2014年苏锡常镇四市高三数学情况调查(一)试题及答案.doc

2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学试题注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1本试卷共4页包含填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）本卷满分160分，考试时间为120分钟考试结束后请将答题卡交回2答题前请您务必将自己的姓名、准考证号用05毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答在其他位置作答一律无效作答必须用05毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整笔迹清楚4如需作图须用2B铅笔绘、写清楚线条、符号等须加黑、加粗5请保持答题卡卡面清洁不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔 命题单位：常州市教育科学研究院 20143参考公式：柱体的体积公式：V柱体=，其中S是柱体的底面积，h是高 直棱柱的侧面积公式：S直棱柱侧=ch，其中c是直棱柱的底面周长，h是高一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合，若，则 结束 开始 x 1 y 1 y 2y + 1 输出y N Y （第5题） x5 x x + 1 Y 2若复数z =（为虚数单位），则 | z | = 3已知双曲线的离心率为，则实数m的值为 4一个容量为20的样本数据分组后，分组与频数分别如下：，2； ，3；，4；，5；，4；，2则样本在上的频率是 5执行如图所示的算法流程图，则最后输出的等于 6设函数，若，则的值为 7 四棱锥P - ABCD 的底面ABCD是边长为2的正方形，PA底面ABCD且PA = 4，则PC与底面ABCD所成角的正切值为 8从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲乙两人中有且只有一个被选取的概率为 9已知，则的值为 10设等差数列的前项和为，若，则正整数= 11已知正数满足，则的最小值为 （第12题） 12如图，在ABC中，BO为边AC上的中线，设，若，则的值为 13已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为 14在平面直角坐标系中，已知点在圆内，动直线过点且交圆于两点，若ABC的面积的最大值为，则实数的取值范围为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）设函数 （1）求的最小正周期和值域； （2）在锐角中，角的对边分别为，若且，求和（第16题） 16（本小题满分14分）如图，在三棱柱中，侧面为菱形， 且，是的中点（1）求证：平面平面；（2）求证：平面17（本小题满分14分）一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中O为圆心，在半圆上），设，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）（1）求V关于的函数表达式；（2）求的值，使体积V最大；（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由（第17题） 18（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系中，已知，是椭圆上不同的三点，在第三象限，线段的中点在直线上（第18题） （1）求椭圆的标准方程；（2）求点C的坐标；（3）设动点在椭圆上（异于点，）且直线PB，PC分别交直线OA于，两点，证明为定值并求出该定值19（本小题满分16分）设各项均为正数的数列的前n项和为Sn，已知，且对一切都成立（1）若 = 1，求数列的通项公式； （2）求的值，使数列是等差数列20（本小题满分16分）已知函数，其中m，a均为实数（1）求的极值；（2）设，若对任意的，恒成立，求的最小值；（3）设，若对任意给定的，在区间上总存在，使得 成立，求的取值范围2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一） 数学（附加题） 注 意 事 项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求1. 本试卷只有解答题，供理工方向考生使用本试卷第21题有A、B、C、D 4个小题供选做，每位考生在4个选做题中选答2题若考生选做了3题或4题，则按选做题中的前2题计分第22、23题为必答题每小题10分，共40分考试时间30分钟考试结束后，请将答题卡交回.2. 答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔请注意字体工整，笔迹清楚4. 如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗的圆珠笔命题单位：常州市教育科学研究院 2014321【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤（第21-A题）A选修41：几何证明选讲如图，为四边形的外接圆，且，是延 长线上一点，直线与圆相切求证：B选修42：矩阵与变换 已知矩阵，计算C选修44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，圆的参数方程为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系求：（1）圆的直角坐标方程；（2）圆的极坐标方程D选修45：不等式选讲 已知函数，若函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分10分） 甲乙两个同学进行定点投篮游戏，已知他们每一次投篮投中的概率均为，且各次投篮的结果互不影响甲同学决定投5次，乙同学决定投中1次就停止，否则就继续投下去，但投篮次数不超过5次 （1）求甲同学至少有4次投中的概率； （2）求乙同学投篮次数的分布列和数学期望23（本小题满分10分）设，且，其中当为偶数时，；当为奇数时，（1）证明：当，时，；（2）记，求的值2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学试题参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1 2 3. 4 4. 563 62 7 8. 9 1013 119 12 13. 14. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 解：（1）= 3分所以的最小正周期为， 4分值域为 6分 （2）由，得为锐角， 9分 ， 10分在ABC中，由正弦定理得 12分 14分16（1）证明： 为菱形，且， 为正三角形 2分是的中点， ，是的中点， 4分，平面 6分平面，平面平面 8分（2）证明：连结，设，连结三棱柱的侧面是平行四边形，为中点 10分在中，又是的中点， 12分平面，平面， 平面 14分17解：（1）梯形的面积=， 2分体积 3分（2）令，得，或（舍） ， 5分当时，为增函数；当时，为减函数 7分当时，体积V最大 8分（3）木梁的侧面积=， =，10分设，当，即时，最大 12分又由（2）知时，取得最大值，所以时，木梁的表面积S最大 13分综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大 14分18解：（1）由已知，得 解得 2分 所以椭圆的标准方程为 3分（2）设点，则中点为 由已知，求得直线的方程为，从而 又点在椭圆上， 由，解得（舍），从而 5分 所以点的坐标为 6分（3）设，三点共线，整理，得8分三点共线，整理，得10分点在椭圆上， 从而 14分所以 15分为定值，定值为 16分19解：（1）若 = 1，则，又， ， 2分， 化简，得 4分当时， - ，得，（） 6分 当n = 1时， ，n = 1时上式也成立，数列an是首项为1，公比为2的等比数列， an = 2n-1（） 8分（2）令n = 1，得令n = 2，得 10分要使数列是等差数列，必须有，解得 = 0 11分当 = 0时，且当n2时，整理，得， 13分从而，化简，得，所以 15分综上所述，（），所以 = 0时，数列是等差数列 16分20解：（1），令，得x = 1 1分列表如下：x（-，1）1（1，+）+0-g(x)极大值g(1) = 1，y =的极大值为1，无极小值 3分（2）当时，在恒成立，在上为增函数 4分设， 0在恒成立，在上为增函数 5分设，则等价于，即 设，则u(x)在为减函数在（3，4）上恒成立 6分恒成立 设，=，x3，4， 0，为减函数在3，4上的最大值为v(3) = 3 - 8分a3 -，的最小值为3 - 9分（3）由（1）知在上的值域为 10分，当时，在为减函数，不合题意 11分当时，由题意知在不单调，所以，即 12分此时在上递减，在上递增，即，解得 由，得 13分，成立 14分下证存在，使得1取，先证，即证设，则在时恒成立在时为增函数，成立再证1，时，命题成立 综上所述，的取值范围为 16分2014年苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一）数学（附加题） 参考答案21、【选做题】在A、B、C、D 四小题中只能选做两题，每小题10分，共计20分A选修41：几何证明选讲证明：连结是圆的切线， 2分， 4分 圆是四边形的外接圆， 6分 8分， ， 10分B选修42：矩阵与变换 解：矩阵M的特征多项式为 令，对应的一个特征向量分别为， 5分令，得10分C选修44：坐标系与参数方程解：（1）圆的直角坐标方程为 5分（2）把代入上述方程，得圆的极坐标方程为10分D选修45：不等式选讲解：的最小值为， 5分由题设，得，解得 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分 22解：（1）设甲同学在5次投篮中，有次投中，“至少有4次投中”的概率为，则 2分= 4分（2）由题意，的分布表为123458分的数学期望 10分23解：（1）当为奇数时，为偶数，为偶数，=当为奇数时，成立 5分同理可证，当为偶数时， 也成立 6分（2）由，得= 9分又由，得，所以， 10分