常微分方程学习活动6 第三章一阶线性方程组、第四章n阶线性方程的综合练习WORD版

.常微分方程学习活动 6第三章一阶线性方程组、第四章 n 阶线性方程的综合练习本课程形成性考核综合练习共 3 次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握 要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。一、填空题1若 A(x)在(-,+)上连续，那么线性齐次方程组 ， 的任一非YA)(dxnR零解在 空间 不能 与 x 轴相交nR2方程组 的任何一个解的图象是 n+1 维空间nRYFY,),(d中的一条积分曲线3向量函数组 Y1(x), Y2(x),Yn(x)线性相关的 必要 条件是它们的朗斯期行列式 W(x)=04线性齐次微分方程组 ，的一个基本解组的个数不能多nA,d于 n+1 个5若函数组 在区间 上线性相关，则它们的朗斯基行列式 在)(21x，),(ba )(xW区间 上 恒等于 ),(ba6函数组 的朗斯基行列式 是 xycosin21 )(xWxxsincoi)(7二阶方程 的等价方程组是 02yyxy218若 和 是二阶线性齐次方程的基本解组，则它们 没有 )(1xy)(2x共同零点9二阶线性齐次微分方程的两个解 , 成为其基本解组的充要条件)(1xy)(2是 线性无关 10 阶线性齐次微分方程线性无关解的个数最多为 n 个11在方程 y+ p(x)y+q(x)y = 0 中，p( x), q(x)在(-,+)上连续，则它的任一非零解在xOy 平面上 可以 与 x 轴横截相交.12二阶线性方程 的基本解组是 20ye,x13线性方程 的基本解组是 cos,in14方程 的所有解构成一个 2 维线性空间02yxy15n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 n 维线性空间二、计算题1将下列方程式化为一阶方程组（1） 0)(xgfx（2） 0)(321 yxaya1） 解 ， （2）解 )(dxgyftx0312121 )()()(ddyxayxayy2求解下列方程组：（1） （2） xyt54dyxtyd（1） 解 方程组的系数阵为 特征方程为：54Adet(A- E)= = ，5(1)90其特征根为 . 12,9当 时, ， 其中 a, b 满足11tyez(A- E) = = 0, ab4则有 a + b = 0 取 a = 1, b = 1, 则得一特解 1tyez.同理,当 时， 29291tyez所以方程组的解为912()ttteC（2）解 方程组的系数阵为 .A特征方程为: det(A- E)= =2()0特征根为 .i当 时, 其中 a, b 满足1i1ixey(A- E) = =0,abi故有 即 . 0iai取 ，于是方程组对应于1,bi=*1ixeycosinisttt故特征根 所对应的实解为i= , =1xycosintte2xysincotet所以方程组的解为= ()xtycsittet12C3求解下列方程组： （1） （2） xy2 zyxz2.（1）解 方程组的系数阵为 . 12A3特征方程为: det(A- E)= =2450特征根为 12,ii当 时, 其中 a, b 满足( = 0,12i()1itxey1iab即 ()0iab第一个方程 有(1)xi2(1)0ib令 ，则ab于是由 2()(cosin)ttetyi解得通解 = .)(xt2sittcsit12C（2） 解 系数阵为12A特征方程为: det(A- E)= = .1(1)2(3)0特征根为 .123,通解解为 .23123()0tttttcxteyzt4求解下列方程组：（1） （2）ytx3d2etxyt.（1）解 方程组的系数阵为 ，其特征方程为：30A1det(A- E)= = .32()特征根为 , 方程组有如下形式的解: 12 312()txre321()tyre代入原方程组有33121212()()tt t trer消去 得 3te1220tr令 , 则 12r13txe3ty令 , 则 rt0所以方程组的解为3312()ttxteCy（2）解 首先求出相应齐次线性方程组的通解. 对应齐次方程的系数阵为 .01A其特征方程为： det(A- E)= = .1(1)0特征根为 12,当 时， ，其中 a, b 满足(A- E) = =0, 则有 a b = 01yxte1 ab1b取 a = b =1, 则得一特解 1t同理,当 时， 21e2tyx所以对应齐次线性方程组的通解为 12()ttxtecy然后运用常数变易法计算原方程组的一个特解.将 代入原方程组，得 12()()ttxtcey 212()ttce解得 .212()()ttttttece原方程组的特解为 2122 1()() ().1ttttt tttttttt ecxteey ee所以原方程组的通解为 2121() .tttt ttecxtey5已知方程 的一个解 ，求其通解01)ln1(2yxyx xyln1解 由通解公式 ， ，*()121pxdce11l,()ln)pxx()* *(ln)1 12 2121 (l)ln()ndxpxdyceyyxcc 6试求下列 n 阶常系数线性齐次方程的通解（1） （2）029yy 0)4(y（1） 解 特征方程为: 290特征根为: 。它们对应的解为 :124,545,xe方程通解为: .xxyce.（2） 解 特征方程为: 410特征根为: 1,23,42ii它们对应的解为: 2222cos,sin,cos,sinxxxxeeee方程通解为:.2 21234(i)(i)2x xyccx7试求下述各方程满足给定的初始条件的解：（1） ， ， 04yy4)2(0)(y（2） ， ，5（1） 解 特征方程为: .2特征根为: ，方程通解为 : 1,2212()xyec由初始条件有: ,解得 .24130c428所以方程的初值解为: .24(1)xyeex（2）解 特征方程为: .0特征根为: ，方程通解为 : 120, 12xyce由初始条件有: ,解得 .25c1275所以方程的初值解为: .xye8求下列 n 阶常系数线性非齐次方程的通解：（1） 8732xy（2） cos10（1）解 由于 ， ，212,7故齐次方程的通解为 .712xxyce.由于 不是特征根，故已知方程有形如 的特解.021yAxBC将它代入原方程，得, ，3976,43ABC所求通解为 .7212xxycex（2）解 由于 ，120,1ii.12(cosn)xyex因为 不是特征根，故已知方程有形如2ii1121()cs()siyAxBxABx的特解将上式代入原方程，可得 ，112239,268369所求通解为.12 1(cosin)()cos()sin2683xyexxx三、证明题1设 矩阵函数 ， 在（a, b）上连续，试证明，若方程组n)(1tA2t与 有相同的基本解组，则 XA)(dttd2t)(1tA2t证明 设 为基本解矩阵, 因为基本解矩阵是可逆的,故有 )(d)(211tAtXt于是 .21tA2设在方程 中， 在区间 上连续且恒不为零，试证它0)(yxqpy)(xpI的任意两个线性无关解的朗斯基行列式是在区间 上严格单调函数证明 设 w(x)是方程的任意两个线性无关解的朗斯基行列式，则 且,()0xIw，有 ， .又因为 在区,I0xx0 p(t)dw()=e0()()xptdwpe间 上连续且恒不为零,从而对 , 或 ,所以, 在 上恒正或I0x()I.恒负,即 w(x)为严格单调函数.3试证明：二阶线性齐次方程的任意两个线性无关解组的朗斯基行列式之比是一个不为零的常数证明 设两个线性的解组的朗斯基行列式分别为， ，且 ，0()11()xptdwxe0()22)(xptdwe1020(),()wx所以有 .120x四、应用题1一质量为 m 的质点由静止开始沉入液体中，当下沉时，液体的反作用与下沉的速度成正比，求此质点的运动规律。解 设液体的反作用与质点速度的比例系数为 k则指点的运动满足方程： xmg即kxgm *（ ）则(*)所对应的齐次方程的通解为： ktmxc-=e又 是齐次方程的特征根,故特解形式为： =0AtB1代入(*)式得： kgAgmk 所以ktxcB-e由 得(0)=,22gmckk, 故21tmgxtk- e