资源描述
10.8. 曲线与方程含轨迹问题核心考点精准研析考点一直接法求轨迹方程【典例】ABC的三个顶点分别为A(-1,0),B(2,3),C(1,2),定点P(1,1).(1)求ABC外接圆的标准方程;(2)假设过定点P的直线与ABC的外接圆交于E,F两点,求弦EF中点的轨迹方程.【解析】(1)由题意得AC的中点坐标为(0,),AB的中点坐标为, kAC=,kAB=1,故AC中垂线的斜率为-,AB中垂线的斜率为-1,那么AC的中垂线的方程为y-=-x,AB的中垂线的方程为y-=-.由得所以ABC的外接圆圆心为(2,0),半径r=2+1=3,故ABC外接圆的标准方程为(x-2)2+y2=9.(2)设弦EF的中点为M(x,y),ABC外接圆的圆心为N,那么N(2,0),由MNMP,得=0,所以(x-2,y)(x-1,y-1)=0,整理得x2+y2-3x-y+2=0,故弦EF中点的轨迹方程为+=.直接法求轨迹方程的思路直接法求轨迹方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程,要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系、设点、列式、代换、化简、证明这六个步骤,但最后的证明可以省略,如果给出了直角坐标系那么可省去建系这一步,求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.1.点F(0,1),直线l:y=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且=,那么动点P的轨迹C的方程为()A.x2=4yB.y2=3xC.x2=2yD.y2=4x2.在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于-.那么动点P的轨迹方程为_.【解析】(1)选A.设点P(x,y),那么Q(x,-1).因为=,所以(0,y+1)(-x,2)=(x,y-1)(x,-2),即2(y+1)=x2-2(y-1),整理得x2=4y,所以动点P的轨迹C的方程为x2=4y.(2)因为点B与点A(-1,1)关于原点O对称,所以点B的坐标为(1,-1).设点P的坐标为(x,y),由题意得=-,化简得x2+3y2=4(x1).故动点P的轨迹方程为x2+3y2=4(x1).答案:x2+3y2=4(x1)考点二定义法求轨迹方程【典例】1.圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,求动圆圆心M的轨迹方程.2.如图,ABC的两顶点坐标A(-1,0),B(1,0),圆E是ABC的内切圆,在边AC,BC,AB上的切点分别为P,Q,R,|CP|=1(从圆外一点到圆的两条切线段长相等),动点C的轨迹为曲线M,求曲线M的方程.【解析】1.如下图,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B,那么有|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|.又|MA|=|MB|,所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2,即动点M到两定点C2,C1的距离的差是常数2,且2|MC1|,故动圆圆心M的轨迹为以定点C2,C1为焦点的双曲线的左支,那么2a=2,所以a=1.又c=3,那么b2=c2-a2=8.设动圆圆心M的坐标为(x,y),那么动圆圆心M的轨迹方程为x2-=1(x-1).2.由题知|CA|+|CB|=|CP|+|CQ|+|AP|+|BQ|=2|CP|+|AB|=4|AB|,所以曲线M是以A,B为焦点,长轴长为4的椭圆(挖去与x轴的交点).设曲线M:+=1(ab0,y0),那么a2=4,b2=a2-=3,所以曲线M的方程为+=1(y0).1.定义法的适用范围假设动点运动的规律满足某种曲线的定义,那么可根据曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.此法一般用于求圆锥曲线的方程.2.注意2个易误点(1)因对圆锥曲线定义中的某些特定条件理解不透或无视某些限制条件而失误.在利用定义法求轨迹方程时一定要正确应用圆锥曲线的定义.(如典例1中,动点M的轨迹是双曲线的一支,故应限制条件x-1)(2)不会迁移应用条件,而找不到解题思路,而无法解题.(如典例2中,假设不能正确转化|CA|+|CB|,那么很难求出曲线M的轨迹方程)M(-2,0),N(2,0),那么以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程为()A.x2+y2=2B.x2+y2=4C.x2+y2=2(x2) D.x2+y2=4(x2)【解析】选D.MN的中点为原点O,易知|OP|=|MN|=2,所以P的轨迹是以原点O为圆心,以r=2为半径的圆,除去与x轴的两个交点.考点三相关点法求轨迹方程【典例】如图,P是椭圆+y2=1上一点,PMx轴于M.假设=.(1)求点N的轨迹方程.(2)当点N的轨迹为圆时,求的值.【解析】(1)设点P,点N的坐标分别为P(x1,y1),N(x,y),那么M的坐标为(x1,0),且x=x1,所以=(x-x1,y-y1)=(0,y-y1),=(x1-x,-y)=(0,-y),由=得(0,y-y1)=(0,-y).所以y-y1=-y,即y1=(1+)y.因为P(x1,y1)在椭圆+y2=1上,那么+=1,所以+(1+)2y2=1,故+(1+)2y2=1为所求的点N的轨迹方程.(2)要使点N的轨迹为圆,那么(1+)2=,解得=-或=-.故当=-或=-时,N点的轨迹是圆.相关点法求曲线方程的四个步骤:第一步设出所求动点坐标P(x,y)第二步寻求所求动点P(x,y)与动点Q(x,y)的关系第三步建立P,Q两坐标间的关系,并表示出x,y第四步将x,y代入曲线方程中化简求解(2021西安模拟)抛物线y2=4x,焦点为F,顶点为O,点P在抛物线上移动,Q是OP的中点,M是FQ的中点,那么点M的轨迹方程是()A.y2=x-1B.y2=2(x-)C.y2=2(x-1)D.y2=x-【解析】选D.设M(x,y),P(x1,y1),Q(x2,y2),易求y2=4x的焦点F的坐标为(1,0).因为M是FQ的中点,所以即又Q是OP的中点,所以即因为P在抛物线y2=4x上,所以(4y)2=4(4x-2),M点的轨迹方程为y2=x-.【变式备选】1.方程ax2-ay2=b,且ab0,那么它表示的曲线是()A.焦点在x轴上的双曲线B.焦点在y轴上的双曲线C.圆D.椭圆【解析】选B.当ab|AB|=6,又因为P,A,B三点不共线,故点P的轨迹是以A,B为焦点的椭圆的一局部.4.直线y=mx+3m和曲线y=有两个不同的交点,那么实数m的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选A.因为直线y=mx+3m=m(x+3)经过定点P(-3,0),m为斜率;曲线y=是以原点为圆心,半径r=2的圆的上半圆,所以同一坐标系内作出它们的图像,如图,当直线与半圆切于A点时,它们有唯一公共点,此时,直线的倾斜角满足sin =,所以cos =,可得直线的斜率m=tan =,当直线y=mx+3m的倾斜角由此位置变小时,两图像有两个不同的交点,直到直线斜率m变成0为止,由此可得当0m时,直线y=mx+3m和曲线y=有两个不同的交点.- 8 -
展开阅读全文