函数单调性的应用

函数单调性的应用教学内容:函数单调性的应用教学目的:利用单调性解决二次函数最值，含参数的函数问题，及解决抽象函数问题。教学重点:含参数问题的讨论，抽象函数问题。教学难点:单调性的综合应用。教学过程:1. 用定义证明函数单调性的步骤是（1） ，（2） ，（3） ，（4） ，（5） 。2. 若函数y=f(x)在某区间上是增（减）函数，则y=- f(x)在这个区间上为 函数；若函数y=f(x) 和 y=g(x)在某个公共区间上都是增（减）函数，则y=f(x)+g(x)在这个区间上是 函数。 3. 若函数y=f(x) 在闭区间a, b上具有单调性，则它在这个区间上必取得最大值和最小值，当f(x)在a, b上递增时，ymax= ,ymin= ;当f(x)在a, b上递减时, ymax= ,ymin= 。二基础自测1. 已知f(x) , g(x)定义在同一区间上，f(x)是增函数，g(x)是减函数，且g(x)0，则（ ）A. f(x) + g(x) 为减函数 B. f(x) - g(x)为增函数Cf(x)g(x)是减函数 D. 是增函数2. 函数y=f(x) 在R上单调递增，且f(m2)f(-m)，则实数m的取值范围是（ ）A. (-,-1 ) B. ( 0,+) C.(-1,0 ) D. (-,-1 )( 0,+)3.已知x0,1，则函数y=- 的最大值为 ，最小值为 。三例题精选类型一 函数的最值问题例1:函数f(x)= ax2-2ax+2+b (a0)在2,3上有最大值5和最小值2，求a, b的值.解题过程（略） 点评:二次函数在某个区间a ,b上的最值只可能在两个端点或顶点处取得。即时突破:已知函数f(x)= -4x2+4ax-4a-a2在0,1内有最大值-5，求a的值。类型二 已知单调性求参数值或取值范围例2:已知函数f(x)=x-x+2在( 1,+)上是增函数，求实数a的取值范围。解题过程（略） 点评:已知函数f(x)在区间A上是增（减）函数，确定某个与该函数相关的参数值或取值范围问题，基本思路是:（1）设x1 x2A. (2) 探讨f(x1)- f(x2)0（减）成立的条件。即时突破：(1) 已知函数f(x)= x2-2（1-m）x+2的单调减区间是(-,4，求实数m的值。(2)已知函数f(x)= x2-2（1-m）x+2在区间(-,4上是减函数，求实数m的取值范围。类型三 利用函数的单调性解不等式例3已知f(x)是定义在R上的函数，并且对任意x, y，都有f(x+ y)=f(x)+f(y)-1成立，当x0时，f(x)1,（1）证明f (x)在R上是增函数;（2）若f(4)=5,求f(2)的值;（3）若f(4)=5，解不等式f (3 m2-m-2)3.解题过程（略）点评：本例中的（3）要解不等式，就必须寻找关于m的不等式，即依据函数单调性将函数值大小关系转化为自变量大小关系。即时突破：已知函数f(x)的定义域为（-1，1），且满足下列条件：（1）f(x)=- f(-x); （2）f(x)在定义域上单调递增；（3）f (1-a)=- f(1-a2)0求实数a的取值范围。四课堂小结：函数单调性是函数的一个重要性质，在研究函数时有着非常广泛的应用，应重点掌握下列三个方面的问题：（1） 利用函数的单调性比较函数值的大小。（2） 利用函数的单调性解不等式，常见题型是，已知函数的单调性，给出两个函数的大小，求含于自变量中的某个特定的系数，这时就应该利用函数的单调性“脱”去抽象的函数“外衣”，以实现不等式间的转化。（3） 利用函数的单调性确定函数的值域，求函数的最大值和最小值。