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第七章：偏微分方程,一、 几个基本概念,例：,1、方程的阶数,方程中出现的最高阶导数的阶数即为方程的阶数,一阶,二阶,2、线性、非线性、拟线性,方程经过有理化并消去分式后，若方程中没有未知函数及其偏导数的乘积或幂等非线性项，称该方程为线性,线性：,拟线性：,在非线性方程中，如果未知函数的所有最高阶导数不是非线性，则称此方程为拟线性,完全非线性：,除拟线性之外的非线性方程,二阶，线性,二阶，拟线性,二阶，完全非线性,3、齐次、非齐次,不含有未知函数及其偏导数的项,自由项：,自由项为零的方程,齐次方程：,自由项不为零的方程,非齐次方程：,非齐次,齐 次,二、 二阶线性偏微分方程的分类,，,设,则二阶线性偏微分方程一般可表示为：,A,B,C,D,E,G,f 都是x,y的函数,二阶线性方程的分类 ：,为方程中自变量域内任意一点，,则分类判别条件如下：,（）若在点M处有：,则方程在该点处为双曲线型,例如,（）若在点M处有：,则方程在该点处为抛物线型,例如,波动方程,热传导方程,（）若在点M处有：,则方程在该点处为椭圆型,例如,例1：判别下列方程的分类,当 ，即 异号，M点在二、四象限内，,该区域内方程是双曲型,当 ，即 同号，M点在一、三象限内，,该区域内方程是椭圆型,当x或y为零，方程在x或y轴上是抛物型,拉普拉斯方程,三、三种典型方程的建立,建立理论模型的原则步骤, 抽象出系统的物化模型并简化、假设, 确定输入、输出变量和模型参数，建立数学模型, 模型 求解, 检验和修正所得的模型,1、均匀弦的微小横振动方程的建立,设有一根均匀柔软的细弦，张紧后两端固定如图，给弦以扰动，使其产生振动。,确定弦上各点振动规律，即 确定位移 满足的方程。,解：取一小微元段 ，分析受力情况,x 方向：,u 方向：,A,B,T1,T2,0,x,xx,x,u,1,2,G,(1),(2),简化假设,（1）弦是均匀的，所以质量均布，设单位长度弦的质量为 kg/m,（5）弦是绝对柔软的，不能抗弯，因此弦上各点张力与该点切 线方向一致。,（2）弦的细小的，自重相比于张力显得很小，可以忽略。,（3）振动方向与弦长方向相垂直，且振动保持在一固定平面内,（4）振动是微小的，即弦上各点位移及弦的弯曲斜率很小,微元段的质量：,G = 0,x 方向无运动，即：,无外力的均匀弦微小横振动方程, 齐次一维波动方程,x 方向：,u 方向：,F(x,t),x 方向：,u 方向：,假设振动过程中，除了张力外，还有其它外力作用，,设单位长度弦上的横向外力为,弦的强迫振动方程,非齐次一维波动方程,2、热传导方程,一根长为l的均匀细杆侧面是绝热，横截面积足够小以至,在任何时刻都可以把断面上所有点的温度看作是相同。,设杆的截面积为S，比热为C，导热系数为k，密度为。,试确定温度分布函数 满足的方程。,x=0,x=l,x,x+x,0,热量衡算：输入输出产生累计,一维热传导方程:,x处输入的热速率:,xx处输出的热速率:,微元段累计的热速率:,一维热传导方程,一维波动方程,（无外力）,（有外力）,（无内热源）,三维热传导方程,若物体内部有一个热流，,T(x,y,z,t),其分布函数为,M(x,y,z),3、稳态方程（拉普拉斯方程）,热传导持续进行下去，如果达到稳定状态，温度的空间分布不再变动，即,则方程,变为,稳态浓度分布方程,稳态温度分布方程,三种典型方程,是方程,其中f 是任意函数 ,如,的通解,可以验证,对于方程：,可以验证,为其通解,泛定方程,暂停：休息,四、定解条件和定解问题,1、初始条件（I.C.)：,初始时刻的状态,（一）定解条件,例1 对于弦的微小横振动问题，假设初始速度为零， 初始位移符合正弦函数,初始条件给定的是整个系统的状态，而不是某个局部（如入口、出口等）的状态。,特别注意：,应是位置坐标的函数。,（1）第一类边界条件已知函数,直接给出未知函数 在边界 上的值,（狄里赫利（Dirichlet）,例2 一根弦长为l ，两端固定进行微小横振动 ，建立其边界条件。,2、边界条件（B.C.）,例3 细杆导热问题中，杆长l，两端分别保持温度T1和T2 ，建立边界条件。,（2）第二类边界条件已知导数,（牛曼（Noumann）条件）,例4 细杆导热问题中，杆长l，一端绝热，另一端有恒定热流q输入，试建立边界条件。,x=0,x=l,热流输出怎样？,（3）第三类边界条件混合边界条件,给出边界上函数值与其法向导数构成的线性关系,（Robin条件）,例4 细杆导热问题中，杆长l，一端温度为T0，另一端与温度为T1的环境进行对流热交换，试建立边界条件。,x=0,x=l,（4）积分微分边界条件,（5）衔接条件,内外层壁：,（二）定解问题,初值问题：,只有初始条件，没有边界条件的定解问题,边值问题：,没有初始条件，只有边界条件的定解问题,混合问题：,既有初始条件又有边界条件的定解问题,定解问题,泛定方程（P.D.E),定解条件,初始条件（B.C.）,边界条件（I.C.）,五、线性迭加原理,所谓迭加：即几种不同因素综合作用于系统，产生的效果等于各因素独立作用产生的效果之总和,线性迭加原理：,则级数 也是该方程之解,假设函数,是线性齐次微分方程,的特解。,（i=1，2）,六、分离变量法,例1、设两端固定的有界弦微小自由横振动过程， 初始位移为(x)，初始速度为（x）,解：（1）分离变量,设,（1）,（2）,（3）,（4）,到33页,代入方程式（1）得,分离变量得,=,设,于是可得到两个常微分方程,到35页,=,=,+,对于二阶线性常系数常微分方程：,先求特征方程的解：,分三种情况,（）特征方程的根r1,r2为实数时,复 习,（）特征方程的根r1=r2=r为重实数时,（）特征方程的根为复数，即 r1=+i r2= - i,返回31页,由边界条件式（2）知,因为,所以只能,（5）,（6）,（）设0，则方程式（5）通解为,（5）,由,由,（2）解定解问题,解固有值问题,到37页,解上述线性代数方程组得：,即,所以,（）设 =0，方程（5）通解为,由,由,即,所以,（）设 0，,令 ，,此时通解为,由,由,因为B不能为零，所以只能,所以,称为固有值（或本征值）,-称为固有函数（或本征函数）,（7）,返回36页,返回54页,（3）求解不构成本征问题的常微分方程的通解,（6）,将 代入上式,（8）,将式（7）与式（8）相乘，得到一组特解,其中， 是任意常数,（8）,（7）,（4）应用线性叠加原理求,（5）由傅里叶级数确定系数,（9）,暂停：休息,复习,f(x)在l，l区间上的傅里叶展开式：,在0，l区间上的只有余弦项的傅里叶展开式：,在0，l区间上的只有正弦项的傅里叶展开式：,傅里叶展开是基于三角函数的正交性,根据正交性可直接确定系数：,（10）,至此， （9）（11）即构成了例1中定解问题的解,（11）,总结分离变量求解的关键点,1、假设,代入齐次方程进行分离变量；,2、分离齐次边界条件，组构本征值问题，并求解确定 本征值本征函数；,3、求解另外一个常微分方程；,4、用线性叠加原理写出问题的解；,5、代入初始条件，并用傅里叶展开法确定解中的常数。,例 2 一维导热问题（第三边值条件）,长为l 的均匀细杆，其侧面（圆弧面）绝热，杆的一端保持在0状态下，另一端则与温度为0环境介质进行自由热交换。假设初始时刻温度分布为(x)。试确定杆上各点温度随时间变化规律。,（1）,（2）,（3）,（4）,到第52页,（1）分离变量，设,代入方程（1）得：,于是得：,（5）,（6）,比较波动问题得到两个常微分方程 ：,返回上一页,由边界条件式（2）（3）知,（2） 解本征值问题,（7）,（8）,式（5）与式（7）、式（8）构成本征值问题,同前述同样方法讨论本征值的三种取值情况,经讨论仅当0时才有非零解,设,于是方程式（5）通解为,由式（7）得,由式（8）得,则,即,得本征值,(n =1，2，3 ),得本征函数,（,(3） 将本征值代入式（6）并求解,（4）由线性迭加原理得定解问题级数形式解,(Cn =BnAn),（5）确定系数,由初始条件,由本证函数的正交性,例 3、求解稳态问题,解：（1）分离变量,设,（1）,（2）,（3）,能否用分离变量法 求解？,能！,代入方程式（1）得,分离变量得,=,设,于是可得到两个常微分方程,由边界条件（3）,（5）,（6）,（5）,（2）解本征值问题,凭经验当 0，则方程式（5）通解为,由,由,解上述线性代数方程组得：,即,所以,（）设 =0，方程（5）通解为,由,由,即,（）设 0，,令 ，,此时通解为,由,由,所以综合有：,-称为固有函数（或本征函数）,（7）,返回88页,
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