x; piancha=abs(x(k)-x);A(k,:)=(k-1) piancha x;while (k=max) x(k+1)=fun4(x(k)；%程序中调用迭代函数y=(x) piancha= abs(x(k+1)-x(k); k=k+1; xk=x(k); A(k,:)=(k-1) piancha xk; if (piancha =10(-5) disp(请用户注意：此迭代格式发散，请重新输入新的迭代格式)end调用的迭代函数y=(x)的程序：前三种迭代法 function y=fun1(x)y=10+x-4*x2-x3;function y=fun2(x)y=sqrt(10-x3)/2;function y=fun3(x)y=sqrt(10/(x+4);Newton迭代法 function y=fun4(x) y=(2*x3+4*x2+10)/(3*x2+8*x);