常微分方程考研讲义

第一章 绪论 教学目标 1 理解常微分方程及其解的概念，能判别方程的阶数、线性与非线性。 2 掌握将实际问题建立成常微分方程模型的一般步骤。 3 理解积分曲线和方向场的概念。 教学重难点 重点微分方程 的基本概念 ，难点是积分曲线和方向场。 教学方法 讲授，实践。 教学时间 4 学时 教学内容 常微分方程（偏微分方程）的概念，微分方程的阶，隐式方程，显式方程，线性（非线性）常微分方程；常微分方程的通解，特解，隐式解，初值问题，定解问题，积分曲线和方向场； 建立 常微分方程 模型 的具体方法。 考核目标 常微 分方程及其解的概念，会建立常微分方程模型。 1 微分方程模型 1、 微分方程的产生和发展 常微分方程有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产 生，又成为现代科学技术分析问题与解决问题的强有力工具。 该课程是与微积分一起成长起来的学科， 是 学习泛函分析、数理方程、微分几何的必要准备，本身也在工程力学、流体力学、天体力学、电路振荡分析、工业自动控制以及化学、生物、经济等领域有广泛的应用。 300 多年前， 定微积分基本思想的同时 ,就正式提出了微分方程的概念 . 17 世纪末到 18 世纪，常微分方程研究的中心问题是如何求出通解的表达式 . 19 世纪末到 20 世纪处 ,主要研究解的定性理论与稳定性问题 . 20 世纪进入新的阶段 ,定性上升到理论 ,进一步发展分为解析法、几何方法、数值方法 . 解析方法 :是把微分方程的解看作是依靠这个方程来定义的自变量的函数 . 几何方法 :(或定性方法 )把微分方程的解看作是充满平面或空间或其局部的曲线族 . 数值方法 :求微分方程满足一定初始条件 (或边界 )条件的解的近似值的各种方法 . 微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨 论过微分方程的近似解。 牛顿 在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布 贝努利、 欧拉 、法国数学家 克雷洛、 达朗贝尔 、 拉格朗日 等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是 和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理论逐步完善的时候，利 用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。 2、 微分方程模型 微分方程是 数学联系实际问题的重要渠道之一 ,将实际问题建立成微分方程模型最初并不是数学家做的 ,而是由化学家、生物学家和社会学家完成的。 例 1 物体冷却过程的数学模型 将某物体放置于空气中，在时刻 0t 时，测得 它的温度 为0 150u ， 10 分钟后 测得温度为1 100u 并计算 20 分钟后物体的温度 . 解 设物体在 时刻 t 的温度为 ()u u t ,由牛顿 (却定律可得 ( ) ( 0 , )k u u k u (这是关于未知函数 u 的一阶微分方程 ,利用微积分的知识将 (为 k d (两边积分 ,得到 l n ( ) au u k t c c 为任意常数 令 ,进而 u ( 根据初始条件 , 当 0t 时 , 0 得常数0 ac u u于是 0()u u u e (再根据条件 10t 分钟时 ,1得到 1010() u u u e 011 将011 5 0 , 1 0 0 , 2 4au u u 代入上式 ,得到 1 1 5 0 2 4 1l n l n 1 . 6 6 0 . 0 5 11 0 1 0 0 2 4 1 0k 从而 , 0 12 4 1 2 6 ( 由方程 (知 ,当 20t 分钟时 ,物体的温度2 70u ,而且 当 t 时 , 24u . 温度与时间的关系也可通过图形表示出来 可解释为：经过一段时间后，物体的温度和空气的温度将会没有什么差别了 过 2 小时后，物体的温度已变为 24 ，与空气的温度已相当接近 实际问题的信息 数学模型 抽象 、简化 数学模型解 答答 求解 实际问题 验证 解释 例 2 动力学问题 物体由高空下落 ,除受重力作用外 ,还受到空气阻力的作用 ,空气的阻力可看作与速度的平方成正比 ,试确定物体 下落过程所满足的关系式 . 解 设物体质量为 m ，空气阻力系数为 k ，又设在时刻 t 物体的下落速度为 v ,于是在时刻 t 物体所受的合外力为 2F m g ,建立坐标系 ,取向下方向为正方向 ,根据牛顿第二定律得到关系式 2m g k (而且 , 满足初始条件 0t 时 , 0v (例 3 电力学问题 在 如图 (示 的 R L C 电路 ,它包 括 电感 L 、 电阻 R 和电容 C 、 L 、 C 均为常数 ,电源()时间 t 的已知函数 ,建立 当开关 K 合上后 ,电流 I 应满足的微分方程 . 解 经过电感 L 、电阻 R 和电容 C 的电压降分别为： 中 Q 为电量，由基尔霍夫第二定律得到 () d I Qe t L R Id t C （ 因为 于是有 221 ( )d I R d I I d e td t L d t L C L d t （ 这就是电流 I 应满足的微分方程 )常熟，得到 22 0d I R d I Id t L d t L C （ 如果又有 0R ，则得到 22 0d I Id t L C （ 例 4 人口模型 英国人口统计学家马尔萨斯（ 1798 年提出了闻名于世的 口模型的基本假设是：在人口自然增长的过程中，净相对增长率（单位时间内人口的净增长数与人口总数之比）是常数，记此常数为 r （生命系数） . 在 t 到 这段时间内人口数量 ()N N t 的增长量为 ( ) ( ) ( )N t t N t r N t t （ ( ) ( )1,()N t t N t ） 于是 ()足微分方程 dN 将上式改写为 dN 于是变量 N 和 t 被“分离”，两边积分得 rt c （ 其中 为任意常数 .（因为 0N 也是方程（ 解 . 如果设初始条件为 0 ,0()N t N（ 代入上式可得00 e， 足初值条件（ 解为 0()0() r t tN t N e （ 如果 0r ，上式说明人口总数 ()按指数规律无限增长 t 以 1 年或 10 年离散化，那么可以说，人口数是以 公比的等比数列增加的 . 当人口总数不大时，生存空间、资源等极充裕，人口总数指数的增长是可能的 数增长的线性模型则不能反映这样一个事实；环境所提供的条件只能供养一定数量的人口生活，所以型在 ()大时是不合理的 . 荷兰生物学家 入常数境最大容纳量）表示自然资源和环境条件所容纳的最大人口数，并假设净相对增长率为 ()1，即净相对增长率随 ()增加而减少，当 ()mN t N时，净增长率 0 . 按 此假定，人口增长的方程应改为 1 t N（ 这就是 型 相比很大时， 2比可以忽略，则模型变为 型；但 相比不是很大时， 2口增长的速度要缓慢下来 型 些人口学家估计人口自然增长率为 r 而统计得世界人口在 1960 年为 ，增长率为 由 型 .（ 有 82 9 . 8 1 00 . 0 1 8 5 0 . 0 2 9 1 ，可得 8 2 0，即世界人口容量 ，以（ 右端为二项多项式，以2为顶点，当2人口增长率增加；当2人口增长率减少，即人口增长到 84 1 1 02时增长率将逐渐减少 纪 70 年代为 40 亿左右时增长率最大的统计结果相符 . 小结：从以上的讨论可以看出，将实际问题转化为数学模型这一事实，这正是许多应用数学工作者和工程应用模拟方法解决物理或工程问题的理论根据 其实在自然科学和技术科学的其它领域中，都提出了大量的微分方程问题 会的生产实践是微分方程理论取之不尽的基本源泉 微分方程与数学的其它分支的关系也是非常密切的，它们往往互相联系、互相促进 何学就是常微分方程理论的丰富的源泉之一和有力工具 . 考虑到常微分方程是一门与实际联系比较密切的数学基础课程，我们自 然应该注意它的实际背景与应用； 们又应该把重点放在应用数学方法研究微分方程本身的问题上 学习中，不应该忽视课程中所列举的实际例子以及有关的习题，并从中注意培养解决实际问题的初步能力 照课程的要求，我们要把主要精力集中到弄清常微分方程的一些基本理论和掌握各种类型方程的求解方法这两方面来，这是本课程的重点，也是我们解决实际问题的必要工具 1）建立方程 ;（ 2）求解方程 ;（ 3）分析问题 对所研究问题，根据已知定律公式以及某些等量关系列出微 分方程和相应的初始条件 么未知量间的关系便找到了 2 基本概念 1、 常微分方程和偏微分方程 微分方程：将自变量、未知函数以及它 的导数联系起来的关系式 . 常微分方程： 只含一个自变量的微分方程 . 偏微分方程：自变量的个数为两个或两个以上的微分方程 . 方程 22 ()d y d yb c y f td t d t （ 2 0d y d t d t （ 22 s i n 0d y g yd t l （ 是常微分 方程的例子， y 是未知函数， 仅含一个自变量 t . 方程 2222 2 2 0y z （ 224（ 是偏微分方程的例子， T 是未知函数， , , ,x y z t 是自变量 . 微分方程的阶数：微分方程中出现的最高阶导数的阶数 . 例如 ，方程（ （ 二阶的常微分方程，而方程（ （ 二阶的偏微分方程 . 一般的 n 阶微分方程具有形式 ( , , , , ) 0y d yF x y d x d x （ 这里 ( , , , , )y d yF x y d x d x是 x 、 y 、 、 已知函数，而且一定含有 x 是自变量 . 2、线性和非线性 如果微分方程对于未知函数及它的各阶导数的有理整式的整体而言是一次的，称为线性微分方程，否则是非线性微分方程 22d y d t d t （ 是非线性微分方程 ，而（ 一个二阶的线性微分方程 . 一般的 n 阶线性微分方程具有形式 1111( ) ( ) ( ) ( )y d y d ya x a x a x y f xd x d x d x （ 这里12( ) , ( ) , , ( ) , ( )na x a x a x f x是 x 的已知函数 . 3、解和隐式解 微分方程的解：满足微分方程的函数称为微分方程的解 ) 代入式 （ 中 ，使其成为恒等式，称 () 为 方程（ 的解 . 例如容易验证 是方程 2 22 0dy 的解 如果关系式 ( , ) 0决定的 隐函数 () 为方程 （ 解 ，称 ( , ) 0是方程 （ 的隐式解 阶微分方程 dy y有解 21 和 21 ；而关系式 221 是方程的隐式解 . 4、通解和特解 通解：具有 n 个独立的任意常数12, , , nc c , , , , )ny x c c c称为方程 （ 通解 . 注：所谓函数12( , , , , )ny x c c c含有 n 个独立常数，是指存在12( , , , , )nx c c 得行列式 1212( 1 ) ( 1 ) ( 1 )120n c cc c cc c c 其中 () . 特解： 方程满足 特 定条件的解 . 定解问题：求方程满足定解条件的求解问题 件，相应的定解问题分为初值问题和边值问题 . 一般地， 初 值问题为 ()( 1 ) ( 1 ) ( 1 )0 0 0 0 0 0( , , , , ) 0( ) , ( ) , , ( )x y y yy x y y x y y x y 特解可以通过初始条件限制，从通解中确定任意常数而得到 ,如例 1 中，含有一个任意常数 c 的解 u 就是一阶方程（ 通解；而 0()u u u e 就是满足初始条件 00,t u u的特解 . 5、积分曲线和方向场 一阶微分方程 ( , )dy f x （ 的解 () 是 面上的一条曲线，将它称为微分方程的积分曲线 ；而 方程 （ 的通解 ( , )y x c 对应于 面上的一族曲线，称为方程的 积分曲线族 ；满足初始条件00()y x y的特解就是通过点00( , ) 方程（ 积分曲线上每一点 ( , )切线斜率 , )f x y 在这点的值，也就是说，积分曲线的每一点 ( , )这点上的切线斜率 反之，如果一条曲线 上 每点 的 切线斜 率刚好等于函数 ( , )f x y 在这点的值，则这一条曲线就是方程（ 积分曲线 . 设函数 ( , )f x y 的定义域为 D ，在 D 内每一点 ( , ) ，画上一小线段，使其斜率 恰好 为 ( , )f x y ，将这种带有小线段的区域 D 称为由方程 （ 所规定的方向场 . 在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为等斜线 的等斜线方程为 ( , )f x y k （ 例 5 2dy 积分曲线族是 2y x c， 20，即 0x 是极值线， 2 ( 0 , 1 , )y x k k 是等斜线 . 例 6（习题 7）微分方程 2 2 2 34x y y x y，证明其积分曲线关于坐标原点 (0,0) 成中心对称的曲线，也是微分方程的积分曲线 . 证 设 : ( ) , , L y f x x a b是微分方程的一条积分曲线，则满足 2 2 2 34 ( ) ( ) ( ) , , x f x f x x f x x a b (而 L 关于 (0,0) 成中心对称曲线 : ( ) ( ) , , , , L y f x F x x b a x a b ， 所以有 ( ) ( )F x f x, , x b a 当 , x b a , , x a b ,由 (可知 2 2 2 34 ( ) ( ) ( ) ( )x f x f x x f x 即 2 2 2 34 ( ) ( ) ( )x F x F x x F x 所以 () ()并且相对于 L 关于原点 (0,0) 成中心对称曲线 . 第二章、 一阶微分方程的初等解法 教学目标 1. 理解变量分离方程以及可化为变量分离方程的类型（齐次方程），熟练掌握变量分离方程的解法。 2. 理解一阶线性微分方程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努力方程的求解。 3. 理解恰当方程的类 型，掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法。 4. 理解一阶隐式方程的可积类型，掌握隐式方程的参数解法。 教学重难点 重点是一阶微分方程的各类初等解法 ，难点是积分因子的求法以及隐式方程的解法。 教学方法 讲授，实践。 教学时间 14 学时 教学内容 变量分离方程，齐次方程以及可化为变量分离方程类型，一阶线性微分方程及其常数变易法，伯努利方程，恰当方程及其积分因子法，隐式方程。 考核目标 变量分离 法、一阶线性微分方程的 常数变易法 、 恰当方程与 积分因子法 、 一阶隐方程 的参数解法 。 1 变量分离方程与变量变换 1、 变量 分离方程 1) 变量分离方程 形如 ( ) ( )dy f x g (或1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0M x N y d x M x N y d y) （ 的方程，称为 变量分离方程 ，其中函数 () 2) 求解方法 如果 ( ) 0，方程 (化为， ()()dy f x d 这样变量就分离开了 ,两边积分 ,得到 ()()dy f x d x （ 把 , ( )()dy f x d 分别理解为 1 , ( )()某一个原函数 . 容易验证由（ 确定的隐函数 ( , )y x c 满足方程（ （ 通解 . 如果存在0) 0可知0是（ 解 ，必须予以补上 . 3) 例题 例 1 求解方 程 dy y解 将变量分离，得到 两边积分，即得 222 2 2y x c 因而，通解为 22x y c 这里的 c 是 任意的正常数 . 或解出显式形式 2y c x 例 2 解方程 2 并求满足初始条件：当 0x 时 . 1y 的特解 . 解 将变量分离，得到 2 两边积分，即得 1 s in 因而，通解为 1 这里的 c 是任意的常数 程还有解 0y . 为确定所求的特解，以 0x . 1y 代入通解中确定常数 c ，得到 1c 因而，所求的特解为 11 x 例 3 求方程 () x 的通解，其中 ()x 的连续函数 . 解 将变量分离，得到 () x 两边积分，即得 l n ( )y P x d x c 这里的 c 是任意常数 有 ()P x dx 即 ()P x d e e 令 ，得到 ()P x （ 此外， 0y 也是 （ 解 允许 0c ，则 0y 也就包括在（ ，因而，（ 通解为（ 其中 c 是任意常数 . 注 : c 的选取保证 (有意义 . 有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解 应求出不含在通解中的 其它解 , 即将遗漏的解要弥补上 . 特解表示的是满足特定条件00()y x y的一个解，表示的是一条过点00( , ) 2、可化为变量分离方程的类型 1） dy x （ 的方程，称为齐次方程，这 里的 () u 的连续函数 . 另外 , )对于方程 ( , )( , )d y M x yd x N x y其中函数 ( , )M x y 和 ( , )N x y 都是 x 和 y 的 m 次齐次函数，即对 0t 有 ( , ) ( , )mM t x t y t M x y ( , ) ( , )mN t x t y t N x y 事实上，取 1则方程可改写成形如 (方程 . ( 1 , ) ( 1 , )( 1 , ) ( 1 , ) x N )对 方程 ( , )dy f x 其中右端 函数 ( , )f x y 是 x 和 y 的零次齐次函数，即对 0t 有 ( , ) ( , )f t x t y f x y 则方程也可改写成形如 (方程 (1, )dy x 对齐次方程（ 用变量替换可化为变量分离方程再求解 . 令 即 y ，于是 dy （ 将（ （ 入（ 则原方程变为 ()u g 整理后，得到 ()d u g u ud x x （ 方程（ 一个可分离变量方程，按照变量分离法求解，然后将所求的解代回原变量，所得的解便是原方程（ 解 . 例 4 求解方程 d y y x x x解 这是齐次方程，以 ,y d y d uu x ux d x d x 代入，则原方程变为 u u t g 即 du x（ 分离变量，即有 边积分， 得到 ln s i n x c 这里的 c 是任意的常数，整理后，得到 （ 此外，方程（ 有解 0,即 u . 如果（ 允许 0c ，则 u 就包含在（ ，这就是说，方程（ 通解为（ . 代回原来的变量，得到原方程的通解为 y 例 5 求解方程 2 ( 0 ) x y y 解 将方程改写为 2 ( 0 )d y y y xd x x x 这是齐次方程，以 ,y d y d uu x ux d x d x 代入，则原方程变为 2 分离变量，得到 2du 两边积分，得到（ 通解 )u x c 即 2 l n ( ) ( l n ( ) 0 )u x c x c (这里的 c 是任意常数 有解 0u 注意，此解不包括在通解（ . 代回原来的变量，即得原方程的通解 2 l n ( ) ( l n ( ) 0 )y x x c x c 及解 0y . 原方程的通解还可表为 2 l n ( ) , l n ( ) 0 ,0,x x c x 它定义于整个负半轴上 . 注： dy x 的求解方法关键的一步是令 ，解出 y ，再对两边求 关于 x 的导数得 dy ，再将其代入齐次方程使方程变为关于 , 化为变量分离方程 x ，再对两边求关于 y 的导数得d x d y d y ，将其代入齐次方程 dx y 使方程变为 ,小结：这一讲我们主要讲解了一阶微分方程的可分离变量法和齐次方程的 dy x 形状的解法 而，一定要熟练掌握可分离方程的解法 . 2）形如 1 1 12 2 2a x b y x a x b y c （ 的方程经变量变换化为变量分离方程，这里的1 2 1 2 1 2, , , , ,a a b b c 分三种情况来讨论 （ 1）120情形 . 这时方程（ 齐次方程，有 1122a x b yd y x a x b y x 此时，令 即可化为变量可分离方程 . （ 2） 11220，即 1122的情形 . 设1122，则方程可写成 2 2 1 222 2 2() ()k a x b y f a x b yd x a x b y c 令22a x b y u，则方程化为 22()du a b f 这是一变量分离方程 . （ 3） 1112220,ab 及 不全为零的情形 . 这时方程（ 端的分子、分母都是 ,此 1 1 12 2 200a x b y ca x b y c （ 代表 面上两条相交的直线，设交点为 ( , ) . 显然， 0 或 0 ，否则必有120，这正是情形（ 1）（只需进行坐标平移，将坐标原点 (0,0)移至 ( , ) 就行了，若令 （ 则（ 为 112200a X b b y从而（ 为 1122a X b a X b Y X （ 因此，得到这种情形求解的一般步骤如下： (1)解联立代数方程（ 设其解为 ,； (2)作变换（ 方程化为齐次方程（ (3)再经变换 （ 为变量分离方程； (4)求解上述变量分离方程，最后代回原变量可得原方程（ 解 . 上述解题的方法和步骤也适用于比方程（ 一般的方程类型 1 1 12 2 2a x b y fd x a x b y c 此外，诸如 ()dy f a x b y ( ) ( ) 0y x y d x x g x y d y 2 ()f 2d y x x 以及 ( , ) ( ) ( , ) ( ) 0M x y x d x y d y N x y x d y y d x （其中 ,数可以不相同）等一些方程类型，均可通过适当的变量变换化为变量分离方程 . 例 6 求解方程 13d y x yd x x y （ 解 解方程组 1030 得 1, 令 12代入方程（ 则有 Y （ 再令 Y 则（ 为 2112d X u u u 两边积分，得 22l n l n 2 1X u u c 因此 22( 2 1 ) cX u u e 记1,并代回原变量，就得 2212Y X Y X c 1( 2 ) 2 ( 1 ) ( 2 ) ( 1 )y x y x c 此外，易验证 2 2 1 0 即 2220Y X Y X 也就是（ 解 通解为 222 6 2y x y x y x c 其中 c 为任意的常数 . 3、 应用举例 例 7 电容器的充电和放电如图（ 示的 电路，开始时电容 C 上没有电荷，电容两端的电压为零 合上“ 1”后，电池 E 就对电容 C 充电，电容 C 两端的电压过相当时间后，电容充电完毕，再把开关 K 合上“ 2”，这时电容就开始放电过程，现在要求找出充、放电过程中，电容 C 两端的电压t 的变化规律 . 解 对于充电过程，由闭合回路的基尔霍夫第二定理， I E（ 对于电容 C 充电时，电容上的电量 Q 逐渐增多，根据u，得到 ()CC u Cd t d t d t （ 将（ 入（ 得到c u （ 这里 R 、 C 、 E 都是常数 于变量分离方程 离变量，得到 R C 两边积分，得到 11u E t 即 1 112 C R e e c e 这里12 为任意常数 . 将初始条件： 0t 时， 0代入，得到2. 所 以 1(1 ) e （ 这就是 电路充电过程中电容 C 两端的电压的变化规律 道，电压当 t 时，在电工学中，通常称 为时间常数，当 3t 时， 就是说，经过 3 的时间后，电容 C 上的电压已达到外加电压的 95%常认为这时电容 C 的充电过程已 基本结束 对于放电过程的讨论，可以类似地进行 . 例 8 探照灯反射镜面的形状 在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将点光源射出的光线平行地射出去，以保证照灯有良好的方向性，试求反射镜面的几何形状 . 解 取光源所在处为坐标原点，而 x 轴平行于光的反射方向，设所求曲面由曲线 ()0y f （ 绕 x 轴旋转而成，则求反射镜面的问题归结为求 面上的曲线 ()y f x 的问题 ,仅考虑 0y 的部分 ,过曲线 ()y f x 上任一点 ( , )M x y 作切线 则由光的反射定律：入射角等于反射角，容易推知 12从而 N 注意到 2d y M 及 22,O P x M P y O M x y 就得到函数 ()y f x 所应满足的微分方程式 22d y x x y （ 这是齐次方程 引入新变量 将它化为变量分离方程 对于方齐次方程（ 可以通过变换 化为变量分离方程也可由 x 得 d x d y d y代入（ 到 2s g n 1y v y 于是 2s g n 1d y d （ 积分（ 代回原来变量，经化简整理，最后得 2 ( 2 )y c c x （ 其中 c 为任意常数 . （ 是所求的平面曲线，它是抛物线，因此，反射镜面的形状为旋转抛物面 22 ( 2 )y z c c x （ 小结 : 本节我们主要讨论了一阶可分离微分方程和齐次微分方程的求解问题 2 线性方程 与常数变易法 1、一阶线性微分方程 ( ) ( ) ( ) 0x b x y c 在 ( ) 0的区间上可以写成 ( ) ( ) x y Q （ 对于 () ) 0的相应区间上讨论 ), ( )P x Q x 在考虑的区间上是 x 的连续函数 . 若 ( ) 0，（ 为 () x 称为一阶齐线性方程 . 若 ( ) 0，（ 为一阶非齐线性方程 . 2、常数变易法 （ 变量分离方程，已在例 3 中求得它的通解为 ()P x （ 这里 c 是任意的常数 . 下面讨论一阶非齐线性方程（ 求解方法 . 方程 (方程 (者既有联系又有区别 ,设想它们的解也有一定的联系 ,在 ( c 恒为常数时 ,它不可能是 (解 ,要使 (有形如 (解 , c 不再是常数 ,将是 x 的待定函数 ()为此令 ()() P x d xy c x e （ 两边微分，得到 ( ) ( )() ( ) ( )P x d x P x d xd y d c x e c x P x ed x d x （ 将（ （ 入（ 得到 ( ) ( ) ( )() ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P x d x P x d x P x d xd c x e c x P x e P x c x e Q 即 ()() () P x d xd c x Q x 积分后得到 ()( ) ( ) P x d xc x Q x e d x c （ 这里 c 是任意的 常数 .入（ 得到 ( ) ( )( ) ( ) ( )()= ( )P x d x P x d xP x d x P x d x P x d xy e Q x e d x cc e e Q x e d x （ 这就是方程（ 通解 . 这种将常数变易为待定函数的方法，通常称为常数变易法 通过变换（ 将方程（ 为变量分离方程 . 注 : 非齐线性方程的通解是它对应的齐线性方程的通解与它的某个特解之和 . 例 1 求方程 1( 1 ) ( 1 )n y e 的通解，这里的 n 为常数 . 解 将方程改写为 ( 1 )1 y n y e xd x x （ 先求对应的齐次方程 01d y n yd x x的通解，得 ( 1)ny c x 令 ( )( 1) ny c x x （ 微分之，得到 () ( 1 ) ( 1 ) ( )nd y d c x x n x c xd x d x （ 以（ （ 入（ 再积分，得 () xc x e c 将其代入公式（ 即得原方程的通解 ( 1 ) ( )x e c 这里 c 是任意的常数 . 例 2 求方程22dy x y 的通解 . 解 原方程改写为 2dx y（ 把 x 看作未知函数， y 看作自变量，这样，对于 x 及 程（ 是一个线性方程了 . 先求齐线性方程 2dx y的通解为 2x （ 令 2()x c y y ,于是 2() 2 ( )d x d c y y c y yd y d y代入（ 得到 ( ) y y c 从而，原方程的通解为 2 ( x y c y 这里 c 是任意的常数 ,另外 0y 也是方程的解 . 特别的，初值问题 00( ) ( )() x y Q x y 的解为 0 0 00( ) ( ) ( )= ( )x x sx x xP d P d P c e e Q s e d s 例 3 试 证 （ 1）一阶非齐线性方程（ 任两解之差必为相应的齐线性方程（ 解； （ 2）若 ()y y x 是（ 非零解，而 ()y y x 是（ 解，则（ 通解可表为( ) ( )y c y x y x，其中 c 为任意常数 . （ 3）方程（ 一解的常数倍或两解之和（或差）仍是方程（ 解 . 证 （ 1）设12,应满足方程使 1122( ) (1 )( ) ( 2 )dy p y Q p y Q （ 1） （ 2）有 1212() ()d y y p y 说明非齐线性方程任意两个解的差12对应的齐次线性方程的解 . （ 2）因为 ( ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )d c y x y x d y x d y xc p c y p y Q x p c y y Q xd x d x d x 故结论成立 . （ 3）因为 1 2 1 21 2 1 2( ) ( )() ( ) , ( ) , ( )d y y d y yd c y p c y p y y p y yd x d x d x 故结论成立 . 3、 程 形如 ( ) ( ) x y Q x （ 0,1n ） （ 的方程，称为伯努利（ 方程，这里 ( ), ( )P x Q x 为 x 连续函数 事实上，对于 0y ，用 乘（ 边，得到 1 ( ) ( )y P x Q （ 引入变量变换 1 （ 从而 (1 ) nd z d x d x（ 将（ 入（ 得到 ( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )dz n P x z n Q （ 这是线性方程，用上面介绍的方法求得它的通解，然后再代回原来的变量，便得到（ 通解 0n 时，方程还有解 0y . 例 4 求方程 26d y y x x的通解 解 这是 2n 时的伯努利方程，令 1 ,得 2dz 代入原方程得到 6dz x x 这是线性方程，求得它的通解为 26 8x 代回原来的变量 y ，得到 2618或者 688这是原方程的通解 . 此外，方程还有解 0y . 例 5 求方程331x x y x y 的解 解 将方程改写为 33dx y x y 这是一个自变量为 y ，因变量为 x 的伯努利方程 例 6 求方程23e x 的通解 这个方程只要做一个变换，令 ,u d yu e ed x d x，原方程改写为 22231d u x x x x 便是伯努利方程 . 小结 ;这次主要讨论了一 阶线性微分方程的解法 即将非齐线性方程对应的齐线性方程解的常数变易为待定函数，使其变易后的解函数代入非齐次线性方程，求出待定函数 ()求出非齐次方程的解 解过程为，先变换，将原方程化为非齐线性方程，再求解 . 3 恰当方程与积分因子 1、 恰当方程的定义 将 一阶微分方程 ( , )dy f x 写成微分的形式 ( , ) 0f x y d x d y 把 ,称形式的一阶微分方程的一般式为 ( , ) ( , ) 0M x y d x N x y d y （ 假设 ( , )