第十九章塑性应力应变关系本构方程

第十九章塑性应力一应变关系本构方程塑性变形过程中应力与应变之间的函数关系称为本构方程，也叫做物理方 程。塑性本构方程从本质上反映了物体发生塑性变形时的特征，这一方程和屈服 准则都是求解塑性成形问题的基本方程。第一节弹性应力一应变关系在单向应力状态下，弹性变形时应力与应变之间的关系，由虎克定律表达，即 o二妊r对于一般应力状态下各向同性材料的应力与应变间的关系，则由广义虎克定 律表达，即5 = 土旺-F(勾+屯)$厂立禹了 $ 亠 2(?戶 务-耳-讥心+务)；治二步鼻, 式中，E为弹性模量；l .为泊松比；G为切变模量。三个弹性常数E, l . G间有以下关系亠2(17)若将式(19-1)中的三项相加整理后可得t务+ J +為=电(+升+ %)(19-3)_ 二2 匕Ejn _式(19 3)表明，物体弹性变形时其体积变化率与平均应力成正比，这说明应力球张量 使物体产生弹性的体积改变。若将式(19 1)中的前三式分别减去式(19-3)，例如-m =- 5)二点6-r 1 r町得三个式子、将这三个式子与式(19-1)的石三式音井.可有成如下形式1无处112d吗；斥；= 尸1I 7*_2G s简记为二 4式(196)表示应变偏张量与应力偏张量成正比，即表明物体形状的改变只是 出应力偏张量引起。由式(19 3)和式(19 5)，广义虎克定律可写成张量形式(199根据式(19 5)可推导出复杂应力状态下应力强度与弹性应变强度之间的关 系。因等效应力为C -下 J ( - 6 严 +( 6 6 尸 + 5鼻-经尸 + Tr + 讥,1 -、一 -根据式(19-5)可得 (叫“可尸- 4G (et - /)2( 珥=2 6歹-5$ + 匕亠 tj2 +6(/ + 冗 + 允)将上式代入等效应力公式，得二*匸亶7術尸十(打亠电尸+ + #； +江)(199(199(19-8)(199称G为弹性应变强度=韦是式(1914)表明，在弹性变形范围内，应力强度与弹性应变强度成正比，比 例系数仍为E。(199图19-1单向拉伸时的应力一应变曲线由以上分析，可得弹性变形时应力一应变 关系有如下特点：（1）应力与应变完全成线性关系，即应力 主轴与全蜃应变壬轴重合。（2）弹性变形是可逆的，与应变历史（加 载过程）无关，即某瞬时的物体形状、尺寸只 与该瞬时的外载荷有关，而与该瞬时之前各瞬 间的载荷情况无关。因此，应力与应变之间存 在统一的单值关系如图191中，在弹性变形 范阖内，6无论由加载后得到还是由几卸 载芳得到.它所对应的应变总是为6。（3）弹性变形时，应力球张琵使物休产生 休积的变化，泊松比第二节性变形时应力一应变关系的特点如图19-1所示，对于理想塑性材料，则同一屈服应力町以对应任何应变 （图中虚线人如果是应变硬化材料，则由久加载到,对应的应变为如果 由万卸载到6”，则陋变为令，显然说明同一应力状态可以有不同的应 变状态与之对应，、即不再保持单值关系。乂例如，图19-2&为刚塑性硬化材料的单向拉伸和纯剪切吋的应力一应变关 系曲线，而图192b表示此材料承受拉、切复合应力时，在。一丁坐标平面上的 屈服轨迹，图中AB曲线为初始屈服轨迹，CD曲线为后继屈服轨迹。现将材料图19、2不同加载路线的应力与应变a）应力一应变曲线b）屈啟轨迹先单向拉伸至初始屈服点A （图19-2a）,再继续拉伸达到C点，C点在后继屈服 轨迹CZ）上（图92b）,此时材料中的应力为s,而得到的应变为釣=八2 = e3 =-（./2.,由于第性变形不可逆，5、-汐2、-/2不能恢复，保留在物体中。因此，若卸載至E点（图192b）,此时应变仍为 - J/2、一乂/2,再施加剪 应力到后继屈服轨迹CQ LF点，这时应力为升、，由于F点和C点在同一 后继屈服轨迹上.等效应力相同，但并未增加，不能进一步变形，所以应变状态 并无变化，即仍为C点的应变状态。这说明F点与C点的应力状态虽不同，但可对应相同的应变状态。同理，只要通过后继屈服轨迹 CD里面的任一加载路线（如OACJF）到达F点，情况也是如此。以上例子充分说明塑性变形时应力与应变之间的关系不是单值关系，而与加载路线（加载历史）有关。因此，离开加载路线来建立应力与全量塑性应变之间的普遍关系是不可能的。塑性变形时应力与应变关系的特点可总结如下：（1）应力与应变之间的关系是非线性的，因此，全量应变主轴与应力主轴不一定重合。 塑性变形时可以认为体积不变，即有对于等向强化的应变硬化材料，卸载后再重新加载时的屈服应力就是卸载时的屈服 应力，比初始屈服应力要高。（4）塑性变形是不可逆的，与应变历史有关，即应力一应变关系不再保持单值关系。第三节塑性变形的增量理论（流动理论）增量理论又称为流动理论，是描述物体处于塑性状态时，应力与应变增量或应变速率之 间关系的理论，它是通过加载过程中的每一变形瞬间的应力状态来确定该瞬间的应变增量。对于弹塑性材料，在塑性变形过程中必有弹性变形同时发生，因此可将物体的总变形分解为可恢复的弹性变形和不可恢复的塑性变形两部分。在任一微小的塑性变形过程元中，应变增量张量与应变速率张量可分解如下df - drr +?斤:-* + 曹上式中，e为弹性变形的标记，p为塑性变形的标记。对F刚魁性材料，由于旋二认乂，可有-dp, 二护（19-12）、Drucker 公设本书将通过Druckti关于稳足材料塑性功不可逆的公设，来建立塑性本构方稈，.这一公设可叙述如下：“考虑某一应 力循坏，初始应力禺在加載面内，然后 达到必刚好在加戟面上.再继续加载到 曲，在这阶段将产生塑性应变増 量匪筹最肓将应力又卸回到魂。若在整 个应力循环过程中，附加应力% -禺所 作的塑性功不小于零，则这种材料就是稔 定的图L9-3为DruHcw公设的应力循 环示意图口这一公设的数学表达式为* 0 （;# cl印芦 0 （19*13）_L式中，积分符号下面的说表示积分从咄开始又回到碍七生于弹性应变在应力循坏屮是可逆的，即O 0 （勺-竝）1畸二0（小于是*由式（911）町得 0 （內鳴）矗$凸0当d也为无穷小量时，牲整个应力循环中，仅在从肩到列 7旳这一无穷小 的路径兀屮d諾#6而在其余的路径上恒有dE? =0,由式（b）中忽略高阶微鱼* 就有a; -4）uo（C）在上式中将吋改写为为，即刊在加载面上, 则匕式变为（巾嗚）ckfjO （19-14） 在复杂血力状态下.式（1944）的图形描述如 图19-3所示在一维应力情形，式VM4）成为（cr -（7）4 玄 0这就是图中所示的阴影面枳。二、屈服表面的外凸性已知在主应力空间中一点的应力按量图炉斗塑性变形功可以用矢量来表示，而在主应变增量空间，一点的应变增量张量也可以用矢量来表示。 现在, 将主应力坐标系和主应变增量坐标系重合，称为主应力一应变复合空飢 设箱“厂琳 则由式（19-14）可得（宥-萌汕堀=壮府=1 .Afl | * | d武 | coSjO（d）由式（H）町知，（Fw0w9O锂 十是，如杲通过勺， 即过B点作屈服表面的切平面.则所有可能的 吩都应该在这个切平面的同一侧、因此稳定材料 的屈服表血必定是外凸的三挥塑性势流动理论宙于囲的任意性.由式（町还可得至叽肚 必定垂直于屈服表面，即de沿譬屈服表面的外 法线方向，也即沿着屈服表面的梯度矢量的方 向,于是有(19-15)武中，拴mO为未定的标量因子卫上式称为塑性|?3 19-5厢服表面的外凸件势流动理论，且将屈服函数f称为塑性位势。于是，采用不同的屈服函数，由式（19-15）就得到不同的塑性本构方程。四、Levy-Mises本构方程将38-23）中的f取为槊性位势，并将自变城转换为呦.则/变为+ （碍-%尸+ 3 （记y +兔+兔+殆-吆+比）-Y2（e）于是，由塑性势流动理论可得de| 二 de -3dco 二 7肪；：（19-16）式中.dA - 3dc0由上式可有新吕聊阶（岁）锐）=普心得于是有(19-17)式（19-16）及式（19-17）称为增量形式的 Levy-Mises本构方程。由于d球二霍扭及（V二d代入匕面两式可得速率形式的Levy-Mlsea 构方程为勇二鮎$（19-18）及辟二?学b或血-（19-19）对于刚塑性材料、由于 现二d昭 匂二賂 故式（19-16）4式（19J7）是刚塑性变形的增量形式的Mises本构方程，而式（19-18）与式（19-19）是刚塑性变形的速率形式的Mises本构方程，且可以省出标记“p”。五、Prantle-Reuss本构方程(19-20)已知在弹飓性变形过程中、有业孑“热；-矗壮 由式（9-7）nf求得氐审为日兰$ = /卅杼；+ 1 ? 结狙4曰由式（19-16）可得是，! %兀 + dAtrJv上式称为弹塑性变形的Pran tle-Reuss本构方程。注意，式（1921）是一个非线件方程组.使用起来很不方便。在非线件有限元分析中，已将该式推演为一个能够应用的公式，称之为山田公式。有关上述塑性本构方程的试验验证，本教材由于篇幅有限不予介绍，有兴趣的读者可 参阅有关文献。第四节 塑性变形的全量理论（形变理论）塑性变形的全量理论产生的背景是简单加载。在简单加载时，各应力分量按同一比例增加，应力主轴的方向将固定个变，故简单加载也称为比例加载。由于应变增量的主轴是和应力主轴重合的，所以应变增量的主轴也将始终不变。于是，可以对增量形式的Mises或Reuss本构方程进行积分，得到全量应变和应力之间的关系，这就是塑性变形的全量理论。简单加载的数学表达式为吓=忒(19-22)式中，碍为初始应力张量；(是十连续的实函数下面导出刚覩性娈形的全塑形式的本构方萬 由式(1922)不难得出S = 廟、cr = cjJ(h)故疔=J舟殆菇匸J彳小碍囲=2(心于是,由式(19町得3 df ,3 df w 3 Hg (X* 、册需计仁口 厂 2評小式中，当时取F号，c0时取负号*设步oGg.时.物体始终处于塑性变形状态，在应变增量的主轴坐标系 中对武(叮积分，可得巳=如= I 孕討门二 在二(19-23)J2 a2(72 aA武中E =丨庄反映了塑性变形的历史.而7与叫都是苛应Fwb时的值匚如果上盘的某一奎化过程申，物体并不立全处在塑性变形状态.只果在某几 个阶段处于塑性变形狀态例如当心尙4J及盘 ：包，亦时处十塑性变形状 态，这时就须对这二个塑性变形阶段，分别应用式(19-2刖求岀対应的艸仏 二1,2人再将它们相加，得到最终的全虽应瘦件第五节最大塑性功原理在主应力一应变的复合空间中.在同rJS服表血上任取二点F和PJ则矢 量OP与OP，分别表示二个应力张ar不失 般性，将这一个点在辄平面匕的投影也记为点P和尸如图【9彳所示.设血f是与应力帐蜀(F对应的应图19-6 n平面上的塑性功变増量即据与r之闻满足式(妙 15).这时应变増量张量d就也可以用 一个矢量来表示。称血円为真实的嬲性 应变增量再r称为真实的应力，而 称为庞拟的或町能的应力匚市塑性势流 动理论可知，日却沿着屈腿表面上过点 P处的外快线方向：由此可得(珂-F；)血$=o胡破-a *，d创二 OP dsp - OP* T利二 II d创 ii(1924)由于屈服表而是外凸的，且d常沿着屈服表面在点P处的外扛线方向，故必 有叱*903因此(九-叽用硝另0(1425)上式是最大塑性功原理的点形式。由于丽国=(叫 + 8V %?)心爲=口； kj 1 tr詢ckf 二 r； h$(19-26)因此由式(19-25 )得(-7f；)de0(19-27)设物体P在塑性变形过程中的任变形瞬间的真实塑性应变增量场为日嗽, 足对城的真实应力场，tr*足处处符合屈服带则的虚拟的或可能的应力场，由 式(19-25冋導r!- tjy ) dej dV 0,或 (- tr ) det dV 0(19-281J FJ 上式是最大塑性功原理的整体形式。上式表明，对于真实的塑性应变增量场，真实的应力场所做的塑性功，相对于虚拟的或可能的应力场而言，总是最大 的，将导致最大的能量散逸 (即能量消耗)。据此，最大塑性功原理也常称为最大 散逸功原理。显然，由式(19-25)、式(19 28)不难推导得应变速率形式的最大塑性功原理，请读者自已完成。