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河北省廊坊市2010年高中数学联赛模拟试题(一)一、 选择题:(每小题6分,共36分)1、 方程6(5a2b2)5c2满足c20的正整数解(a,b,c)的个数是(A)1(B)3(C)4(D)52、 函数(xR,x1)的递增区间是(A)x2(B)x0或x2(C)x0(D)x或x3、 过定点P(2,1)作直线l分别交x轴正向和y轴正向于A、B,使AOB(O为原点)的面积最小,则l的方程为(A)xy30(B)x3y50(C)2xy50(D)x2y404、 若方程cos2xsin2xa1在上有两个不同的实数解x,则参数a的取值范围是(A)0a1(B)3a1(C)a1(D)0a15、 数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,的第1000项是(A)42(B)45(C)48(D)516、 在1,2,3,4,5的排列a1,a2,a3,a4,a5中,满足条件a1a2,a2a3,a3a4,a4a5的排列的个数是(A)8(B)10(C)14(D)16二、 填空题:(每小题6分,共36分)1、x表示不大于x的最大整数,则方程x2x19x99的实数解x是 2、设a11,an+12ann2,则通项公式an 3、数799被2550除所得的余数是 4、在ABC中,A,sinB,则cosC 5、设k、q是实数,使得关于x的方程x2(2k1)xk210的两个根为sinq和cosq,则q的取值范围是 6、数(nN)的个位数字是 三、 (10分)已知x、y、z都是非负实数,且xyz1求证:x(12x)(13x)y(12y)(13y)z(12z)(13z)0,并确定等号成立的条件四、 (10分)(1) 求出所有的实数a,使得关于x的方程x2(a2002)xa0的两根皆为整数(2) 试求出所有的实数a,使得关于x的方程x3(a22a2)x2a22a0有三个整数根五、 (10分)试求正数r的最大值,使得点集T(x,y)|x、yR,且x2(y7)2r2一定被包含于另一个点集S(x,y)|x、yR,且对任何qR,都有cos2qxcosqy0之中六(16分)设a、b、cR,bac,ac,z是复数,且z2(ac)zb0求证:的充分必要条件是(ac)24b0七(16分)ACBDQKP如图,在ABC中,ABC和ACB均是锐角,D是BC边上的内点,且AD平分BAC,过点D分别向两条直线AB、AC作垂线DP、DQ,其垂足是P、Q,两条直线CP与BQ相交与点K求证:(1) AKBC;(2) ,其中表示ABC的面积八(16分)给定一个正整数n,设n个实数a1,a2,an满足下列n个方程:确定和式的值(写成关于n的最简式子)参考答案一、选择题:题号123456答案CCDABD二、填空题:1、或;2、72n-1n22n3;3、343;4、;5、q|q2npp或2np,nZ;6、1(n为偶数);7(n为奇数)三、证略,等号成立的条件是或或或四、(1)a的可能取值有0,1336,1936,1960,2664,4000,2040;(2)a的可能取值有3,11,1,9五、rmax六、证略(提示:直接解出,通过变形即得充分性成立,然后利用反证法证明必要性)七、证略(提示:用同一法,作出BC边上的高AR,利用塞瓦定理证明AR、BQ、CP三线共点,从而AKBC;记AR与PQ交于点T,则ARATAQAP,对于AKAP,可证APKAKP)八、
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