专题三利用导数设计研究函数的性质

.wd.专题三利用导数研究函数的性质1f(x)0在(a，b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分不必要条件2f(x)在(a，b)上是增函数的充要条件是f(x)0，且f(x)0在有限个点处取到3对于可导函数f(x)，f(x0)0并不是f(x)在xx0处有极值的充分条件对于可导函数f(x)，xx0是f(x)的极值点，必须具备f(x0)0，在x0两侧，f(x)的符号为异号所以f(x0)0只是f(x)在x0处有极值的必要条件，但并不充分4如果连续函数f(x)在区间(a，b)内只有一个极值点，那么这个极值点就是最值点在解决实际问题中经常用到这一结论1函数f(x)在1，)上为减函数，则实数a的取值范围为_答案e，)解析f(x)，因为f(x)在1，)上为减函数，故f(x)0在1，)上恒成立，即lna1lnx在1，)上恒成立设(x)1lnx，(x)max1，故lna1，ae.2设函数f(x)ax33x1 (xR)，假设对于任意x1,1，都有f(x)0成立，则实数a的值为_答案4解析假设x0，则不管a取何值，f(x)0显然成立；当x0，即x(0,1时，f(x)ax33x10可化为a.设g(x)，则g(x)，所以g(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此g(x)maxg4，从而a4.当x0，即x1,0)时，同理a.g(x)在区间1,0)上单调递增，g(x)ming(1)4，从而a4，综上可知a4.3假设函数f(x)的导函数为f(x)x(x1)，则函数g(x)f(logax)(0a1)的单调减区间是_答案解析由f(x)x(x1)0，得x1或x0，即f(x)的减区间为(，1，0，)，则f(x)的增区间为1,00a0，f(x)在1，e上是增函数，故f(x)minf(1).题型一利用导数求函数的单调区间例1函数f(x)x3ax2xc，且af.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)设函数g(x)(f(x)x3)ex，假设函数g(x)在x3，2上单调递增，求实数c的取值范围解(1)由f(x)x3ax2xc，得f(x)3x22ax1.当x时，得af322a1，解之，得a1.(2)由(1)可知f(x)x3x2xc.则f(x)3x22x13(x1)，列表如下：x(，)(，1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的单调增区间是(，)和(1，)；f(x)的单调减区间是.(3)函数g(x)(f(x)x3)ex(x2xc)ex，有g(x)(2x1)ex(x2xc)ex(x23xc1)ex，因为函数g(x)在x3,2上单调递增，所以h(x)x23xc10在x3,2上恒成立只要h(2)0，解得c11，所以c的取值范围是11，)探究提高利用导数研究函数单调性的一般步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数f(x)；(3)假设求单调区间(或证明单调性)，只需在函数f(x)的定义域内解(或证明)不等式f(x)0或f(x)0；当x(1,0)时，f(x)0.故f(x)在(，1)，(0，)上单调递增，在(1,0)上单调递减(2)f(x)x(ex1ax)，令g(x)ex1ax，g(x)exa.假设a1，则当x(0，)时，g(x)0，g(x)为增函数，而g(0)0，从而当x0时，g(x)0，即f(x)0.假设a1，则当x(0，lna)时，g(x)0，g(x)为减函数，而g(0)0，从而当x(0，lna)时，g(x)0，即f(x)0，即(x22)ex0，因为ex0，所以x220，解得x0，所以x2(a2)xa0对x(1,1)都成立，即a(x1)对x(1,1)都成立令y(x1)，则y10.所以y(x1)在(1,1)上单调递增，所以y0恒成立当x0时，f(x)0)当a0时，由ax210，得x.由ax210，得0x0时，F(x)的增区间为，减区间为.当a0时，F(x)0)恒成立故当a0时，F(x)在(0，)上单调递减(2)原式等价于方程a(x)在区间，e上有两个不等解(x)在(，)上为增函数，在(，e)上为减函数，则(x)max()，而(e)(2)()(x)min(e)，如图当f(x)g(x)在，e上有两个不等解时有(x)min，a的取值范围为a.导数与函数单调性关系不清致误典例：(14分)f(x)x3ax23x.(1)假设f(x)在2，)上是增函数，求实数a的取值范围；(2)假设x3是f(x)的极值点，求f(x)在1，a上的最小值和最大值易错分析求函数的单调增区间就是解导数大于零的不等式，受此影响，容易认为函数f(x)的导数在区间2，)上大于零，无视了函数的导数在2，)上个别的点处可以等于零，这样的点不影响函数的单调性标准解答解(1)由题意，知f(x)3x22ax3，1分令f(x)0 (x2)，得a.记t(x)，当x2时，t(x)是增函数，3分所以t(x)min，所以a.6分(2)由题意，得f(3)0，即276a30，所以a4.7分所以f(x)x34x23x，f(x)3x28x3.9分令f(x)0，得x1，x23.10分又因为x1,4，所以x(舍去)，故x3.当x(1,3)时，f(x)0，所以f(x)在3,4上为增函数12分所以x3时，f(x)有极小值于是，当x1,4时，f(x)minf(3)18，而f(1)6，f(4)12，所以f(x)maxf(1)6.14分温馨提醒(1)假设函数yf(x)在区间(a，b)上单调递增，则f(x)0，其逆命题不成立，因为f(x)0包括f(x)0或f(x)0.当f(x)0时函数yf(x)在区间(a，b)上单调递增，当f(x)0时f(x)在这个区间内为常函数；同理，假设函数yf(x)在区间(a，b)上单调递减，则f(x)0，其逆命题不成立(2)使f(x)0的离散的点不影响函数的单调性.方法与技巧1利用导数证明不等式，就是把不等式恒成立的问题，通过构造函数，转化为利用导数求函数最值的问题应用这种方法的难点是若何根据不等式的构造特点或者根据题目证明目标的要求，构造出相应的函数关系式2在讨论方程的根的个数、研究函数图象与x轴(或某直线)的交点个数、不等式恒成立等问题时，常常需要求出其中参数的取值范围，这类问题的实质就是函数的单调性与函数的极(最)值的应用失误与防范1研究函数的有关性质，首先要求出函数的定义域2利用单调性求最值时不要无视f(x)0的情况3“f(x0)0”是“函数f(x)在x0取到极值的必要条件A组专项根基训练(时间：35分钟，总分值：62分)一、填空题(每题5分，共35分)1函数f(x)x22lnx的单调减区间是_答案(0,1)解析f(x)2x (x0)，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)为增函数2函数f(x)x33x24xa的极值点的个数是_答案0解析f(x)3x26x43(x1)210，则f(x)在R上是增函数，故不存在极值点3假设函数f(x)x36bx3b在(0,1)内有最小值，则实数b的取值范围是_答案解析f(x)在(0,1)内有最小值，即f(x)在(0,1)内有极小值，f(x)3x26b，由题意，得函数f(x)的草图如图，即解得0b0，函数f(x)单调递增；当x(1,3)时，f(x)0，函数f(x)单调递增所以函数f(x)的极小值为f(3)24，极大值为f(1)8.而f(2)1，f(5)8，函数图象大致如以以下图故要使方程g(x)f(x)m在x2,5上有3个零点，只需函数f(x)在2,5内的函数图象与直线ym有3个交点，故即m1,8)5(2012广东)曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为_答案2xy10解析y3x21，曲线在点(1,3)处的切线斜率k31212.该切线方程为y32(x1)，即2xy10.6函数f(x)mx3nx2的图象在点(1,2)处的切线恰好与直线3xy0平行，假设f(x)在区间t，t1上单调递减，则实数t的取值范围是_答案2，1解析由题意知，点(1,2)在函数f(x)的图象上，故mn2.又f(x)3mx22nx，则f(1)3，故3m2n3.联立解得：m1，n3，即f(x)x33x2，令f(x)3x26x0，解得2x0，则t，t12,0，故t2且t10，所以t2，17函数f(x)x(xm)2在x1处取得极小值，则实数m_.答案1解析f(x)x32mx2m2x，f(x)3x24mxm2，由f(1)0，即34mm20，解得m1或m3.当m1时，f(x)3x24x1(3x1)(x1)，当m3时，f(x)3x212x93(x1)(x3)，则m3应舍去二、解答题(共27分)8(13分)设函数f(x)x3x26xa.(1)对于任意实数x，f(x)m恒成立，求m的最大值；(2)假设方程f(x)0有且仅有一个实根，求a的取值范围解(1)f(x)3x29x63(x1)(x2)，因为x(，)，f(x)m，即3x29x(6m)0恒成立，所以8112(6m)0，解得m，即m的最大值为.(2)因为当x0；当1x2时，f(x)2时，f(x)0.所以当x1时，f(x)取极大值f(1)a；当x2时，f(x)取极小值，f(2)2a，故当f(2)0或f(1)0时，f(x)0仅有一个实根解得a.9(14分)函数f(x)x3ax2b(a，b为实数，且a1)在区间1,1上的最大值为1，最小值为2.(1)求f(x)的解析式；(2)假设函数g(x)f(x)mx在区间2,2上为减函数，求实数m的取值范围解(1)f(x)3x23ax，令f(x)0，得x10，x2a，a1，f(x)在1,0上为增函数，在0,1上为减函数f(0)b1，f(1)a，f(1)2a，f(1)2，则方程x3ax210在(0,2)上恰好有_个根答案1解析设f(x)x3ax21，则f(x)x22axx(x2a)，因为a2，所以2a4，所以当x(0,2)时，f(x)0，则f(x)在(0,2)上为减函数，又f(0)f(2)14a0)y2t.当0t时，y时，y0，可知y在此区间内单调递增故当t时，|MN|有最小值4关于x的方程x33x2a0有三个不同的实数解，则实数a的取值范围是_答案(4,0)解析由题意知使函数f(x)x33x2a的极大值大于0且极小值小于0即可，又f(x)3x26x3x(x2)，令f(x)0，得x10，x22，当x0；当0x2时，f(x)2时，f(x)0，所以当x0时，f(x)取得极大值，即f(x)极大值f(0)a；当x2时，f(x)取得极小值，即f(x)极小值f(2)4a，所以解得4a0)(1)求f(x)在0，)内的最小值；(2)设曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为yx，求a，b的值解(1)f(x)aex，当f(x)0，即xlna时，f(x)在(lna，)上递增；当f(x)0，即xlna时，f(x)在(，lna)上递减当0a0，f(x)在(0，lna)上递减，在(lna，)上递增，从而f(x)在0，)上的最小值为f(lna)2b；当a1时，lna0，f(x)在0，)上递增，从而f(x)在0，)上的最小值为f(0)ab.(2)依题意f(2)ae2，解得ae22或ae2(舍去)，所以a，代入原函数可得2b3，即b，故a，b.8(14分)如图，曲线C1：yx3(x0)与曲线C2：y2x33x (x0)交于点O、A，直线xt (0t1)与曲线C1、C2分别相交于点B、D.(1)写出四边形ABOD的面积S与t的函数关系Sf(t)；(2)讨论f(t)的单调性，并求f(t)的最大值解(1)由，得交点O、A的坐标分别为(0,0)，(1,1)f(t)SABDSOBDBD|10|BD(3t33t)，即f(t)(t3t) (0t1)(2)f(t)t2.令f(t)0，解得t.当0t0，从而f(t)在区间上是增函数，当t1时，f(t)0，从而f(t)在区间上是减函数所以当t时，f(t)有最大值为f.