微分方程

1、第一章 绪论 教学目标 1 理解常微分方程及其解的概念，能判别方程的阶数、线性与非线性。 2 掌握将实际问题建立成常微分方程模型的一般步骤。 3 理解积分曲线和方向场的概念。 教学重难点 重点微分方程 的基本概念 ，难点是积分曲线和方向场。 教学方法 讲授，实践。 教学时间 4 学时 教学内容 常微分方程（偏微分方程）的概念，微分方程的阶，隐式方程，显式方程，线性（非线性）常微分方程；常微分方程的通解，特解，隐式解，初值问题，定解问题，积分曲线和方向场； 建立 常微分方程 模型 的具体方法。 考核目标 常微 分方程及其解的概。

2、,4.3高阶微分方程的降阶和幂级数解法,.,一、可降阶的一些方程类型,n阶微分方程的一般形式:,1 不显含未知函数x,或更一般不显含未知函数及其直到k-1(k1)阶导数的方程是,解得,积分,即,.,解题步骤:,第一步:,第二步:,求以上方程的通解,即,第三步:,对上式求k次积分,即得原方程的通解,.,解,令,则方程化为,这是一阶方程,其通解为,即有,对上式积分4次, 得原方程的通解为,例1,.,2 不显含自变量t的方程,一般形式:,因为,.,用数学归纳法易得:,将这些表达式代入(4.59)可得:,即有新方程,它比原方程降低一阶,.,解题步骤:,第一步:,第二步:,求以上方程的通解。

3、第七章：偏微分方程,一、 几个基本概念,例：,1、方程的阶数,方程中出现的最高阶导数的阶数即为方程的阶数,一阶,二阶,2、线性、非线性、拟线性,方程经过有理化并消去分式后，若方程中没有未知函数及其偏导数的乘积或幂等非线性项，称该方程为线性,线性：,拟线性：,在非线性方程中，如果未知函数的所有最高阶导数不是非线性，则称此方程为拟线性,完全非线性：,除拟线性之外的非线性方程,二阶，线性,二阶，拟线性,二阶，完全非线性,3、齐次、非齐次,不含有未知函数及其偏导数的项,自由项：,自由项为零的方程,齐次方程：,自由项不为零的方程,。

4、常微分方程学习活动 6第三章一阶线性方程组、第四章 n 阶线性方程的综合练习本课程形成性考核综合练习共 3 次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握 要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。。

5、二阶线性微分方程,二阶线性齐次微分方程,二阶线性非齐次微分方程,n阶线性微分方程,第六节 线性微分方程解的结构,1,证毕,1. 线性齐次方程解的结构,是二阶线性齐次方程,的两个解,也是该方程的解.,证:,代入方程左边, 得,(叠加原理),定理1.,2,说明:,不一定是所给二阶方程的通解.,例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解,并不是通解,但是,则,为解决通解的判别问题,下面引入函数的线性相关与,线性无关概念.,3,定义:,是定义在区间 I 上的,n 个函数,使得,则称这 n个函数在 I 上线性相关,否则称为线性无关.,例如，,在( , )上都有,故它们在任何。

6、常微分方程 Ordinary Differential Equation,1,教材 (Text Book) （第三版） 王高雄 周之铭 朱思铭 王寿松编 高等教育出版社,参考书目 (Reference) 常微分方程 东北师范大学数学系编 高等教育出版社 常微分方程（山东师范大学数学系）庄万 黄启宇等编，山东科学技术出版社,2,课程评分方法 (Grading Policies) Lecture Grade (100) = Daily Grade (20) + Final Exam (80),二、如何学习常微分方程 ?,1. 课前预习, 培养浓厚的学习兴趣.,聪明在于学习 , 天才在于积累 .,学而优则用 , 学而优则创 .,由薄到厚 , 由厚到薄 .,马克思,一门科学, 只。

7、第五章 常微分方程的数值解法,主要内容： 1、引言 2、欧拉方法 3、龙格库塔方法 4、单步法的收敛性和稳定性 5、线性多步法 6、一阶方程组与高阶方程,1,第一节 引言,在常微分方程课程里面讨论的是一些典型方程求解解析解的基本方法。 然而在生产实践和科学研究中遇到的微分方程往往比较复杂，在很多情况下，不能给出解的解析表达式；有时候即时能用解析表达式来表示，又因为计算量太大而不实用，有时候一些是已经有了求解的基本方法的典型方程，但实际使用时也是有困难的。 以上情况说明用求解解析解的基本方法来求微分方程的解往往是不适。

8、华 北 水 利 水 电 学 院常微分方程的解法及应用（常见解法及举实例）课 程 名 称： 高等数学（2） 专 业 班 级： 成 员 组 成： 联 系 方 式： 2012年 05月25日摘要常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中。求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题。本文就是对不同类型的常微分方程的解法的系统总结：先对常微分方程定义及一般解法做简单阐述，然后应用变量替换法解齐次性微分方程，降阶法求高阶微分方程，讨论特殊的二阶微分方程，并且用具。