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华 北 水 利 水 电 学 院常微分方程的解法及应用（常见解法及举实例）课 程 名 称： 高等数学（2） 专 业 班 级： 成 员 组 成： 联 系 方 式： 2012年 05月25日摘要常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中。求解常微分的问题，常常通过变量分离、两边积分，如果是高阶的则通过适当的变量代换，达到降阶的目的来解决问题。本文就是对不同类型的常微分方程的解法的系统总结：先对常微分方程定义及一般解法做简单阐述，然后应用变量替换法解齐次性微分方程，降阶法求高阶微分方程，讨论特殊的二阶微分方程，并且用具体的实例分析常微分方程的应用。关键词：微分方程 降阶法 变量代换法 齐次型 一阶线性英文题目：The solution of ordinary differential equations and its application（Common solution and examples）Abstract: Ordinary differential equation is an important part of calculus, widely used in specific problems in the study. Solving differential problem, often through the variable separation, both sides integral, if is high level, through the appropriate variable substitution, achieve the purpose of the reduced order to solve the problem. This article is to different types of ordinary differential equation of the solution system conclusion: first definition of ordinary differential equation and the general solution do simple paper, then apply variable substitution method of homogeneous solution of differential equation, and the reduced order method for high order ordinary differential equation, discussion special second order differential equations, and use a specific example analysis of the application of ordinary differential equations.Key words: Differential equations、Reduced-order method、Variable substitution method 、Homogeneous、First order linear1、 引言微积分学研究的对象是变量之间的函数关系，但在许多实际问题中，往往不能直接找到反映某个变化过程的函数关系，而是根据具体的问题和所给的条件，建立一个含有未知函数或微分的关系式。这样的关系式，我们称其为微分方程。再通过积分等方法，从微分方程中确定出所求的未知函数，即求解微分方程。这就是本文要讨论的问题。2 、研究问题及成果2.1 一阶微分方程2.1.1 变量可分离的微分方程形如的方程，称为变量分离方程，分别是，的连续函数.这是一类最简单的一阶函数如果，我们可将()改写成，这样变量就分离开来了.两边积分，得到，为任意常数由该式所确定的函数关系式就是常微分方程的解例1：求解的通解。解：通解：2.1.2 齐次型微分方程 （变量代换的思想）一阶微分方程可以化成的形式。求解：，（可分离变量）通解例2：解方程 2.1.3 一阶线性微分方程若 ，称为一阶齐次线性微分方程。若（），称为一阶非齐次线性微分方程。一阶非齐次微分方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和。解的通解如下：可分离变量的一阶微分方程（齐次方程通解）采用积分因子法求的一个特解如下 （）的通解为：2.1.4 伯努利方程形如： 当时， 一阶线性微分方程（公式法）当时， 可分离变量微分方程求通解过程： 作变量代换（积分因子公式法）2.2 一阶微分方程的应用举例例1细菌的增长率与总数成正比。如果培养的细菌总数在24h内由100增长为400、那么前12h后总数是多少?分析： 例2。某人的食量是2500 cal天，其中1200 cal用于基本的新陈代谢(即自动消耗)。在健身训练中，他所消耗的大约是16 cal/kg/天，乘以他的体重(kg)。假设以脂肪形式贮藏的热量100%的有效，而1kg脂肪含热量10,000 cal。求出这人的体重是怎样随时间变化的。输入率=2500 cal天 分析：输出率=健身训练16 cal/kg/天体重w (kg) +新陈代谢1200 cal 天2.3高阶微分方程的降阶法二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程，求高阶微分方程通解的方法成为降阶法2.3.1 y(n) = f (x) 型：解法： 2.3.2 y = f (x,y) 型解法： 2.3.3 y = f (y,y) 型 解法：若得其解为则原方程通解为2.4二阶线性微分方程解的结构形如：若时，（方程一）称为：二阶线性齐次微分方程。若时，（方程二）称为：二阶非齐次微分方程2.4.1 二阶线性齐次微分方程解的结构定理1 :如果函数与是方程(5.2)的两个解, 则 也是（方程一)的解，其中是任意常数.定理2 : 如果与是方程(5.2)的两个线性无关的特解，则就是（方程一）的通解，其中是任意常数例3：解： 可验证：和是的两个解，线性无关2.4.2 二阶线性非齐次微分方程解的结构定理3 设是方程(5.1)的一个特解，而是其对应的齐次方程(5.2)的通解，则 就是二阶非齐次线性微分方程（方程二）的通解.2.5二阶常系数线性微分方程2.5.1二阶常系数线性齐次微分方程的解法当均为常数，即或其中p,q均为常数。求解：三种情况：1）两个不等实根： 2）两个相等实根 ： 3）一对共轭复根：2.5.2二阶常系数线性非齐次微分方程的解法若方程（1）中，其中是的次多项式，则方程（1）的一特解具有如下形式其中是系数待定的的次多项式，由下列情形决定：（1）当是方程（1）对应的齐次方程的特征方程的单根时，取；（2）当是方程（1）对应的齐次方程的特征方程的重根时，取；（3）当不是方程（1）对应的齐次方程的特征根时，取（2）或定理3 若方程（1）中的或（是的次多项式），则方程（1）的一个特解具有如下形式 其中、为系数待定的的次多项式，由下列情形决定：（1）当是对应齐次方程特征根时，取；（2）当不是对应齐次方程特征根时，取2.6二阶微分方程的应用举例例1 求微分方程的通解解 所给方程也是二阶常系数非齐次线性微分方程，且呈型（其中）与所给方程对应的齐次方程为，它的特征方程有一对重根于是与所给方程对应的齐次方程的通解为由于是特征方程的重根，所以应设为把它代入所给方程，得比较等式两端同次幂的系数，得解得因此求得一个特解为从而所求的通解为结束语：经过对常微分方程的解法及应用的学习，我们大体对常微分方程的定义，定理，解法及应用 做了大致的了解。我们可以根据具体问题的性质和所给的条件，建立一个含有未知函数及其导数和微分的关系式，再通过积分等方法，从微分方程中确定出所求的未知函数。对微分方程具体有常数变易法、降阶法。对微分方程的应用可以具体解决许多生活中的实际问题，得到各种变化率，以联系具体问题！参考文献1 上海交通大学&集美大学. 高等数学M.北京：科学出版社 2011-264-305分工情况前3节由刘*完成后3节由孙*完成摘要、引言、排版、最终核定由张*完成注：仅供大家参考交流之用。谢谢支持！记得给好评呦！
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