数学61 空间中的垂直关系

课题三十七课题三十七 空间中的垂空间中的垂直关系直关系学习目标学习目标考纲要求考纲要求学习目标学习目标1.理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理；2.认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；3.能运用公里、定理和已获得的结论证明一些空间垂直关系的简单命题。1.说出空间中直线、平面垂直的判定定理和性质定理，并会用图形和数学符号表示；2.运用直线与平面、平面与平面垂直的判定定理证明垂直问题. 自主探究与展示自主探究与展示探究要求：探究要求：1. 静心思考，静心思考，独立、迅速独立、迅速完成完成.2.找出要讨论的问题，找出要讨论的问题，勇于质疑勇于质疑.学习目标学习目标展示要求：展示要求：1.快速快速展示，写出规范步骤展示，写出规范步骤.2.全面考虑，全面考虑，总结总结方法规律方法规律.探究主题探究主题1. 线面线面垂直垂直的判定与证明的判定与证明 2. 面面面面垂直垂直的判定与证明的判定与证明 质疑区质疑区例例1GK1拓展拓展1GK3例例2GK2拓展拓展2内容：内容：1.线面垂直的证明方法；线面垂直的证明方法；2.面面面垂直的证明方法；面垂直的证明方法；要求：要求：（1 1）人人参与，热烈讨论，大声表达自己的见解。）人人参与，热烈讨论，大声表达自己的见解。（2 2）组长控制好讨论节奏，先小组内集中讨论，解决不）组长控制好讨论节奏，先小组内集中讨论，解决不了的再跨组讨论。了的再跨组讨论。（3 3）讨论时，）讨论时，手不离笔、随时记录手不离笔、随时记录，未解决的问题，组，未解决的问题，组长记录好，准备展示质疑。长记录好，准备展示质疑。一、线线垂直的证明方法：一、线线垂直的证明方法：1 1、勾股定理。、勾股定理。2 2、等腰三角形，三线合一、等腰三角形，三线合一3 3、菱形对角线，等几何图形、菱形对角线，等几何图形5 5、点在线上的射影。、点在线上的射影。6 6、如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个、如果一条直线和一个平面垂直，那么这条直线就和这个 平面内任意的直线都垂直。平面内任意的直线都垂直。7 7、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也、如果两条平行线中的一条垂直于一条直线，则另一条也 垂直于这条直线。垂直于这条直线。4 4、直径所对的圆周角是直角。、直径所对的圆周角是直角。二、线面垂直的证明方法：二、线面垂直的证明方法：1 1、定义法：直线与平面内任意直线都垂直。、定义法：直线与平面内任意直线都垂直。3 3、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么、如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么 这条直线垂直于这个平面。（线面垂直的判定定理）这条直线垂直于这个平面。（线面垂直的判定定理）4 4、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们、如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们 交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直的性质定理）交线的直线垂直于另一个平面。（面面垂直的性质定理）5 5、两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于、两条平行直线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于 这个平面。这个平面。6 6、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则必垂直于、一条直线垂直于两平行平面中的一个平面，则必垂直于 另一个平面。另一个平面。7 7、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂、两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面交线垂 直于第三个平面。（小题用）直于第三个平面。（小题用）8 8、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。（小题用）、过一点，有且只有一条直线与已知平面垂直。（小题用）9 9、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。（小题用）、过一点，有且只有一个平面与已知直线垂直。（小题用）2 2、点在面内的射影。、点在面内的射影。三、面面垂直的证明方法：三、面面垂直的证明方法：1 1、定义法：两个平面的二面角是直二面角。、定义法：两个平面的二面角是直二面角。2 2、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个、如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个 平面互相垂直。（面面垂直的判定定理）平面互相垂直。（面面垂直的判定定理）3 3、如果一个平面与另一个平面的、如果一个平面与另一个平面的垂线垂线平行，那么这两个平平行，那么这两个平面互相垂直。面互相垂直。4 4、如果一个平面与另一个平面的、如果一个平面与另一个平面的垂面垂面平行，那么这两个平平行，那么这两个平面互相垂直。面互相垂直。题型一直线与平面垂直的判定与性质题型一直线与平面垂直的判定与性质(2016全国甲卷改编)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB5，AC6，点E，F分别在AD，CD上，AECF ，EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置.OD .证明：DH平面ABCD.证明几何画板展示几何画板展示由已知得ACBD，ADCD.因此EFHD，从而EFDH.所以OH1，DHDH3.于是DH2OH2321210DO2，故DHOH.又DHEF，而OHEFH，且OH，EF平面ABCD，所以DH平面ABCD.思维升华证明线面垂直的常用方法及关键(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质.(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.题型二平面与平面垂直的判定与性质题型二平面与平面垂直的判定与性质例例2如图，四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点.(1)求证：CE平面PAD；证明方法一方法一取PA的中点H，连接EH，DH.又E为PB的中点，所以EH綊 AB.又CD綊 AB，所以EH綊CD.所以四边形DCEH是平行四边形，所以CEDH.又DH平面PAD，CE 平面PAD.所以CE平面PAD.方法二方法二连接CF.因为F为AB的中点，所以AF AB.又CD AB，所以AFCD.又AFCD，所以四边形AFCD为平行四边形.因此CFAD，又CF 平面PAD，AD平面PAD，所以CF平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又EF 平面PAD，PA平面PAD，所以EF平面PAD.因为CFEFF，故平面CEF平面PAD.又CE平面CEF，所以CE平面PAD.拓展拓展2 2在本例条件下，证明：平面EMN平面PAC.证明因为ABPA，ABAC，且PAACA，所以AB平面PAC.又MNCD，CDAB，所以MNAB，所以MN平面PAC.又MN平面EMN，所以平面EMN平面PAC.思维升华(1)判定面面垂直的方法面面垂直的定义；面面垂直的判定定理(a，a).(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.高考3(2016江苏)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1DA1F，A1C1A1B1.求证：(1)直线DE平面A1C1F；由已知，DE为ABC的中位线，DEAC，又由三棱柱的性质可得ACA1C1，DEA1C1，又DE 平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，DE平面A1C1F.证明(2)平面B1DE平面A1C1F.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1平面A1B1C1，AA1A1C1，又A1B1A1C1，且A1B1AA1A1，A1C1平面ABB1A1，B1D平面ABB1A1，A1C1B1D，又A1FB1D，且A1FA1C1A1，B1D平面A1C1F，又B1D平面B1DE，平面B1DE平面A1C1F.证明要求： 分类整理落实 总结规律与方法整理巩固整理巩固