沪教版高中数学教案

沪教版高中数学教案【篇一：高二数学： 7.2等差数列前 n项和教案 1沪教版】等差数列的前 n项和（一）教学目标（一）教学知识点等差数列前 n项和公式： sn= n(a1?an)n(n?1) ?na1?d. 22 （二）能力训练要求1.掌握等差数列前 n项和公式及其获取思路 .2.会用等差数列的前 n项和公式解决一些简单的与前 n项和有关的问题. （三）德育渗透目标1.提高学生的推理能力 . 2.增强学生的应用意识. 教学重点等差数列前 n项和公式的推导、理解及应用 . 教学难点灵活应用等差数列前 n项公式解决一些简单的有关问题. 教学方法启发引导法结合所学知识，引导学生在解决实际问题的过程中发现新知识，从而理解并掌握 . 教具准备投影片一张：记作 例:如图（课本），一个堆放铅笔的 v 形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放 120 支，这个 v 形架上共放着多少支铅笔?教学过程 .复习回顾师经过前面的学习，我们知道，在等差数列中： （1）an an1=d （n 1）， d为常数 . （2）若 a，a，b为等差数列，则a=a?b . 2 （3）若 m+n=p+q,则am+an=ap+aq. （其中 m,n,p,q 均为正整数）.讲授新课师随着学习数列的深入，我们经常会遇到这样的问题 . （打出投影片）这是一堆放铅笔的 v 形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数 .那么，这个 v 形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数求和问题？ 首先，我们来看这样一个问题： 1+2+3+ +100= ？对于这个问题，著名数学家高斯 10岁时曾很快求出它的结果，你知道他是怎么算的吗？ 高斯的算法是：首项与末项的和： 1+100=101 ，第 2项与倒数第 2项的和： 2+99=101 ， 第 3项与倒数第 3项的和：3+98=101 ， 100 =5050. 2这个问题，它也类似于刚才我们所遇到的问题，它可以看成是求等差数列 1，2，3， ，n, 的前 100项的和 .在上面的求解中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数 n 来表示，且任意的第 k项与倒数第 k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去求一般等差数列的前 n项的和 .如果我们可归纳出一计算式，那么上述问题便可迎刃而解 . 设等差数列 an 的前 n项和为sn ，即 sn=a1+a2+ +an, 把项的次序反过来， sn 又可写成 sn=an+an 1+ +a1 +?2sn=（a1+an ）+（a2+an 1）+ + （an+a1 ）又 a2+an 1=a3+an 2=a4+an 3= =an+a1, 2sn=n （a1+an ）,即： sn=n(a1?an) 2若根据等差数列 an 的通项公式， sn 可写为： sn=a1+ （a1+d ）+ + a1+（n1）d ,把项的次序反过来， sn 又可写为：sn=an+ （and）+ + an（ n1）d ,把、两边分别相加，得 2sn=由此可得等差数列 an 的前 n项和的公式 sn=n （a1+an ）,即： sn= n(a1?an). 2 n(a1?an). 2 也就是说，等差数列的前 n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半.100(1?100)=5050. 2 n(a1?an)n?a1?a1?(n?1)d?n(n?1)又 an=a1+ （n1）d,sn=?na1?d 222n(a1?an)n(n?1) sn= 或 sn=na1+d 22用这个公式来计算 1+2+3+ +100= ？我们有 s100=有了此公式，我们就不难解决最开始我们遇到的问题，下面我们看具体该如何解决？（打出投影片） 师分析题意可知，这个 v 形架上共放着 120层铅笔，且自上而下各层的铅笔成等差数列，可记为 an ，其中a1=1,a120=120,n=120.生解：设自上而下各层的铅笔成等差数列 an ，其中 n=120,a1=1,a120=120.则： s120= 120(1?120)=72602答案：这个 v 形架上共放着 7260 支铅笔 . 下面我们再来看一例题：等差数列 10,6,2,2， 前多少项的和是 54?分析：先根据等差数列所给出项求出此数列的首项，公差，然后根据等差数列的求和公式求解 .解：设题中的等差数列为 an，前 n项为的 sn ，由题意可知：a1= 10,d= （ 6） （ 10）=4，sn=54由等差数列前 n项求和公式可得： 10n+n(n?1)解之得： n1=9,n2= 3（舍去）答案：等差数列 10,6,2,2, 前 9项的和是 54. .课堂练习生练习课本1.根据下列各题中的条件，求相应的等差数列 an 的 sn; （1）a1=5,an=95,n=10; 解：由 sn=n(a1?an)10?(5?95) ,得 sn=500.22（2）a1=100,d= 2,n=50;n(n?1) d, 2 50?(50?1)2解：由 sn=na1+（3）a1=14.5,d=0.7,an=32 n(n?1)26(26?1)评述：要熟练掌握等差数列求和公式的两种形式，以便根据题目所给条件灵活选用而求解 .2.（1）求正数数列中前 n 个数的和 .解：由题意可知正整数列为： 1，2，3， ，n, , sn= n(n?1)2（2）求正整数列中前 n 个偶数的和 . 解：由题意可知正整数数列为： 1，2，3， ，n, ,其中偶数可组成一新数列为： 2，4，6， 2n, ，设正整数列中前 n 个偶数的和为sn ，则sn=评述：首先要理解题意，然后综合使用公式而求解 . 3.等差数列 5，4，3，2， 前多少项的和是 30？ 解：由题意可知， a1=5,d=4 5=1. 由 sn=na1+n(2?2n)=n （n+1 ）. 2 n(n?1)n(n?1) 评述：利用方程思想，解决一些简单的相关问题 .课时小结通过本节学习，要熟练掌握等差数列前 n项和公式 :sn= n(a1?an)n(n?1) =na1+d 及其获22取思路 .课后作业（一）课本（二） 1.预习内容：课本2.预习提纲：如何灵活应用等差数列求和公式解决相关问题 ? 板书设计【篇二：沪科版高中数学等差数列等比数列教案】7.2（3）等差数列的前 n项和一、教学内容分析本节是在学习了等差数列的概念和性质的基础上，使学生掌握等差数列求和公式，并能采用了倒序相加法，思路的获得得益于等差数列任意的第 k 项与倒数第 k 项的和都等于首项与末项的和这一性质的认识 “倒序相加 ”数学方法 .二、教学目标设计 1掌握等差数列前 n 项和公式推导思路和方法2会用等差数列的前 n 项和公式解决一些简单的问题 三、教学重点及难点等差数列 n 项和公式的理解、推导及简单应用灵活应用等差数列前 n 项公式解决一些简单的问题四、教学用具准备五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入1观察 高斯是伟大的数学家、天文学家 .高斯十岁时 ,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目 :1+2+?+100=?”过了两分钟 ,正当大家在： 1+2=3 ；3+3=6 ；4+6=10;? 算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+?教师问： “你是如何算出答案的？2思考这个故事告诉我们：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发（ 2）该故事还告诉我们求等差数列前 n 项和的一种很重要的思想方法 .这就是 “倒序相加 ”3讨论如图，一个堆放铅笔的 v 形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放 120 支，这个 v 形架上共放着多少支铅笔 ?这是一堆放铅笔的 v 形架，这形同前面所接触过的堆放钢管的示意图，看到此图，大家都会很快捷地找到每一层的铅笔数与层数的关系，而且可以用一个式子来表示这种关系，利用它便可以求出每一层的铅笔数.那么，这个 v 形架上共放着多少支铅笔呢？这个问题又该如何解决呢？经过分析，我们不难看出，这是一个等差数列求和问题？这个问题，类似于刚才我们所遇到的小故事中的问题，它可以看成是求等差数列 1，2，3， ，n, 的前 120项的和 .在上面的求解中，我们设想：如果还有一堆同样放置的铅笔的 v 形架 .我们将它倒置拼在一旁 ,那么这时每层铅笔的个数相同 .可以发现所求的和可用首项、末项及项数 n 来表示，且任意的第 k项与倒数第 k项的和都等于首项与末项的和，这就启发我们如何去研究一般地等差数列的前 n项的和公式 .如果我们可归纳出这一个公式，那么上述问题便可迎刃而解 .二、学习新课1公式推导等差数列的前 n项和公式 1:sn?推导过程： n(a1?an). 2 证明： sn?a1?a2?a3?an?1?an sn?an?an?1?an?2?a2?a1 +： 2sn?(a1?an)?(a2?an?1)?(a3?an?2)?(an?an).a1?an?a2?an?1?a3?an?2?.2sn?n(a1?an). 由此得： sn?n(a1?an). 22等差数列的前 n项和公式 2：sn?na1?n(n?1)d. 2 用上述公式要求 sn 必须具备三个条件： n,a1,an. 把 an?a1?(n?1)d入公式 1 即得： sn?na1?n(n?1)d. 2此公式要求 sn 必须已知三个条件： n,a1,d （有时比较有用） 总之：两个公式都表明要求 sn, 必须已知 n,a1,d,an 公式 2 又可化成式子： sn?2例题分析 d2dn?(a1?)n. 当 d022 例 1 一个堆放铅笔的 v 型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放 120 支，这个 v 形架上共放着多少支铅笔？ 解：由题意可知，这个 v 形架上共放着 120层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为?an? ，其中 a1?1,a120?120 ，根据等差数列前 n项和的公式，得 s120?120?(1?120)?7260. 2答： v 形架上共放着 72603 问题拓展例 2 等差数列 -10，-6，-2，2， 前多少项的和是 54？解：设题中的等差数列为?an? ，前 n项的和为sn, 则a1?10,d?(?6)?(?10)?4,sn?54.由公式可得 ?10n?n(n?1)?4?54. 2解得 n1?9,n2?3 （舍） .故等差数列 -10，-6，-2，2 前 9项的和是 54.三、巩固练习?1 求集合 m?m|m?7n,n?n* 且 m?100 1002?14. 77正整数 n 共有 14 个即 m 中共有 14 个元素 . 解：由 7n?100 得 n? 即 7，14，21， ，98 是 a1?7为首项a14?98 的等差数列 .sn? 14?(7?98)?735. 2 四、课堂小结本节课学习了以下内容：1.等差数列的前 n项和公式 1：sn?n(a1?an). 2n(n?1)d. 22. 等差数列的前 n项和公式 2：sn?na1?3.sn?d2dn?(a1?)n, ，当 d0，是一个常数项为零的二次式 . 22五、作业布置课本练习:p19,1,2,3.补充练习:1.已知等差数列的前 n项和为a，前 2n项和为b，求前 3n项和 2.已知一个等差数列的前 10项的和是 310 ，前 20项的和是 1220 ，求其前 n项和的公式 .补充练习参考答案 1.3(b?a)2. sn?3n2?n 七、教学设计说明该节课是通过对于 1+2+3+?+100 的算法，发现等差数列任意的第 k项与倒数第 k项的和等于首、末项的和，从而得出了求等差数列前 n项和的思路，获得求和的一般思路 .关键是通过具体的例子发现一般规律，然后导出前 n项和公式 .教师应多创造机会让学生自己去发现、推导，逐步体会从特殊到一般的认识过程及归纳的思想方法 .7.2（4）等差数列的通项公式和前 n项和一、教学内容分析本课是在学习等差数列的通项公式和前 n项和公式后的一节练习课.在知晓公式的两种表示形式后，进一步分析公式的特征，运用公式解决一些基本问题.二、教学目标设计1.熟练掌握等差数列的通项公式和前 n项和公式 . 2.了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题 .从而发展分析问题、解决问题的能力 .三、教学重点及难点熟练掌握等差数列的求和公式灵活应用求和公式解决问题四、教学用具准备五、教学流程设计六、教学过程设计一、情景引入1回忆回忆一下上一节课所学主要内容 .1.等差数列的前 n项和公式： sn?2.sn?n(a1?an)n(n?1)d 和 sn?na1?. 22d2dn?(a1?)n,?d?0? 是一个常数项为零的二次式 . 222思考两个求和公式的基本特征和使用条件 .3讨论二、学习新课1基本问题简析求集合 m=m|m=2n 1,nn*,且 m 60 的元素个数及这些元素的 和.61. 261 又 nn*. 满足不等式 n的正整数一共有 30 个. 2 分析：由2n160,得 n 即集合 m 中一共有 30 个元素，可列为： 1，3，5，7，9， ，59.它们组成一个以 a1=1,a30=59,n=30 的等差数列 .sn=n(a1?an)30(1?59), =900. s30=22故集合 m 中一共有 30 个元素，其和为900.2例题分析 例 1.在小于 100 的正整数中共有多少个数能被 3 除余 2 分析：满足条件的数属于集合， m=m|m=3n+2,m 100,m n*，nn 解：分析题意可得满足条件的数属于集合 .m=m|m=3n+2,m 100,n n由 3n+2 100, 得 n322, 且 m n*, 3n 可取 0，1，2，3， ，32.即在小于 100 的正整数中共有 33 个数能被 3 除余 2.把这些数从小到大排列出来就是： 2，5，8， ，98.它们可组成一个以 a1=2,d=3, a33=98,n=33 的等差数列 .由 sn=n(a1?an)33(2?98), 得 s33=1650. 22故在小于 100 的正整数中共有 33 个数能被 3 除余 2，这些数的和是1650. 例 2已知一个等差数列的前 10 项的和是 310 ，前 20 项的和是1220 ，由此可以确定求其前 n 项和的公式吗？ 分析：若要确定其前 n 项求和公式，则要确定 a1 和 d,由已知条件可获两个关于 a1 和 d 的关系式，从而可求得 . 解：由题意知 s10?310,s20?1220. 代入公式 sn?na1?n(n?1)d. 2 ?10a1?45d?310?a?4,n(n?1) 可得? 解得?1?sn?4n?6?3n2?n.2?d?6.?20a1?190d?1220 说明（1）一般来说，等差数列的求解中，就是已知 a1,an,n,d,sn这五个量中的三个量，求另外的两个量的问题 .其中 a1 和 d 是关键 的基本量 .（2）从本题还可以看来，由 s10 与 s20 可确定 sn. 事实上，已知两次代入求和公式就可以【篇三：数学： 4.5反函数的概念教案 (1)(沪教版高一下)】4.5 反函数的概念一、教学内容分析“反函数 ”是高中代数第一册的重要内容 .这一节课与函数的基本概念有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生接受、理解反函数的概念并学会反函数的求法，又可使学生加深对函数基本概念的理解，还为今后反三角函数的教学做好准备 ,起到承上启下的重要作用 . 二、教学目标设计（1）理解反函数的概念，并能判定一个函数是否存在反函数；（2）掌握求反函数的基本步骤，并能理解原函数和反函数之间的内在联系；（3）通过反函数概念的引入；函数及其反函数图像特征的主动探索，初步学会自主地学习、独立地探究问题；掌握观察、比较、分析、归纳等数学试验研究的方法；体验探索中挫折的艰辛与成功的快乐，激发学习热情 .三、教学重点与难点：反函数的概念及求法；反函数的图像特征；反函数定义域的确定 . 四、教学流程设计五、教学过程设计 1、设置情境，引出概念?引例：在两种温度度量制摄氏度 (c)和华氏度（ f）相互转化时会发现，有时两人选?用相同的数据，如下表，所建立的函数关系和作出的图像完全不同，这是为什么呢？教师点拨：指导学生观察上面两个函数的异同，引出反函数的定义 .介绍反函数的记号y?f?1(x) ；了解 f?1(x) 表示反函数的符号， f2、 探索研究，深化概念 探求反函数成立的条件 . ?1 表示对应法则 . 例 1（1）y?x2 （x?r ）的反函数是（ 2）y?x2 （x?0 ）的反函数是（3）y?x2 （x?0 ）的反函数是 学生活动：讨论函数反函数成立的条 件（理论根据为函数的定义）：对值域 a 中任意一个 y 值，在定义 域 d 中总有唯一确定的 x 值与它对应，即 x 与 y 必须一一对应 . 探 求求反函数的方法 .（课本例题） 例 2求下列函数的反函数：32（1）y?4x?2 （2）y?x?1 （3）y?x?1(x?0)（4）y? 3x?11 (x?r,x?) 4x?22说明：学生分四组完成，教师巡视，把典型错误及正确解法投影 . 学生活动：探求求反函数的方法 . （1） 变形:解方程 y?f(x) ，得 x?f?1(y) ； (x) ；（2） 互换:互换 x,y 的位置，得 y?f ?1（3）写出定义域 :注明反函数的定义域 .观察反函数的图像，探讨互为反函数的两个函数的关系.教师点拨：指导学生观察函数及其反函数的图像，结合反函数的定义，探讨函数及其反函数之间的关系 . 学生活动：探讨互为反函数的两个函数的关系 . 从函数角度看：若函数 y?f(x) 有反函数 y?f?1(x) ，则 y?f?1(x) 的反函数是y?f(x) ，即 y?f(x) 和 y?f?1(x) 互为反函数 .反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域 .从函数图像看：原函数和反函数图像关于 y?x 对称.从单调性来看：原函数和反函数均为单调函数，他们具有相同的单调性. 3 、例题分析，巩固方法： （1）课本练习 4.5 （2）补充练习：1、给出下列几个函数： y?x?1(x?2 ?4(x?1)1)； y? 2?2x(x?2)y?x3?2(x?r) y?x(2?x)(x?0) 其中不存在反函数的函数序号是、 2、若指数函数 y?f(x) 的反函数的图像经过点（，），则此指数函数为 ( a )（a） y?() （b）y?2x （c）y?3x （） y?10x3、设 f(x)?2?2x(x?1) ，则 f ?1 1 2 x(x) （ d ） （a）在（ ?,?) 上是增函数 （b）在（ ?,?) 上是减函数（ c）在0,?) 上是减函数 （）在（ ?,0 上是增函数 4、若函数 f(x) 是函数 y?2?2x2?0?x?1? 的反函数，则 f(x) 的图像为 （ b ）yy y y x x xa bc d 5、y?2x?x2 (1?x?2) 反函数是 （ b ） （b）y?1?x2 (0?x?1) （d）y?1?x2 (0?x?1) （a）y?1?x2 (?1?x?1) （c）y?1?x2 (?1?x?1) 6、若 y?ax?b(a?0) 有反函数且它的反函数就是 y?ax?b 本身，求a,b 应满足的条件 .解：由 y?ax?b ，得 ax?y?b. 由 a?0 ，知 x?所以函数 y?ax?b 的反函数为 x? 1by?. aa1by?. aa1b由于函数 y?ax?b 的反函数 x?y? 就是函数 y?ax?b 本身，即有 aa1b?a ，且?b. aa于是，解得 a?1 ，b?0 或 a?1 ，b 为任意实数 .教师点拨：提出两个问题：什么样的一次函数，它的反函数正好是它本身？除了一次函数外，是否还存在其它函数，满足反函数就是它本身 ?(y?4、课堂小结反函数的概念及求法； 函数及其反函数的关系； 5、作业布置练习册 4.5 a 组 六、教学设计说明1反函数概念比较抽象，不能简单地从形式上来定义 . 在教学时先通过实例根据自变量和应变量的不同，得到两个函数关系式和图像完全不同的函数 .在此基础上指出这两个函数互为反函数，这样使学生对反函数有一个初步的认识 . 2在此基础上，引出反函数的一般概念，使得较抽象的概念能被学生逐步理解 .然后再进一步强调函数 y?f(x)(x?d,y?a) 的反函数存在的条件 “对值域 a 中任意一个 y 值，在定义域 d 中总有唯一确定的x 值与它对应 ”. 3通过学生对课本例题的练习，发现学生在解题过程中存在的问题 .通过对课堂练习的点评，让学生了解并总结出求反函数的步骤 . 同时让学生认识到若函数 y?f(x) 有?1y?f(x) 的反函数是 y?f(x) ，即 y?f(x) 和反函数 y?f(x) ，则 ?1 kx?1(k?0),y? 等) xx?1y?f?1(x) 互为反函数，并了解反函数的定义域与值域恰好是原函数的值域与定义域. 4通过几何画板在同一坐标下演示课本例题的函数及其反函数的图像，让学生掌握 x,y 互换的几何意义，了解原函数和反函数图像关于y?x 对称，从而巩固对反函数概念的理解 .