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永川中学 版权所有：邓红彦高一数学必修5知识点网络第二章 数列附知识考点：1、 数列的判定 （1）等差数列的判断方法： 定义法：为等差数列。 中项法： 为等差数列。通项公式法：（a,b为常数）为等差数列。前n项和公式法：（A,B为常数）为等差数列。（2）等比数列的判断方法： 定义法：，其中； 中项法：；通项公式法：（A为常数）为等比数列。前n项和公式法：（B为常数）为等比数列。2、 已知成等差数列，求的最值问题： 已知关系，若,d0且满足,则最小. 已知，因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性； ，则取最值，且【典型例题】（1） 等差数列中，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；3、 等差中项和等比中项等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。提醒：（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，（公差为）；偶数个数成等差，可设为，,（公差为2）等比中项：如果a、G、b三个数成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G=.提醒：（1）不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个。 （2）等比数列的通项公式及前项和公式中，涉及到5个元素：、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2； （3）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，（公比为）；但偶数个数成等比时，不能设为，因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为。【典型例题】（1） 如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）4、 等差数列和等比数列的性质 1、等差数列的性质（1）当公差时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且一次项系数为公差；前项和是关于的二次函数且常数项为0. （2）单调性：若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。 （3）下标关系：若,则有，特别地，当时，则有. 【典型例题】等差数列中，则_（答：27）； （4）片段和性质 ，也成等差数列； 【典型例题】等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。（答：225） 【典型例题】设与是两个等差数列，它们的前项和分别为和，若，那么_（答：） （6）如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究.（了解） 2、等比数列的性质 （1） 下标关系：若时，则有，特别地，当时，则有.【典型例题】（1）在等比数列中，公比q是整数，则=_（答：512）； （2）各项均为正数的等比数列中，若，则 （答：10）。 (2) 单调性：若，或则为递增数列；若,或 则为递减数列；若，则为摆动数列；若，则为常数列. (3) 片段和性质：若是等比数列，且公比，则数列 ，也是等比数列。当，且为偶数时，数列 ，是常数数列0，它不是等比数列. 【典型例题】 （1）在等比数列中，为其前n项和，若，则的值为_（答：40） 3、等差数列和等比数列的联系 若是等比数列，且，则是等差数列。5、 数列求和的常用方法1、公式法：（已知数列的类型）： 直接利用或可通过转化为等差、等比数列的求和公式求解。特别声明：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论.；常用公式：， ，（了解） （了解）【典型例题】 设等比数列an的前n项和为Sn.已知a26,6a1a330，求Sn.（答：Sn3(2n1)或Sn3n1）（2）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常把数列的各项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差或等比数列，然后利用公式求和。 【典型例题】已知，求Sn： （3）倒序相加法：倒序相加法：数列特点：与首末等距离的两项之和等于首末两项之和，则采用此法。（联系：等差数列的前n项和推导过程以及高斯小时候巧解算术题）. 【典型例题】已知，则_（答：） （5） 裂项相消法：裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负抵消，从而前n项化成首尾若干少数项之和。如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有：； ；【典型例题】（1）求和： （答：）； （2）在数列中，且S，则n_（答：99）； （6）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，即数列是一个“差比”数列，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前和公式的推导方法）. 【典型例题】设为等比数列，已知， 求数列的首项和公比； 求数列的通项公式.（答：，；）；6、 求数列的通项公式1、公式法（已知数列的类型）： 根据已知条件，求出等差或等比数列中的基本量。 【典型例题】设等差数列an的前n项和为Sn，若a6S312，则an的通项an_。（答）2、已知前n项和（），求，用作差法：。注意：（1）用求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（，当时，）；（2）一般地当已知条件中含有与的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含或的关系式，然后再求解。 【典型例题】 已知的前项和满足，求（答：）； 数列满足，求（答：） 若数列an的前n项和为Sn，且an2Sn3，求an（答：an3(1)n1）； 数列满足，求（答：）3、已知前n项积（），求，用作商法：。【典型例题】数列中，对所有的都有，则_（答：）4、若求，用累加法：。【典型例题】已知数列满足，则=_（答：）5、已知求，用累乘法：。【典型例题】已知数列中，前项和，若，求（答：）6、已知递推关系求，用构造法（构造等差、等比数列）。 （1）形如（为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为的等比数列后，再求。 【典型例题】 已知，求（答：）；（2）形如的递推数列都可以用倒数法求通项。 【典型例题】已知，求（答：）；- 7 -
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