资源描述
10.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程核心考点精准研析考点一直线的倾斜角与斜率1.直线x+y+1=0的倾斜角是()A.B.C.D.2.(2021石家庄模拟)直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是()A.B.C.D.3.如下图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,那么()A.k1k2k3B.k3k1k2C.k1k3k2D.k3k2k14.假设点A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,那么a的值为_.【解析】1.选D.由直线的方程得直线的斜率为k=-,设倾斜角为,那么tan =-,又0,所以=.2.选B.由直线方程可得该直线的斜率为-,又-1-0,所以倾斜角的取值范围是.3.选C.由图可知k1k30,所以k2k3k1,应选C.4.因为kAC=1,kAB=a-3.由于A,B,C三点共线,所以a-3=1,即a=4.答案:41.倾斜角与斜率k的关系:(1)当时,k0,+),且倾斜角越大,斜率越大.(2)当=时,斜率k不存在.(3)当时,k(-,0),且倾斜角越大,斜率越大.2.斜率的两种求法:(1)定义法:假设直线的倾斜角或的某种三角函数值,一般根据k=tan 求斜率.(2)公式法:假设直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据斜率公式k=(x1x2)求斜率.【秒杀绝招】第2题可以用检验答案的方法求解,假设倾斜角=,那么斜率k=-=1不成立,故A、C、D都不对,所以选B.考点二求直线的方程【典例】1.求过点A(1,3),倾斜角是直线y=-x的倾斜角的的直线方程.2.经过圆C:(x+5)2+(y-2)2=1的圆心,且在x轴上截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程.3.求过A(2,1),B(m,3)两点的直线l的方程. 【解题导思】序号联想解题1看到点与斜率想到直线方程的点斜式2看到截距想到直线方程的截距式3看到字母想到对斜率是否存在的讨论【解析】1.因为y=-x的斜率为k=-,其倾斜角为120,所以所求直线的倾斜角为60,其斜率为,所以直线方程为y-3=(x-1),即直线方程为x-y+3-=0.2.因为圆C的圆心为(-5,2),当直线不过原点时,设所求直线方程为+=1,将(-5,2)代入所设方程,解得a=-,所以直线方程为x+2y+1=0;当直线过原点时,设直线方程为y=kx,那么-5k=2,解得k=-,所以直线方程为y=-x,即2x+5y=0.故所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+1=0.3.当m=2时,直线l的方程为x=2;当m2时,直线l的方程为=,即2x-(m-2)y+m-6=0.因为m=2时,代入方程2x-(m-2)y+m-6=0,即为x=2,所以直线l的方程为2x-(m-2)y+m-6=0.1.在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用:假设采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;假设采用截距式,应判断截距是否为零.3.截距是数,不是距离.它是直线与坐标轴交点的坐标,在x轴上的截距是直线与x轴交点的横坐标,在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标.截距可正、可负、可为0,因此在解与截距有关的问题时,一定要注意“截距为0的情况,以防漏解.(2021邯郸模拟)经过点(2,1),且倾斜角比直线y=-x-1的倾斜角小的直线方程是()A.x=2B.y=1C.x=1D.y=2【解析】选A.因为直线y=-x-1的斜率为-1,那么倾斜角为.由,所求直线的倾斜角为-=,斜率不存在,所以过点(2,1)的直线方程为x=2.考点三直线方程的综合应用命题精解读1.考什么:(1)与直线方程有关的最值问题.(2)数形结合思想.(3)根本不等式.(4)函数的单调性.2.怎么考:以选择题或填空题形式出现3.新趋势:数学建模核心素养的应用学霸好方法1.求解与直线方程有关的最值问题根本不等式或函数法求最值.2.含有参数的直线方程可看作直线系方程,别离参数法求出定点.3.交汇问题: (1)三角形和四边形的面积.(2)根本不等式.(3)函数的单调性.与不等式相结合的最值问题【典例】当k0时,两直线kx-y=0,2x+ky-2=0与x轴围成的三角形面积的最大值为_.【解析】直线2x+ky-2=0与x轴交于点(1,0).由解得y=,所以两直线kx-y=0,2x+ky-2=0与x轴围成的三角形的面积为1=,又k+2=2,当且仅当k=时取等号,故三角形面积的最大值为.答案:如何用直线方程求出三角形的边长?提示:根据直线方程求出交点坐标进而求得三角形的边长.与函数结合的最值问题【典例】直线x+2y=2分别与x轴、y轴相交于A,B两点,假设动点P(a,b)在线段AB上,那么ab的最大值为_.【解析】由题得A(2,0),B(0,1),由动点P(a,b)在线段AB上,可知0b1,且a+2b=2,从而a=2-2b,故ab=(2-2b)b=-2b2+2b=-2+.由于0b1,故当b=时,ab取得最大值.答案:如何找到a,b的关系进行消元?提示:P(a,b)在直线x+2y=2上,将a,b代入直线方程,得到a与b的关系.由直线方程求参数的范围【典例】直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当0a2时,直线l1,l2与两坐标轴围成一个四边形,当四边形的面积最小时,实数a=_.【解析】由题意知直线l1,l2恒过定点P(2,2),直线l1的纵截距为2-a,直线l2的横截距为a2+2,所以四边形的面积S=2(2-a)+2(a2+2)=a2-a+4=+.又0a0,b0),那么+=1.又因为+2ab4,当且仅当=,即a=4,b=2时,AOB面积S=ab有最小值为4.此时,直线l的方程是+=1,即x+2y-4=0.(2)由题意知直线l的斜率存在,设为k(k0),那么直线l的方程为y-1=k(x-2),即y=kx+(1-2k),那么A,B(0,1-2k).所以|PA|PB|=2=2=22=4.当且仅当=k2,即k=-1时,等号成立,所以|PA|PB|的最小值为4,此时直线l的方程为x+y-3=0.直线l过点M(1,1),且与x轴,y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点.求:(1)当|OA|+|OB|取得最小值时,直线l的方程.(2)当|MA|2+|MB|2取得最小值时,直线l的方程.【解析】(1)设直线l的方程为+=1,那么+=1,所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=2+2+2=4,当且仅当“a=b=2时取等号,此时直线l的方程为x+y-2=0.(2)设直线l的斜率为k,那么k0,直线l的方程为y-1=k(x-1),那么A,B(0,1-k),所以|MA|2+|MB|2=+12+12+(1-1+k)2=2+k2+2+2=4.当且仅当k2=,即k=-1时取等号,此时直线l的方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.- 8 -
展开阅读全文