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10.7 抛物线核心考点精准研析考点一抛物线的定义及标准方程1.抛物线y2=4x的焦点为F,定点P(4,-2),在抛物线上找一点M,使得|PM|+|MF|最小,那么点M的坐标为()A.(2,-2)B.(1,2)C.(1,-2)D.(-1,2)2.直线l1:4x-3y+6=0和l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是()A.B.2C.D.33.(2021保定模拟)设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5.假设以MF为直径的圆过点A(0,2),那么C的方程为()A.y2=4x或y2=8xB.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x4.设P是抛物线y2=4x上的一个动点,F为焦点,假设B(3,2),那么|PB|+|PF|的最小值为_.5.抛物线C的顶点为坐标原点,对称轴为坐标轴,直线l过抛物线C的焦点F,且与抛物线的对称轴垂直,l与C交于A,B两点,且|AB|=8,M为抛物线C准线上一点,那么ABM的面积为_.【解析】1.选C.过P作PM垂直于抛物线的准线,交抛物线于点M,交准线于点N,那么|PM|+|MF|=|PM|+|MN|=|PN|,此时|PM|+|MF|最小,点M纵坐标为-2,故横坐标为1,所以点M的坐标为(1,-2).2.选B.由题可知l2:x=-1是抛物线y2=4x的准线,设抛物线的焦点(1,0)为F,那么动点P到l2的距离等于|PF|,那么动点P到直线l1 和直线l2的距离之和的最小值,即焦点F到直线l1:4x-3y+6=0的距离,所以最小值是=2.3.选C.由得抛物线的焦点F,设点M(x0,y0),那么=,=.由得,=0,即-8y0+16=0,因而y0=4,M.由|MF|=5,得 =5.又p0,解得p=2或p=8.故C的方程为y2=4x或y2=16x.4.如图,过点B作BQ垂直准线于点Q,交抛物线于点P1,那么|P1Q|=|P1F|,那么有|PB|+|PF|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4,即|PB|+|PF|的最小值为4.答案:45.不妨设抛物线方程为y2=2px(p0),那么焦点F,A,B,将A代入抛物线方程,可得2p=42,得p=4,那么准线方程为x=-2,设M(-2,t),那么SABM=|AB|p=44=16.答案:161.抛物线定义的应用利用抛物线的定义解决问题时,应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化.“看到准线应该想到焦点,看到焦点应该想到准线,这是解决有关抛物线距离问题的有效途径.2.求抛物线的标准方程的方法(1)定义法根据抛物线的定义,确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离),再结合焦点位置,求出抛物线方程.标准方程有四种形式,要注意选择.(2)待定系数法根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上,设出相应形式的标准方程,然后根据条件确定关于p的方程,解出p,从而写出抛物线的标准方程.当焦点位置不确定时,有两种方法解决:方法一分情况讨论,注意要对四种形式的标准方程进行讨论,对于焦点在x轴上的抛物线,为防止开口方向不确定可分为y2=2px(p0)和y2=-2px(p0)两种情况求解方法二设成y2=mx(m0),假设m0,开口向右;假设m0)的焦点为F,过F的直线l交抛物线于A,B两点(点A在第一象限),假设直线l的倾斜角为,那么=()A.B.C.D.2.(2021濮阳模拟)抛物线C:y2=4x的焦点为F,过F的直线l交抛物线C于A、B两点,弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5,那么直线l的斜率k为 ()A.B.1C. D.3.(2021全国卷)抛物线C:y2=3x的焦点为F,斜率为的直线l与C的交点为A,B,与x轴的交点为P.(1)假设|AF|+|BF|=4,求l的方程.(2)假设=3,求|AB|.【解题导思】序号联想解题1一看到抛物线上的点到焦点或到准线的距离问题,即联想到利用抛物线的定义进行转化2当条件中出现弦的中点(即中点弦问题)时,应立即考虑到设而不求(点差)法3当条件中出现过抛物线焦点的直线时,应立即考虑到抛物线焦点弦的有关结论【解析】1.选A.过A、B分别作准线的垂线,垂足分别为M,N,作AEBN,垂足为E,设|AF|=m,|BF|=n,那么由抛物线的定义得|AM|=|AF|=m,|BN|=|BF|=n,|AB|=m+n,|BE|=n-m,因为ABN=60,于是=,解得n=3m,那么=.2.选C.抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点M(x0,y0),那么x0=,y0=,由弦AB的中点M到抛物线C的准线的距离为5,即x0+=5,那么x0=4,由两式相减得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2),那么=,即k=,那么=,即y0=,所以直线l的斜率k=.3.设直线l:y=x+t,A(x1,y1),B(x2,y2).(1)由题设得F,故|AF|+|BF|=x1+x2+,由题设可得x1+x2=.由可得9x2+12(t-1)x+4t2=0,那么x1+x2=-.从而-=,得t=-.所以l的方程为y=x-.(2)由=3可得y1=-3y2.由可得y2-2y+2t=0.所以y1+y2=2.从而-3y2+y2=2,故y2=-1,y1=3.代入C的方程得x1=3,x2=.故|AB|=.1.直线与抛物线交点问题的解题思路(1)求交点问题,通常解直线方程与抛物线方程组成的方程组.(2)与交点相关的问题通常借助根与系数的关系或用向量法解决.2.解决抛物线的弦及弦中点问题的常用方法(1)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点,假设过抛物线的焦点,可直接使用焦点弦公式,假设不过焦点,那么必须用一般弦长公式.(2)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时,一般利用根与系数的关系采用“设而不求“整体代入等解法.提醒:涉及弦的中点、斜率时,一般用“点差法求解.1.F为抛物线C:y2=4x的焦点,E为其准线与x轴的交点,过F的直线交抛物线C于A,B两点,M为线段AB的中点,且|ME|=,那么|AB|=()A.6B.3C.8D.9【解析】选A.由y2=4x得焦点F(1,0),E(-1,0),设直线AB的方程为x=ty+1并代入抛物线y2=4x得:y2-4ty-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),那么y1+y2=4t,y1y2=-4,所以x1+x2=t(y1+y2)+2=4t2+2,所以M(2t2+1,2t),|ME|2=(2t2+2)2+(2t)2=11,即4t4+12t2-7=0,解得t2=或t2=-(舍),所以|AB|=x1+x2+p=4t2+2+2=4+2+2=6.2.F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,假设|AF|+|BF|=5,那么线段AB的中点到y轴的距离为_.【解析】设A(x1,y1),B(x2,y2),那么由抛物线定义得|AF|+|BF|=5,即x1+x2+=5,那么x1+x2=,所以线段AB的中点到y轴的距离为=.答案:3.(2021铜川模拟)抛物线C1:y2=2px(p0)的焦点为F,且F到准线l的距离为2,过点的直线l与抛物线交于A,B两点,与准线l交于点R,假设=3,那么=_.【解析】依题意得:C1:y2=4x,焦点F,不妨设点B在x轴的下方,=xB+1=3,所以xB=2,yB=-2.那么过点的直线l:y=,与y2=4x联立消去x得:y2-y-4=0,所以yAyB=-4,yA=,xA=,=.答案:考点三抛物线的性质及应用命题精解读1.考什么:(1)考查抛物线的定义、顶点及直线与抛物线中的最值范围问题.(2)考查数学运算、逻辑推理、直观想象的核心素养及数形结合、转化与化归等思想方法.2.怎么考:借助距离考查抛物线的定义;结合函数单调性或根本不等式考查最值问题.3.新趋势:抛物线离心率的求解仍是考查的重点.学霸好方法1.定义的应用:当题目中出现到焦点的距离或到准线(或到与对称轴垂直直线)的距离时,应立即考虑到利用定义转化.2.交汇问题:与函数、不等式结合考查范围最值,要注意定义域问题.与抛物线有关的最值问题【典例】(2021沈阳模拟)抛物线C:x2=2py(p0),其焦点到准线的距离为2,直线l与抛物线C交于A,B两点,过A,B分别作抛物线C的切线l1,l2,且l1与l2交于点M.(1)求p的值.(2)假设l1l2,求MAB面积的最小值.【解析】(1)由题意知,抛物线焦点为,准线方程为y=-,焦点到准线的距离为2,即p=2.(2)抛物线的方程为x2=4y,即y=x2,所以y=x,设A(x1,y1),B(x2,y2),l1:y-=(x-x1),l2:y-=(x-x2),由于l1l2,所以=-1,即x1x2=-4.设直线l方程为y=kx+m,与抛物线方程联立,得 所以x2-4kx-4m=0,=16k2+16m0,x1+x2=4k,x1x2=-4m=-4,所以m=1,即l:y=kx+1.联立方程得: 即M(2k,-1).M点到直线l的距离d=,|AB|=4(1+k2),所以S=4(1+k2)=4(1+k24,当k=0时,MAB的面积取得最小值4.抛物线与向量的综合问题 【典例】过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x10)的焦点,l是该抛物线的准线,过抛物线上一点A作准线的垂线AB,垂足为B,射线AF交准线l于点C,假设RtABC的“勾=3、“股=3,那么抛物线方程为()A.y2=2xB.y2=3xC.y2=4xD.y2=6x【解析】选B.由题意可知,抛物线的图像如图:|AB|=3,|BC|=3,可得|AC|=6,所以CAB=60,ABF是正三角形,并且F是AC的中点,又|AB|=3,那么p=,所以抛物线方程为y2=3x.2.M是抛物线x2=4y上一点,F为其焦点,点A在圆C:(x+1)2+(y-5)2=1上,那么|MA|+|MF|的最小值是_.【解析】由,由点M向抛物线x2=4y的准线l:y=-1引垂线,垂足为M1,那么有|MA|+|MF|=|MA|+|MM1|,结合图形知|MA|+|MM1|的最小值等于圆心C(-1,5)到y=-1的距离再减去圆C的半径,即等于6-1=5,所以|MA|+|MF|的最小值是5.答案:5点P(x,y)是抛物线y2=4x上任意一点,Q是圆C:(x+2)2+(y-4)2=1上任意一点,那么|PQ|+x的最小值为()A.5B.4C.3D.2【解析】选C.由题意,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),准线l:x=-1,圆C:(x+2)2+(y-4)2=1的圆心C(-2,4),半径r=1,P到直线l:x=-1的距离d=|PF|,根据抛物线的定义,可得点P到y轴的距离为x=d-1,结合图像(如下图)可得当C,P,F三点共线时,|PQ|+d取最小值,所以(|PQ|+x)min=|FC|-r-1=5-1-1=3.- 11 -
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