垂径定理教案

课题：24.1.2 垂直于弦的直径（第1课时）教与学目标: 1. 探索圆的对称性，进而得到垂直于弦的直径所具有的性质。2. 能够利用垂直于弦的直径的性质解决相关实际问题。重点: 垂直于弦的直径所具有的性质以及证明。难点: 利用垂直于弦的直径的性质解决实际问题自主探究:学习感悟（一） 学生预习 教师导学:阅读课本80-P81思考下列问题：1.用纸剪一个圆，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？ 2. 按下面的步骤做一做：第一步，在一张纸上任意画一个O，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合；第二步，得到一条折痕CD；第三步，在O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中点E是两条折痕的交点，即垂足；第四步，将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如图1图1 图2在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧?为什么？（二）学生探究 教师引领3.我们就得到下面的定理（垂径定理）下面我们用逻辑思维给它证明一下： 已知：直径CD、弦AB且CDAB垂足为M分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等因此，只要连结OA、OB或AC、BC即可 求证：AM=BM， AC=BC，AD=BD. 证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB在RtOAM和RtOBM中 RtOAMRtOBM AM=BM 点A和点B关于CD对称 O关于直径CD对称当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，AC与BC重合，AD与BD重合 AC=BC，AD=BD4.进一步，我们还可以得到结论：（垂径定理推论）（此结论的逻辑证明。试着逻辑证明一下）5.弦心距：6.背诵并默写垂径定理和推论：垂径定理: 符号语言：是的直径 又 推论： 符号语言：是的直径 又 7.上述定理的条件和结论有五个关系式,能否由其中的任意两个推出其余三个,结合图形,写出你的结论.课堂展示:学习感悟（三） 学生展示 教师激励:1、在O中，弦AB的长为cm,圆心O到AB的距离ODcm, 则O的半径为_cm2、O的半径为10cm，弦ABCD，AB=12cm，CD=16cm。求AB与CD的距离 3.如图，在中， 、为互相垂直且相等的两条弦，于， 于. 求证：四边形为正方形.4.如图所示，两个同心圆，大圆的弦交小圆于、.求证： （四）学生归纳 教师提炼在圆中，解决有关弦的问题时常常需要作“垂直于弦的直径”作为辅助线,实际上,往往只需从圆心作一条与弦垂直的线段即可.这样把垂径定理和勾股定理结合起来，容易得到圆的半径R，圆心到弦的距离d ，弦长a之间的关系式 这是一种重要的添加辅助线的方法 .垂径定理平分弦勾股定理来计算半径连接弦心距，弦长一半是关键课堂检测:学习感悟(五) 学生达标 教师测评:1.P为O内一点，OP=3cm，O半径为5cm，则经过P点的最短弦长为_；最长弦长_ .2如图，已知O的半径为5mm，弦AB=8mm，则圆心O到AB的距离是（ ） A1mm B2mmm C3mm D4mm3如图，OE、OF分别为O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_（只需写一个正确的结论） （2题图） （3题图） （4题图）4如图，O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，DEB=30，则CD长为 5.如图，O的直径AB与弦CD交于点E，AE=5，BE=1，CD=4，则AED=_ ABODEC（5题图）6题图 （7题图）（第8题）6.如图，AB为O直径，E是BC中点，OE交BC于点D，BD=3，AB =10，则AC=_.7.如图,O的直径CD=10cm,AB是O的弦,ABCD,垂足为M,OM:OD =3：5求AB的长8.如图，在O中，直径CD垂直弦AB于点E，连接OB,CB，已知O的半径为2，AB=,则BCD=_度9.如图，如果AB为O的直径，弦CDAB，垂足为E，那么下列结论中，错误的是（ ）ACE=DE B CBAC=BAD DACAD10.如图，O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM的长为3，则弦AB的长是（ ）A4 B6 C7 D8 9 10 1111如图，在O中，P是弦AB的中点，CD是过点P的直径，则下列结论中不正确的是（ ）AABCD BAOB=4ACD C DPO=PD反思:学习感悟