弹簧类问题中动量守恒和能量守恒的综合应用

弹簧类问题中动量守恒和能量守恒的综合应用河北省鸡泽县第一中学 吴社英邮 编 057350手 机 13091129626两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的物理过程，具有以下一些特点：能量变化上，如果只有重力和系统内弹簧弹力做功，系统的机械能守恒；如果系统所受合外力为零，则系统动量守恒；若系统每个物体除弹簧弹力外所受合外力为零，则当弹簧伸长或压缩最大程度时两物体速度相同(如光滑水平面上的弹簧连结体问题)，且当弹簧为自然状态时系统内某一端的物体具有最大速度(如弹簧锁定的系统由静止释放)。例1 如图1所示，物体A和B质量相等，它们连在一个轻质弹簧两端，置于左侧有一竖直挡板的光滑水平面上，B与竖直挡板接触，此时弹簧处于原长，A此时以速度v0压缩弹簧，然后反弹回去。若全过程始终未超过弹簧的弹性限度，对A、B和弹簧组成的系统，则(A) 从A压缩弹簧开始，动量和机械能守恒(B) 弹簧第一次恢复原长开始，动量和机械能都守恒(C) 弹簧第一次拉伸最长时，弹簧的弹性势能与A、B此时的动能之和相等(D) 弹簧第二次恢复原长时，A、B的动量大小相等图1 V0 B B A 分析与解答 从A开始压缩弹簧开始，至弹簧第一次变为原长，这个过程中挡板对系统有向右的作用力，故系统动量不守恒，但这个作用力对系统并不作功，故系统机械能守恒，A选项错。从弹簧第一次恢复原长开始，挡板对系统不再有力的作用，系统所受合外力为零，除弹簧弹力对A、B做功外，无其它力做功，故系统机械能守恒，B选项正确。弹簧第一次拉伸最长时，AB速度相同，设为v，则mv0=2mv (1)，EP=mv022mv2 (2) 由(1) (2) 得 EP=mv02此时的动能之和为EK=2mv2=mv02，所以C选项正确。当弹簧恢复原长时，即A、B相互作用结束时，二者速度应交换，所以必有一个物体的速度为零，D选项错。答案 BC点拨：本题一定要注意挡板对系统有向右的作用力时，系统动量不守恒，但因为不做功，所以机械能守恒。别处要抓住弹簧在最长时速度相等的特点。例2 如图2所示，质量为M的平板小车静止在光滑水平面上。小车左端放一质量为m的木块，车的右端固定一个轻质弹簧，现给木块一个水平向右的瞬时冲量I，木块便沿田板向右滑行，在与弹簧相碰后又沿原路返回并且恰好能到达小车左端，求：(1) 弹簧被压缩到最短时平板车的动量图2 m M(2) 木块返回小车左端时的动能(3) 弹簧获得的最大弹性势能分析与解答 (1) 弹簧压缩到最短时，平板车与木块有共同速度I=(M+m)v共平板车的动量为P=M v共=(2) 由系统动量守恒知木块到小车左端时的速度与弹簧被压缩到最短时速度相同，有 EK=M v2共= (1)(3) 木块从开始运动到弹簧最短克服摩擦力做功 Wf =(M+m) v2共EP (2)木块从开始运动到回到车左端时克服摩擦力做功 2 Wf =(M+m) v2共由(1)(2)得EP=点拨：整个过程系统所受合外力为零，故系统动量守恒；因为有摩擦力做功，故系统机械能不守恒，但可以利用功能关系求解。例3 如图3所示，光滑轨道上，小车A、B用轻质弹簧连接，将弹簧压缩后用细绳系在A、B上，然后使A、B以速度V0沿轨道向右运动，运动中细绳突然断开，当弹簧第一次恢复原长时，A的速度刚好为零，已知A、B的质量分别为mA、mB，且mAmB。求：(1) 被压缩的弹簧具有的弹性势能EP。(2) 试定量分析、讨论在以后的运动过程中，小车B有无速度为零的时刻？ V0图3 A B分析与解答 (1)设弹簧第一次恢复原长时B的速度为VB，以A、B弹簧为系统动量守恒 (mA+mB) V0= mBVB 机械能守恒 (mA+mB) V02+EP=mBVB 2 由解出 EP= V02 (3) 设以后运动过程中B的速度为0时，A的速度为VA，此时弹簧的弹性势能为EP，由动量守恒 (mA+mB) V0= mA VA 由机械能守恒有 (mA+mB) V02+EP=mAVA 2+ EP 由 有 EP= V02 V02因mAmB所以EP 0 弹性势能小于0是不可能的，所以的速度没有等于0的时刻。点拨：因为系统所受合外力为零且除系统内弹簧弹力做功外没有其它力做功，所以动量守恒、机械能守恒是分析和处理本题的根本。例4 在原子核物理中，研究核子与核关联的最有效途径是“双电荷交换反应”。这类反应的前半部分过程和下述物理模型类似。两个小球A和B用轻质弹簧相连，在光滑水平直轨道上处于静止状态。在它们左边有一垂直于轨道的固定挡板P，右边有一小球C沿轨道以速度v0射向B球，如图4所示。C与B发生碰撞并立即结成一个整体D。在它们继续向左运动的过程中，当弹簧长度变到最短时，长度突然被锁定，不再改变。然后，A球与挡板P发生碰撞，碰后A、D都静止不动，A与P接触而不粘连。过一段时间，突然解除锁定（锁定及解除锁定均无机械能损失）。已知A、B、C三球的质量均为m。1） 求弹簧长度刚被锁定后A球的速度 。2） 求在A球离开挡板P后的运动过程中，弹簧的最大弹性势能。 P V0 A B C P图4分析与解 1)设C球与B球粘结成一个整体D时，D的速度为v1。由动量守恒定律有 mv0=(m+m)v1 (1)当弹簧压至最短时，D与A的速度相等，设此速度为v2。由动量守恒定律有 2mv1=3mv2 (2)由两式得A的速度 v2=v0 (3)2)设弹簧长度被锁定后，贮存在弹簧中的势能为EP。由能量守恒定律有 (2m)v12=(3m)v22+EP (4)撞击P后，A与D的动能都为零。解除锁定后，当弹簧刚恢复自然长度时，势能全部转变成D的动能。设D的速度为v3，则有 EP = (2m)v22 (5)以后弹簧伸长，A球离开挡板P，并获得速度。当A与D的速度相等时，弹簧伸至最长。设此时的速度为v4，由动量守恒定律有 2mv3=3mv4 (6)当弹簧伸到最长时，其势能最大，设此势能为EP，由能量守恒定律有(2m)v32 =(3m)v42+ EP (7)解以上各式得EP = mv02 点拨：在解除锁定到弹簧恰好恢复自然长度的过程中，系统的动量不守恒，因为此过程中挡板对系统有作用，A球离开墙壁后动量才守恒，而在此过程中机械能是守恒的。4