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8.3 等比数列核心考点精准研析考点一等比数列根本量的运算1.各项均为正数的等比数列an的前n项和为Sn,且S3=14,a3=8,那么a6等于 ()A.16B.32C.64D.1282.(2021赣州模拟)Sn是等比数列an的前n项和,假设S4,S3,S5成等差数列,那么an的公比q的值为()A.B.-2C.1D.-2 或13.等比数列an满足a1=3,a1+a3+a5=21,那么a3+a5+a7=()A.21B.42C.63D.844.(2021全国卷)各项均为正数的等比数列an的前4项的和为15,且a5=3a3+4a1,那么a3=()A.16B.8C.4D.25.Sn是等比数列an的前n项和,假设存在mN*,满足=9,=,那么数列an的公比为()A.-2B.2C.-3D.3【解析】1.选C.因为S3=14,a3=8,所以q1,所以, 解得a1=2,q=2或a1=18,q=-(舍),所以a6=a1q5=232=64.2.选B.由S4,S3,S5成等差数列知等比数列an的公比q1,因此得2S3=S5+S4,即=+,化简整理得q3(q+2)(q-1)=0,所以q=0(舍去),q=1(舍去)或q=-2.故q=-2.3.选B.设数列an的公比为q,那么a1(1+q2+q4)=21,又a1=3,所以q4+q2-6=0,所以q2=2(q2=-3舍去),所以a3=6,a5=12,a7=24,所以a3+a5+a7=42.4.选C.设该等比数列的首项为a1,公比为q,由得,a1q4=3a1q2+4a1,因为a10且q0,那么可解得q=2,又因为a1(1+q+q2+q3)=15,即可解得a1=1,那么a3=a1q2=4.5.选B.设公比为q,假设q=1,那么=2,与题中条件矛盾,故q1.因为=qm+1=9,所以qm=8.所以=qm=8=,所以m=3,所以q3=8,所以q=2.把T1条件“S3=14,a3=8改为“a3=9,S3=27其他条件不变,那么公比q的值为()A.1B.-C.1或-D.-1或 - 【解析】选C.当公比q=1时,a1=a2=a3=9,所以S3=39=27.符合题意.当q1时,S3=,所以27=,所以a1=27-18q,因为a3=a1q2,所以(27-18q)q2=9,所以(q-1)2(2q+1)=0,所以q=-.综上q=1或q=-.解决等比数列有关问题的常用思想方法(1)方程的思想:等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二,通过列方程(组)求出关键量a1和q,问题便可迎刃而解.(2)分类讨论的思想:等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论,将q分为q=1和q1两种情况进行讨论.【秒杀绝招】1.应用转化法解T2选B.由S4,S3,S5成等差数列,得2S3=S5+S4,即2(a1+a2+a3)=2(a1+a2+a3+a4)+a5,整理得a5=-2a4,所以=-2,即q=-2.应选B.2.应用等比数列性质解T3:选B.设数列an的公比为q,那么a1(1+q2+q4)=21,又a1=3,所以q4+q2-6=0,所以q2=2(q2=-3舍去),所以a3+a5+a7=q2(a1+a3+a5)=221=42,所以a3+a5+a7=42.考点二等比数列的判断与证明【典例】1.数列an中,a1=1,假设an=2an-1+1(n2),那么a5的值是_.【解题导思】序号联想解题(1)由an=2an-1+1(n2)及a1=1,联想到数列的递推公式求a5(2)由an=2an-1+1(n2)联想到转化法求通项公式【解析】因为an=2an-1+1,所以an+1=2(an-1+1),所以=2,又a1=1,所以an+1是以2为首项,2为公比的等比数列,即an+1=22n-1=2n,所以a5+1=25,即a5=31.答案:31【一题多解】由an=2an-1+1(n2)及a1=1,联想到数列的递推公式求a5,当n=2得a2=3,同理得a3=7,a4=15,a5=31.答案:312.数列an的前n项和为Sn,a1=1,Sn+1=4an+2(nN*),假设bn=an+1-2an,求证:bn是等比数列.【解题导思】序号题目拆解(1)Sn+1=4an+2(nN*)出现Sn+2=4an+1+2(nN*)(2)bn=an+1-2an证明bn是等比数列把n换为n+1左式和式子相减an+2=4an+1-4an,把n换为n+1得出bn+1转化为证明为常数【证明】因为an+2=Sn+2-Sn+1=4an+1+2-4an-2=4an+1-4an,所以=2.因为S2=a1+a2=4a1+2,所以a2=5.所以b1=a2-2a1=3.所以数列bn是首项为3,公比为2的等比数列.假设本例2中的条件不变,试求an的通项公式.【解析】由题知bn=an+1-2an=32n-1,所以-=,故是首项为,公差为的等差数列.所以=+(n-1)=,所以an=(3n-1)2n-2.【继续探究】假设将本例中“Sn+1=4an+2改为“Sn+1=2Sn+(n+1),其他不变,求数列an的通项公式.【解析】由得n2时,Sn=2Sn-1+n. 所以Sn+1-Sn=2Sn-2Sn-1+1,所以an+1=2an+1, 所以an+1+1=2(an+1),n2,(*) 又a1=1,S2=a1+a2=2a1+2,即a2+1=2(a1+1), 所以当n=1时(*)式也成立, 故an+1是以2为首项,以2为公比的等比数列, 所以an+1=22n-1=2n,所以an=2n-1.1.等比数列的四种常用判定方法(1)定义法:假设=q(q为非零常数,nN*)或=q(q为非零常数且n2,nN*),那么an是等比数列.(2)等比中项法:假设数列an中,an0且=anan+2(nN*),那么an是等比数列.(3)通项公式法:假设数列an的通项公式可写成an=cqn-1(c,q均是不为0的常数,nN*),那么an是等比数列.(4)前n项和公式法:假设数列an的前n项和Sn=kqn-k(k为常数且k0,q0,1),那么an是等比数列.2.证明某数列不是等比数列假设证明某数列不是等比数列,那么只要证明存在连续三项不成等比数列即可.(2021全国卷改编)数列an满足a1=1,nan+1=2(n+1)an,设bn=.(1)求b1,b2,b3.(2)判断数列bn是否为等比数列,并说明理由.(3)求bn的前10项和S10.【解析】(1)由条件可得an+1=an.将n=1代入得a2=4a1,而a1=1,所以a2=4.将n=2代入得a3=3a2,所以a3=12.从而b1=1,b2=2,b3=4.(2)bn是首项为1,公比为2的等比数列.理由:由条件可得=,即bn+1=2bn,又b1=1,所以bn是首项为1,公比为2的等比数列.(3)由(2)可得Sn=2n-1,所以S10=210-1=1 023.考点三等比数列的性质及其应用命题精解读1.考什么:等比数列通项公式、前n项和公式、性质和最值问题2.怎么考:等比数列性质、等比数列前n项和的性质作为考查等比数列运算知识的最正确载体,试题常以选择题、填空题的形式出现,有时也会出现在解答题中3.新趋势:以数列为载体与函数、不等式知识结合等问题.解题过程中常常渗透数学运算核心素养.学霸好方法1.与等比数列性质有关的运算问题解题思路在等比数列中但凡涉及两项的乘积问题,首先考虑其项数和是否相等,假设相等那么利用等比数列的性质进行运算2.交汇问题以数列为载体与函数性质、不等式等知识结合考查,注意分类讨论思想的应用等比数列项的性质应用【典例】等比数列an中,a4+a8=-2,那么a6(a2+2a6+a10)的值为()A.4B.6C.8D.-9【解析】选A.a6(a2+2a6+a10)=a6a2+2+a6a10=+2a4a8+=(a4+a8)2,因为a4+a8=-2,所以a6(a2+2a6+a10)=4.1.等比数列性质的应用可以分为哪些变形?提示:通项公式的变形、等比中项的变形、前n项和公式的变形.2.在解决等比数列项的性质的有关问题时,如何迅速挖掘隐含条件利用性质解题?提示:在等比数列中但凡涉及两项的乘积问题,首先考虑其项数和是否相等,假设项数和相等,那么利用等比数列的性质进行运算.提醒:根据题目条件,认真分析,发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.等比数列中的最值与范围问题【典例】设等比数列an满足a1+a3=10,a2+a4=5,那么a1a2an的最大值为_.【思路探究】利用等比数列通项公式求出首项a1与公比q,再将a1a2an的最值问题利用指数幂的运算法那么转化为二次函数最值问题.【解析】设等比数列an的公比为q,那么由a1+a3=10,a2+a4=q(a1+a3)=5,知q=.又a1+a1q2=10,所以a1=8.故a1a2an=23n=.记t=-+=-(n2-7n),结合nN*可知n=3或4时,t有最大值6.又y=2t为增函数,从而a1a2an的最大值为26=64.答案:64求等比数列中的最值与范围问题有哪些方法?提示:求解此类问题的常用思路是根据题目所给条件建立关于变量n的函数关系进行求解.有时也应用根本不等式.1.等比数列an满足a1=,a3a5=4(a4-1),那么a2=()A.2B.1C.D.【解析】选C.设公比为q,因为a3a5=,a3a5=4(a4-1),所以=4(a4-1),所以-4a4+4=0,所以a4=2.又因为q3=8,所以q=2,所以a2=a1q=2=.2.正数组成的等比数列an,假设a1a20=100,那么a7+a14的最小值为()A.20B.25 C.50D.不存在【解析】选A.(a7+a14)2=+2a7a144a7a14=4a1a20=400(当且仅当a7=a14时取等号).所以a7+a1420.1.数列an满足log2an+1=1+log2an(nN*),且a1+a2+a3+a10=1,那么log2(a101+a102+a110)=_.【解析】因为log2an+1=1+log2an,可得log2an+1=log22an,所以an+1=2an,所以数列an是以a1为首项,2为公比的等比数列,又a1+a2+a10=1,所以a101+a102+a110=(a1+a2+a10)2100=2100,所以log2(a101+a102+a110)=log22100=100.答案:1002.设等比数列an的公比为q,前n项和Sn0(n=1,2,3,),求q的取值范围.【解析】因为数列an为等比数列,Sn0,所以a1=S10,q0.当q=1时,Sn=na10;当q0且q1时,Sn=0,即0,所以或所以-1q0或0q1.综上,q的取值范围为(-1,0)(0,+). 可修改 欢迎下载 精品 Word
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