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4.6 正弦定理和余弦定理核心考点精准研析考点一正弦定理1.(2021铜川模拟)在ABC中,AB=,A=75,B=45,那么AC=.2.锐角ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,假设B=2A,那么的取值范围是()A.B.C.D.3.(2021全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.bsinA+acosB=0,那么B=.【解析】1.C=180-75-45=60,由正弦定理得=,即=,解得AC=2.答案:22.选D.因为B=2A,所以sinB=sin2A=2sinAcosA,由正弦定理得b=2acosA,所以=,所以=tanA.因为ABC是锐角三角形,所以解得A,所以tanA1,所以tanA0,所以cosA=.由条件及正弦定理得sinA=2sinCcosA,即=2sinC,所以sinC=.考点二余弦定理【典例】在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a-c=b,sinB=sinC. (1)求cosA的值.(2)求cos的值.【解题导思】序号联想解题(1)看到“sinB=sinC,想到运用正弦定理,转化为b=c,又由“a-c=b运用余弦定理求得cosA.(2)看到“cos想到公式cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB.利用(1)得出的cosA的值及倍角公式求出cos2A和sin2A,代入公式方可求出cos的值【解析】(1)在ABC中,由=及sinB=sinC,可得b=c,又由a-c=b,得a=2c,所以cosA=.(2)在ABC中,由cosA=,可得sinA=.于是,cos2A=2cos2A-1=-,sin2A=2sinAcosA=.所以cos=cos2Acos+sin2Asin=+=.用正、余弦定理求解三角形根本量的方法第一步:选定理.两角两边用正弦定理,三边一角用余弦定理.第二步:求解.将代入定理求解.1.(2021长沙模拟)在ABC中,D是AC边上的点,且AB=AD,BD=AD,BC=2AD,那么sinC的值为()A.B.C.D.【解析】选A.设AB=AD=2a,那么BD=a,那么BC=4a,所以cosADB=,所以cosBDC=-,整理得CD2+3aCD-10a2=0,解得CD=2a或者CD=-5a(舍去).所以cosC=,而C,所以sinC=.2.(2021晋城模拟)如图,在锐角三角形ABC中,sinBAC=,sinABC=,BC=6,点D在边BC上,且BD=2DC,点E在边AC上,且BEAC,BE交AD于点F.(1)求AC的长.(2)求cosDAC及AF的长.【解析】(1)在锐角三角形ABC中,sinBAC=,sinABC=,BC=6,由正弦定理得=,所以AC=5.(2)由sinBAC=,sinABC=,得cosBAC=,cosABC=,所以cosC=-cos(BAC+ABC)=-cosBACcosABC+sinBACsinABC=-+=.因为BEAC,所以CE=BCcosC=6=,AE=AC-CE=.在ACD中,AC=5,CD=BC=2,cosC=,由余弦定理得AD=,所以cosDAC=.由BEAC,得AFcosDAC=AE,所以AF=.考点三正、余弦定理的综合应用命题精解读1.考什么:判断三角形形状、个数、面积问题,最值、范围问题;2.怎么考:考查解三角形问题常与平面几何交汇,题目中经常出现有关的几何元素如高、角平分线、线段的垂直平分线、三角形内切圆等;与平面向量交汇考查,解三角形还常与不等式,三角函数的性质交汇命题.学霸好方法1.判断三角形形状的两种思路(1)化边:通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)化角:通过三角恒等变形,得出内角的关系,从而判断三角形的形状.此时要注意应用A+B+C=这个结论.2.在三角形中求边、角的方法(1)假设求角,寻求得到这个角的一个函数的方程,结合角的范围求解.(2)假设求边,寻求与该边(或两边)有关联的角,利用三角形面积公式列方程求解.判断三角形个数、形状【典例】1.在ABC中,a=2,b=,A=45,那么满足条件的三角形有()A.1个B.2个C.0个D.无法确定2.在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.假设=,那么ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形【解析】1.选B.因为bsinA=,所以bsinAab.所以满足条件的三角形有2个.【一题多解】选B.作A=45,那么点B,C分别在A的两条边上.因为AC=b=,所以点C固定.过C作AB的垂线,垂足为D,易知CD=h=,又因为a=2,即a,所以B有两个位置符合题意.所以满足条件的三角形有2个.2.选D.由=,所以=或=0,即C=90或=.由正弦定理,得=,所以=,即sinCcosC=sinBcosB,即sin2C=sin2B,因为B,C均为ABC的内角,所以2C=2B或2C+2B=180,所以B=C或B+C=90,所以ABC为等腰三角形或直角三角形.1.三角形解的个数如何判断?提示:(1)两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.(2)三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理,也可用余弦定理.用正弦定理时,需判断其解的个数,用余弦定理时,可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.(3)数形结合,作图,与相应的直角三角形比拟.2.三角形形状如何判定?提示:(1)角化边:利用正弦定理、余弦定理化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断.(2)边化角:通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.面积问题【典例】1.(2021全国卷)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.假设b=6,a=2c,B=,那么ABC的面积为.【解析】因为cosB=,又因为b=6,a=2c,B=,可得c2=12,解得c=2,a=4,那么ABC的面积S=42=6.答案:62.在ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c且acosC=(2b-c)cosA. (1)求角A的大小.(2)假设a=2,求ABC面积的最大值.【解析】(1)由正弦定理可得:sinAcosC=2sinBcosA-sinCcosA,从而可得:sin(A+C)=2sinBcosA,即sinB=2sinBcosA,又B为三角形的内角,所以sinB0,于是cosA=,又A为三角形的内角,所以A=.(2)由余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA得4=b2+c2-2bc2bc-bc,当且仅当b=c时取等号,所以bc4(2+),所以S=bcsinA2+.所以ABC面积的最大值为2+.解三角形与三角恒等变换交汇问题【典例】ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.sinB+sinA(sinC-cosC)=0,a=2,c=,那么C= ()A.B.C.D.【解析】选B.由题意得sin(A+C)+sinA(sinC-cosC)=0,sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC-sinAcosC=0,即sinC(sinA+cosA)=sinCsin=0,所以A=.由正弦定理=得=,即sinC=,得C=.三角形与三角恒等变换交汇问题如何求解?提示:1.(2021芜湖模拟)在ABC中,cosB=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),那么ABC的形状为()A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形【解析】选A.因为cosB=,由余弦定理得=,整理得b2+a2=c2,即C为直角,那么ABC为直角三角形.2.在ABC中,sin2Asin2B+sin2C-sinBsinC,那么A的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选C.由正弦定理及sin2Asin2B+sin2C-sinBsinC得a2b2+c2-bc,即b2+c2-a2bc,由余弦定理得cosA=,又0A,所以0A.所以A的取值范围是.3.(2021西安模拟)在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A=2B.(1)求证:a=2bcosB.(2)假设b=2,c=4,求B的值.【解析】(1)因为A=2B,所以由正弦定理=,得=,所以a=2bcosB.(2)因为b=2,c=4,A=2B,由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,得16cos2B=4+16-16cos2B,所以cos2B=,因为A+B=2B+B,所以B,所以cosB=,所以B=.1.ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sinC-cosC=1-cos,假设ABC的面积S=(a+b)sinC=,那么ABC的周长为()A.2+5B.+5C.2+3D.+3【解析】选D.由sinC-cosC=1-cos2sincos-=1-coscos2cos-2sin-1=0,因为cos0,所以sin-cos=-,两边平方得sinC=,由sin-cos=-得sincos,所以0,即0C,由sinC=得cosC=.又S=absinC=(a+b)sinC=,所以a+b=ab=4,所以a=b=2,再根据余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=8-2,解得c=-1,所以ABC的周长为+3.2.如图,在平面四边形ABCD中,AB=1,BC=,ACCD,CD=AC,当ABC变化时,对角线BD的最大值为.【解析】设ABC=,ACB=,在ABC中,由余弦定理得AC2=4-2cos.由正弦定理得=,所以sin=.又CD=AC,在BCD中,由余弦定理得BD2=3+3(4-2cos)-2cos,即BD2=15-6cos+6sin=15+12sin.当=时,BD取得最大值3.答案:3- 12 -
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