2015湖北高考文科数学详解

2015湖北高考文科数学详解一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.为虚数单位，A B C D1 【答案】.【解析】试题分析：因为，所以应选. 考点：1、复数的四则运算；2.我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（ ）A134石 B169石 C338石 D1365石【答案】.考点：1、简单的随机抽样；3.命题“，”的否定是A， B，C， D，【答案】.【解析】试题分析：由特称命题的否定为全称命题可知，所求命题的否定为，故应选.考点：1、特称命题；2、全称命题；4.已知变量和满足关系，变量与正相关. 下列结论中正确的是 A与负相关，与负相关 B与正相关，与正相关 C与正相关，与负相关 D与负相关，与正相关【答案】.【解析】试题分析：因为变量和满足关系，其中，所以与成负相关；又因为变量与正相关，不妨设，则将代入即可得到：，所以，所以与负相关，综上可知，应选.考点：1、线性回归方程；5.表示空间中的两条直线，若p：是异面直线；q：不相交，则 Ap是q的充分条件，但不是q的必要条件 Bp是q的必要条件，但不是q的充分条件Cp是q的充分必要条件 Dp既不是q的充分条件，也不是q的必要条件【答案】.考点：1、充分条件；2、必要条件；6.函数的定义域为 A B C D【答案】.【解析】试题分析：由函数的表达式可知，函数的定义域应满足条件：，解之得，即函数的定义域为，故应选.考点：1、函数的定义域求法；7.设，定义符号函数 则A B C D【答案】.考点：1、新定义；2、函数及其函数表示；8.在区间上随机取两个数，记为事件“”的概率，为事件“” 的概率，则A B C D【答案】.【解析】试题分析：由题意知，事件“”的概率为，事件“”的概率，其中，所以，故应选.考点：1、几何概型；2、微积分基本定理；9.将离心率为的双曲线的实半轴长和虚半轴长同时增加个单位 长度，得到离心率为的双曲线，则 A对任意的， B当时，；当时， C对任意的， D当时，；当时，【答案】.考点：1、双曲线的定义；2、双曲线的简单几何性质；10.已知集合，定义集合 ，则中元素的个数为 A77 B49 C45 D30【答案】.【解析】试题分析：由题意知，所以由新定义集合可知，或.当时，所以此时中元素的个数有：个；当时，这种情形下和第一种情况下除的值取或外均相同，即此时有，由分类计数原理知，中元素的个数为个，故应选.考点：1、分类计数原理；2、新定义；第卷（共110分）（非选择题共110分）二、填空题（每题7分，满分36分，将答案填在答题纸上）11.已知向量，则_【答案】.考点：1、平面向量的数量积的应用；12.若变量满足约束条件 则的最大值是_【答案】.【解析】试题分析：首先根据题意所给的约束条件画出其表示的平面区域如下图所示，然后根据图像可得: 目标函数过点取得最大值，即，故应填.考点：1、简单的线性规划问题；13.函数的零点个数为_.【答案】.【解析】试题分析：函数的零点个数等价于方程的根的个数，即函数与的图像交点个数.于是，分别画出其函数图像如下图所示，由图可知，函数与的图像有2个交点.考点：1、函数与方程；2、函数图像；14.某电子商务公司对10000名网络购物者2014年度的消费情况进行统计，发现消费金额 （单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示. （）直方图中的_； （）在这些购物者中，消费金额在区间内的购物者的人数为_. 【答案】（）3；（）6000.考点：1、频率分布直方图；15.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度_m. 【答案】.考点：1、正弦定理；2、解三角形的实际应用举例；16.如图，已知圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且. （）圆的标准方程为_； （）圆在点处的切线在轴上的截距为_.【答案】（）；（）.【解析】试题分析：设点的坐标为，则由圆与轴相切于点知，点的横坐标为，即，半径.又因为，所以，即，所以圆的标准方程为，令得：.设圆在点处的切线方程为，则圆心到其距离为：，解之得.即圆在点处的切线方程为，于是令可得，即圆在点处的切线在轴上的截距为，故应填和.考点：1、直线与圆的位置关系；2、直线的方程；17.a为实数，函数在区间上的最大值记为. 当_时，的值最小.【答案】.：，：，综上，当时，取到最小值考点：1、分段函数的最值问题；2、函数在区间上的最值问题；三、解答题 （本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18.（本小题满分12分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：0050 （）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数的解 析式； （）将图象上所有点向左平行移动个单位长度，得到图象，求 的图象离原点最近的对称中心.【答案】（）根据表中已知数据，解得.数据补全如下表：且函数表达式为；（）离原点最近的对称中心为.【解析】试题分析：（）根据已知表格中的数据可得方程组，解之可得函数的表达式，进而可补全其表格即可；（）由（）并结合函数图像平移的性质可得，函数的表达式，进而求出其图像的对称中心坐标，取出其距离原点最近的对称中心即可.试题解析：（）根据表中已知数据可得：，解得. 数据补全如下表：且函数表达式为. （）由（）知，因此 .因为的对称中心为，. 令，解得，.即图象的对称中心为，其中离原点最近的对称中心为. 考点：1、函数的图像及其性质；2、三角函数的图像及其性质；19.（本小题满分12分）设等差数列的公差为d，前n项和为，等比数列的公比为q已知，（）求数列，的通项公式；（）当时，记，求数列的前n项和【答案】（）或；（）.【解析】试题分析：（）由已知可列出方程组，解之得即可得出所求的结果；（）由（）可得，于是，易发现：的通项是一个等差数列和一个等比数列相乘而得的，直接对其进行求和运用错位相减法即可得出结论.试题解析：（）由题意有， 即，解得 或 故或. （）由，知，故，于是， . -可得，故. 考点：1、等差数列；2、等比数列；3、错位相减法；20.（本小题满分13分）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马中，侧棱底面，且，点是的中点，连接. （）证明：平面. 试判断四面体是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；（）记阳马的体积为，四面体的体积为，求的值【答案】（）因为底面，所以. 由底面为长方形，有，而，所以平面. 平面，所以. 又因为，点是的中点，所以. 而，所以平面.四面体是一个鳖臑；（）【解析】试题分析：（）由侧棱底面易知，；而底面为长方形，有，由线面垂直的判定定理知平面，进而由线面垂直的性质定理可得；在中，易得，再由线面垂直的判定定理即可得出结论.由平面，平面，进一步可得四面体的四个面都是直角三角形，即可得出结论；（）结合（）证明结论，并根据棱锥的体积公式分别求出，即可得出所求结果.试题解析：（）因为底面，所以. 由底面为长方形，有，而，所以平面. 平面，所以. 又因为，点是的中点，所以. 而，所以平面. 由平面，平面，可知四面体的四个面都是直角三角形，即四面体是一个鳖臑，其四个面的直角分别是（）由已知，是阳马的高，所以；由（）知，是鳖臑的高， ，所以.在中，因为，点是的中点，所以，于是 考点：1、直线与平面垂直的判定定理；2、直线与平面垂直的性质定理；3、简单几何体的体积；21.（本小题满分14分）设函数，的定义域均为，且是奇函数，是偶函数，其中e为自然对数的底数. （）求，的解析式，并证明：当时，；（）设，证明：当时，.【答案】（），.证明：当时，故 又由基本不等式，有，即 （）由（）得 当时，等价于 等价于 于是设函数 ，由，有 当时，（1）若，由，得，故在上为增函数，从而，即，故成立.（2）若，由，得，故在上为减函数，从而，即，故成立.综合，得 .【解析】试题分析：（）将等式中用来替换，并结合已知是奇函数，是偶函数可得于是联立方程组即可求出的表达式；当时，由指数与指数函数的性质知，进而可得到然后再由基本不等式即可得出（）由（）得，.于是要证明，即证，也就是证明，即证于是构造函数，利用导数在函数的单调性与极值中的应用即可得出结论成立.试题解析：（）由, 的奇偶性及,得： 联立解得，.当时，故 又由基本不等式，有，即 （）由（）得 ， ， 当时，等价于， 等价于 设函数 ，由，有 当时，（1）若，由，得，故在上为增函数，从而，即，故成立.（2）若，由，得，故在上为减函数，从而，即，故成立.综合，得 .考点：1、导数在研究函数的单调性与极值中的应用；2、函数的基本性质；22.（本小题满分14分）一种画椭圆的工具如图1所示是滑槽的中点，短杆ON可绕O转动，长杆MN通过N处铰链与ON连接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑动，且，当栓子D在滑槽AB内作往复运动时，带动N绕转动，M处的笔尖画出的椭圆记为C以为原点，所在的直线为轴建立如图2所示的平面直角坐标系（）求椭圆C的方程；（）设动直线与两定直线和分别交于两点若直线总与椭圆有且只有一个公共点，试探究：的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由【答案】（）（）当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8.【解析】试题分析：（）由题意并结合三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）知，即，这表明椭圆的长半轴长为，短半轴长为，即可求出椭圆的方程；（）首先讨论直线的斜率存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，易知直线的方程为或，即可求出的面积的值；当直线的斜率存在时，设出直线的方程，然后联立直线与椭圆的方程并整理得到一元二次方程，然后根据题意直线总与椭圆有且只有一个公共点知，即可得到.再分别联立直线与直线和可解得点和点的坐标，并根据原点到直线的距离公式可求得，于是的面积可表示为消去参数可得，于是分两种情况进行讨论：当时；当时，分别求出的面积的最小值，并比较即可求出的面积取得最小值.试题解析：（）因为，当在x轴上时，等号成立；同理，当重合，即轴时，等号成立. 所以椭圆C的中心为原点，长半轴长为，短半轴长为，其方程为（）（1）当直线的斜率不存在时，直线为或，都有. （2）当直线的斜率存在时，设直线， 由 消去，可得.因为直线总与椭圆有且只有一个公共点，所以，即. 又由 可得；同理可得.由原点到直线的距离为和，可得. 将代入得，. 当时，；当时，.因，则，所以，当且仅当时取等号.所以当时，的最小值为8.综合（1）（2）可知，当直线与椭圆在四个顶点处相切时，的面积取得最小值8. 考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆相交综合问题；