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12.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理核心考点精准研析考点一分类加法计数原理及其应用1.从0,1,2,3,4,5这六个数字中,任取两个不同数字相加,其和为偶数的不同取法的种数有()A.30B.20C.10D.62.甲、乙、丙三个人踢毽,互相传递,每人每次只能踢一下,由甲开始踢,经过4次传递后,毽又被踢回给甲,那么不同的传递方法共有()A.4种B.6种C.10种D.16种3.“渐升数是指每个数字比它左边的数字大的正整数(如1 458),假设把四位“渐升数按从小到大的顺序排列,那么第30个“渐升数是_.【解析】1.选D.可分两类:一类两个数都为奇数:1,3;1,5;3,5,共3种方法;另一类两个数都为偶数:0,2;0,4;2,4,共3种方法,所以共有3+3=6种取法.2.选B.分两类:甲第一次踢给乙时,满足条件有3种方法(如图),同理,甲先传给丙时,满足条件有3种方法.由分类加法计数原理知,共有3+3=6(种)传递方法.3.渐升数由小到大排列,形如的渐升数共有6+5+4+3+2+1=21(个).形如 的渐升数共有5个.形如 的渐升数共有4个.故此时共有21+5+4=30(个).因此从小到大的四位渐升数的第30个必为1 359.答案:1 359应用分类加法计数原理的四个步骤(1)完成的一件事是什么.(2)确定分类时,n类方法的每一种方法都可以独立完成这件事.(3)确定恰当的分类标准,对完成这件事的方法分类时要“不重不漏,即每一种的方法必属于某一类,不同类中的方法都是不相同的.(4)把所有类中的方法数相加,即得完成这件事的方法数.考点二分步乘法计数原理及其应用【典例】1.一个小朋友从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这10个数字中选取3个不同的数字组成三位数,那么他写出的三位数有_个.()A.1 000B.900C.720D.6482.集合A中有4个元素,B中有3个元素,C中有9个元素,那么集合中的元素个数为_.3.有4个同学各自在2021年元旦的三天假期中任选一天去敬老院参加活动,那么有多少种选法?【解题导思】序号联想解题1由组成三位数想到先确定百位数字,再确定十位数字,最后确定个位数字2由xA,yB,zC想到先确定x,再确定y,最后确定z3由4个同学在三天中任选一天,联想到每个人有3种选择.【解析】1.选D.分三个步骤:第一步确定百位数字,有9种方法,第二步确定十位数字,有9种方法,第三步确定个位数字,有8种方法,所以由分步乘法计数原理得他写出的三位数有998=648(个).2.分三个步骤,第一步确定x,有4种方法,第二步确定y,有3种方法,第三步确定z,有9种方法,由分步乘法计数原理得集合中元素个数为439=108.答案:1083.每个同学都有3种选择,所以4个同学的选法共有3333=81(种).应用分步乘法计数原理的三个步骤(1)完成的一件事是什么.(2)需要分几个步骤.每一步各有多少种方法.每一步中的每一种方法都能独立完成这个步骤,但是不能完成这件事.(3)把每一步中的方法数相乘即得完成这件事的方法数.1.(2021济南模拟)某校2021年数理化三科奥赛进入冬令营的选手共15人,其中数学科有7人,物理科有5人,化学科有3人,从三个学科中各选一人作护旗手,那么选出这3个人的方法有_种()A.15B.35C.56D.105【解析】选D.因为从三个学科中各选一人作护旗手,所以应该分成三步:第一步,从数学科7人中选出1人,有7种方法,第二步,从物理科5人中选出1人,有5种方法,第三步,从化学科3人中选出1人,有3种方法,所以由分步乘法计数原理得选出这3个人的方法有753=105(种).2.从集合1,2,3,11中任意取两个元素作为椭圆方程+=1中的m和n,那么能组成落在矩形区域B=(x,y)|x|11,|y|9内的椭圆的个数是()A.43B.72C.86D.90【解析】选B.根据题意,m是不大于10的正整数,n是不大于8的正整数.但是当m=n时,+=1是圆而不是椭圆.先确定n,n有8种可能,对每一个确定的n,m有10-1=9种可能,故满足条件的椭圆有89=72个.应选B.考点三两个计数原理的综合应用命题精解读1.考什么:(1)考查“分类与“分步的关系(2)考查两个计数原理的综合应用2.怎么考:以实际问题(数字组数、小球入盒、方块染色、人员安排等)为背景,考查两个计数原理,多数是以选择题或填空题,或者解答题的一个小题的形式考查3.新趋势:结合新背景,考查两个计数原理的综合应用学霸好方法利用两个计数原理解题的关键:(1)认真阅读审题,选择适合的分类标准进行合理分类,简化问题(2)根据题意,弄清楚完成一件事的要求,正确区分先分类再分步还是先分步再分类数字问题【典例】用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字,且至多有一个数字是偶数的四位数,这样的四位数一共有_个.(用数字作答)【解析】分两种情况:第一种:四位数都不是偶数的个数为:5432=120,第二种:四位数中有一位为偶数的个数为44543=960,那么共有1 080个.答案:1 080如何求与数字有关的计数问题?提示:(1)先确定是分类还是分步,分类时确定好统一标准,不重复,也不遗漏,分步时,确定好步骤.(2)先根据题意确定特殊数位的数字(如首位不能为0,奇数的个位为奇数等),再确定其他位置上的数字.染色问题【典例】如下图,将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两端异色,如果只有5种颜色可供使用,求不同的染色方法总数.【解析】可分为两大步进行,先将四棱锥一侧面三顶点染色,然后再分类考虑另外两顶点的染色数,用分步乘法计数原理即可得出结论.由题设,四棱锥S-ABCD的顶点S,A,B所染的颜色互不相同,它们共有543=60(种)染色方法.当S,A,B染好时,不妨设其颜色分别为1,2,3,假设C染2,那么D可染3或4或5,有3种染法;假设C染4,那么D可染3或5,有2种染法;假设C染5,那么D可染3或4,有2种染法.可见,当S,A,B已染好时,C,D还有7种染法,故不同的染色方法有607=420(种).如何求解染色问题的计数?提示:(1)分清所给的颜色是否用完,并选择恰当的染色顺序.(2)选择好分类标准,分清楚哪些可以同色,分类与分步交叉时不要计数重复,也不要遗漏.几何中的计数问题【典例】设,是两个平行平面,假设内有3个不共线的点,内有4个点(任意3点不共线),从这些点中任取4个点最多可以构成_个四面体 ()A.34B.18C.12D.7【解析】选A.完成的一件事是“任取4个点构成四面体,所以分成三类:第一类,从上取1个点,上取3个不同的点,可以构成四面体的个数为34=12,第二类,从上取2个点,上取2个不同的点,可以构成四面体的个数为36=18,第三类,从上取3个点,上取1个不同的点,可以构成四面体的个数为14=4,所以共有四面体的个数为12+18+4=34.如何解决几何中的计数问题?提示:(1)准确读取题目中的有用信息,明确与未知;(2)正确进行分类与分步,会在实际问题中应用它.1.小明有一盒10种颜色的画笔,给如下图图形涂上颜色,相邻的两块颜色不能相同,那么他可以有_种涂色方法()ABCA.810B.1 000C.27D.4 320【解析】选A.分三个步骤:第一步涂A,有10种方法,第二步涂B,有9种方法,第三步涂C,有9种方法,所以由分步乘法计数原理得共有1099=810(种)涂色方法.2.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有()A.144个B.120个C.96个D.72个【解析】选B.由题意可得,比40 000大的五位数万位只能是4或5,当万位是4时,由于该五位数是偶数,个位只能从0或2中任选一个,其余三位数字从剩下的四个数中任选三个,有2432=48(种)情况;当万位是5时,由于该五位数是偶数,个位只能从0,2或4中任选一个,其余三位数字从剩下的四个数中任选三个,有3432=72(种)情况;由分类加法计数原理可得,满足题意的数共有48+72=120(个).3.某班要从5名男生和3名女生中选出2人作为社区效劳志愿者,假设用变量x表示选出的志愿者中女生的人数,y表示对应的方法数,试用列表法表示这个函数.【解析】x的取值为0,1,2(1)x=0,即选出的2人都是男生,把5名男生编号为1,2,3,4,5,那么选出的两人有12,13,14,15,23,24,25,34,35,45,共10种方法,此时y=10.(2)x=1,即选出的2人中1个男生,1个女生,分两个步骤,第一步选出男生,有5种方法,第二步选出女生,有3种方法,所以共有53=15种方法,此时y=15.(3)x=2,即选出的2人都是女生,有3种方法,此时y=3.列表如下:x012y101531.一个小朋友用1,2,3,4,5,6,7,8,9写出的两位数中偶数的个数为_.【解析】分两个步骤:第一步,写个位数字,从2,4,6,8中选一个,有4种方法,第二步,写十位数字,有9种方法,所以写出的两位数中偶数的个数为49=36.答案:362.如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对的个数是_.【解析】分两种情况讨论:(1)对于每一条棱,都可以与两个侧面构成“正交线面对,这样的“正交线面对有212=24(个).(2)对于每一条面对角线,都可以与一个对角面构成“正交线面对,这样的“正交线面对有12个.所以正方体中“正交线面对共有36个.答案:36- 7 -
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